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ANALISI 2 — Tema d’esame del 9 marzo 2001

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Academic year: 2021

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ANALISI 2 — Tema d’esame del 9 marzo 2001

Per ottenere il punteggio massimo (30/30) ` e richiesto lo svolgimento cor- retto di 4 esercizi a scelta tra i seguenti. Indicare chiaramente gli esercizi svolti.

1. Per x ∈ R si ponga g(x) = f(0, x, f(x, x, 0)). Sapendo che

f (0, 0, 0) = 1, grad f (0, 0, 0) = (3, 4, 5), grad f (0, 0, 1) = (6, 7, 8) si calcoli g

0

(0). Si discutano in particolare le ipotesi di regolarit` a per poter applicare il ragionamento.

2. Calcolare la media della funzione (x

2

+ y

2

)

3/4

sulla spirale di equazione polare ρ = exp( −9ϑ), ϑ > 0.

3. Calcolare i massimi e minimi assoluti della funzione f (x, y) = (x

2

+ y

2

− 1)e

x−y

nella regione {(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

≤ 1}.

4. Individuare la soluzione periodica del sistema di equazioni differenziali

 u

0

(x) = 7u(x) + 8v(x) v

0

(x) = 4u(x) + 3v(x)

5. Calcolare il volume della regione

{(x, y, z) ∈ R

3

: 25(x + y)

2

+ 4z

2

≤ 15, 7 ≤ x ≤ 13}.

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