ATTIVIT `A 3 Utilizzando l’algebra dei limiti, i limiti notevoli visti (vedi retro) e volendo la relazione di asintotico, calcolare i seguenti limiti. 1. lim

ATTIVIT ` A 3

Utilizzando l’algebra dei limiti, i limiti notevoli visti (vedi retro) e volendo la relazione di asintotico, calcolare i seguenti limiti.

1. lim

n!+1

2 p

n

³

+ p

³

n

²

4n p

3

n

⁴

3 p

⁴

n + n 2. lim

n!+1

6

ⁿ

(2

ⁿ

)

⁴

(3

ⁿ

)

²

(2

ⁿ

)

³

+ 2

ⁿ

3. lim

n!+1

sin

_n³ Å

e

^p2n

1

ã

»4

1

_n⁸2

1

4. lim

n!+1

»

cos

¹_n

1 log

^Ä

1 + sin

_n³2

ä

5. lim

n!+1

e

^{sin ((34)n)}

1 1 cos((

²₃

)

ⁿ

) 6. lim

n!+1

tan

_n¹↵

Äp₃

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1

^ä

al variare di ↵ > 0

LIMITI NOTEVOLI

Per calcolare i limiti ricordiamo alcuni limiti notevoli. Dato p 2 R si ha

n!+1

lim n

^p

=

8>

><

>>

:

+ 1 se p > 0 1 se p = 0 0 se p < 0 Dato a 2 R risulta

n!+1

lim a

ⁿ

=

8>

>>

>>

<

>>

>>

>:

+ 1 se a > 1

1 se a = 1

0 se 1 < a < 1 non esiste se a  1 Inoltre, se a > 1 si ha

n!+1

lim a

^xn

=

8<

:

+ 1 se lim

n!+1

x

_n

= + 1

0 se lim

n!+1

x

_n

= 1

n!+1

lim log

_a

x

_n

=

8<

:

+ 1 se lim

n!+1

x

n

= + 1 1 se lim

n!+1

x

_n

= 0

⁺

Se lim

n!+1

x

n

= 0 abbiamo

n!+1

lim sin x

_n

= 0 lim

n!+1

cos x

_n

= 1 lim

n!+1

tan x

_n

= 0

n!+1

lim e

^xn

= 1 lim

n!+1

log(1 + x

n

) = 0 lim

n!+1

(1 + x

n

)

^↵

= 1 e per n ! +1 risulta

sin xn

xn

! 1 sin x

n

⇠ x

n 1 cos xn

xn2

!

¹₂

1 cos x

_n

⇠

^x₂²ⁿ

tan xn

xn

! 1 tan x

_n

⇠ x

n e^xn 1

xn

! 1 e

^xn

1 ⇠ x

n log(1+xn)

xn

! 1 log(1 + x

_n

) ⇠ x

n (1+xn)^↵ 1

xn

! ↵ (1 + x

n

)

^↵

1 ⇠ ↵x

n

RISOLUZIONE 1. Per calcolare lim

n!+1 2p

n³+p³ n² 4n p3

n⁴ 3p⁴

n+n

, raccogliamo le potenze di grado maggiore sia a numeratore che a denominatore, e quindi p

n

³

= n

³²

a numeratore e p

³

n

⁴

= n

⁴³

a denominatore. Utilizzando le notazioni frazionarie otteniamo

n!+1

lim 2 p

n

³

+ p

³

n

²

4n p

3

n

⁴

3 p

⁴

n + n = lim

n!+1

n

³²

n

⁴³

· 2 + n

^{23 32}

4n

^{1 32}

1 3n

^{14 43}

+ n

^{1 32}

= lim

n!+1

n

^{32 43}

· 2 + n

^{23 32}

4n

^{1 32}

1 3n

^{14 43}

+ n

^{1 32}

= + 1 dato che lim

n!+1

n

^{32 43}

= + 1 essendo

³₂

>

⁴₃

, e

n!+1

lim

2 + n

^{23 32}

4n

^{1 32}

1 3n

^{14 43}

+ n

^{1 32}

= 2 poich´e lim

n!+1

n

^p

= 0 per ogni p < 0.

Nota: volendo utilizzare la relazione di asintotico, possiamo notare che per n ! +1 risulta 2 p

n

³

+ p

³

n

²

4n = n

³²

(2 + n

^{23 32}

4n

^{1 32}

) ⇠ 2n

³²

essendo lim

n!+1

2 + n

^{23 32}

4n

^{1 32}

= 2, mentre p

3

n

⁴

3 p

⁴

n + n = n

⁴³

(1 3n

^{14 43}

+ n

^{1 32}

) ⇠ n

⁴³

poich´e lim

n!+1

1 3n

^{14 43}

+ n

^{1 32}

= 1. Dunque, dal principio di sostituzione nella relazione di asintotico si ottiene

2 p

n

³

+ p

³

n

²

4n p

3

n

⁴

3 p

⁴

n + n ⇠ 2n

³²

n

⁴³

= 2n

^{32 43}

da cui

n!+1

lim 2 p

n

³

+ p

³

n

²

4n p

3

n

⁴

3 p

⁴

n + n = lim

n!+1

2n

^{32 43}

= + 1 2. Per calcolare lim

n!+1

6ⁿ (2ⁿ)⁴

(3ⁿ)² (2ⁿ)³+2ⁿ

, osserviamo innanzitutto che

₍₃n)⁶²ⁿ (2⁽²ⁿⁿ)⁾³⁴+2ⁿ

=

₉n⁶ⁿ8ⁿ¹⁶+2ⁿⁿ

, quin- di raccogliendo l’esponenziale di base maggiore sia a numeratore che a denominatore, si ha

n!+1

lim

6

ⁿ

(2

ⁿ

)

⁴

(3

ⁿ

)

²

(2

ⁿ

)

³

+ 2

ⁿ

= lim

n!+1 16ⁿ

9ⁿ

· (

₁₆⁶

)

ⁿ

1

1 (

⁸₉

)

ⁿ

+ (

²₉

)

ⁿ

= 1 dato che lim

n!+1

(

¹⁶₉

)

ⁿ

= + 1, poich´e

¹⁶₉

> 1, e che

n!+1

lim

(

₁₆⁶

)

ⁿ

1

1 (

⁸

)

ⁿ

+ (

²

)

ⁿ

= 1

essendo lim

n!+1

a

ⁿ

= 0 per ogni a 2 ( 1, 1).

Anche qui, volendo utilizzare la relazione di asintotico, per n ! +1 possiamo scrivere 6

ⁿ

(2

ⁿ

)

⁴

= 16

ⁿ

((

₁₆⁶

)

ⁿ

1) ⇠ 16

ⁿ

dato che (

₁₆⁶

)

ⁿ

1 ! 1, e

(3

ⁿ

)

²

(2

ⁿ

)

³

+ 2

ⁿ

= 9

ⁿ

(1 (

⁸₉

)

ⁿ

+ (

²₉

)

ⁿ

) ⇠ 9

ⁿ

poich´e 1 (

⁸₉

)

ⁿ

+ (

²₉

)

ⁿ

! 1. Otteniamo allora

6

ⁿ

(2

ⁿ

)

⁴

(3

ⁿ

)

²

(2

ⁿ

)

³

+ 2

ⁿ

⇠

₉¹⁶ⁿⁿ

= (

¹⁶₉

)

ⁿ

Essendo lim

n!+1

(

¹⁶₉

)

ⁿ

= 1 possiamo concludere che

n!+1

lim

6

ⁿ

(2

ⁿ

)

⁴

(3

ⁿ

)

²

(2

ⁿ

)

³

+ 2

ⁿ

= 1

3. Per calcolare lim

n!+1 sin³_n

Å

e

p2n 1

ã

»4

1 _n2⁸ 1

usiamo i limiti notevoli visti e la relazione di asintotico. Per n ! +1, abbiamo che per ogni successione (x

n

)

_n2N

infinitesima per n ! +1 risulta

sin x

_n

⇠ x

n

, e

^xn

1 ⇠ x

n

e (1 + x

_n

)

^↵

1 ⇠ ↵x

n

, 8↵ 6= 0 Osservato che le successioni (

p²

n

)

_n2N

, (

_n³

)

_n2N

e (

_n⁸2

))

_n2N

sono infinitesime, per n ! +1 abbiamo

sin

_n³

⇠

_n³

, e

^p2n

1 ⇠

^p2_n

e

^q4

1

_n⁸2

1 ⇠

¹₄^Ä _n⁸2

ä

.

Dal principio di sostituzione nella relazione di asintotico, per n ! +1 otteniamo sin

_n³

Å

e

^p2n

1

ã

»4

1

_n⁸2

1 ⇠

3 n

·

^p2_n

1 4 8

n²

= 3 p n

Poich´e la successione 3 p

n diverge a 1, dalle propriet`a della relazione di asintotico ne deduciamo che

n!+1

lim sin

_n³

Å

e

^p2n

1

ã

»4

1

_n⁸2

1 = lim

n!1

3 p

n = 1

4. Per calcolare lim

n!+1

pcos_n¹ 1 log 1+sin ³

n2

, ricordiamo che per ogni successione (x

_n

)

_n2N

infinitesima per n ! +1 risulta

p 1 + x

_n

1 ⇠

¹₂

x

_n

cos x

_n

1 ⇠

¹₂

x

²_n

log(1 + x

_n

) ⇠ x

n

e sin x

_n

1 ⇠ x

n

Quindi per n ! +1, essendo

_n¹

! 0 e dunque cos

¹_n

1 ! 0, otteniamo

»

cos

¹_n

1 =

^»

1 + (cos

_n¹

1) 1 ⇠

¹₂

(cos

¹_n

1) ⇠

¹₂

(

¹_2n¹₂

) =

¹_4n¹₂

mentre, dato che

_n³2

! 0 e dunque sin

_n³²

! 0, si ha log

^Ä

1 + sin

_n³2

ä

⇠ sin

_n³2

⇠

_n³2

Dalla propriet` a transitiva della relazione di asintotico e dal principio di sostituzione otteniamo

»

cos

_n¹

1 log

^Ä

1 + sin

_n³2

ä

⇠

1 4 1

n² 3 n²

=

₁₂¹

e dunque lim

n!+1

»

cos

_n¹

1 log

^Ä

1 + sin

_n³2

ä

=

₁₂¹

.

5. Calcoliamo lim

n!+1

e^{sin (( 34 )n)} 1

1 cos((²₃)ⁿ)

procedendo come nei precedenti esempi. Per n ! +1, osservato che (

³₄

)

ⁿ

! 0, otteniamo

e

^{sin ((34)n)}

1 ⇠ sin ((

³₄

)

ⁿ

) ⇠ (

³₄

)

ⁿ

e inoltre, essendo (

²₃

)

ⁿ

! 0, si ha

1 cos((

²₃

)

ⁿ

) ⇠

¹₂

(

²₃

)

²ⁿ

=

¹₂

(

⁴₉

)

ⁿ

Quindi per n ! +1 si ottiene

e

^{sin ((34)n)}

1

1 cos((

²₃

)

ⁿ

) ⇠ (

³₄

)

ⁿ

1

2

(

⁴₉

)

ⁿ

= 2(

³₄

)

ⁿ

(

⁹₄

)

ⁿ

= 2(

²⁷₁₆

)

ⁿ

! +1 e dunque lim

n!+1

e

^{sin ((34)n)}

1

1 cos((

²₃

)

ⁿ

) = + 1.

6. Per calcolare il limite lim

n!+1

tan

_n¹↵

Äp₃

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1

^ä

al variare di ↵ > 0, osserviamo innanzitutto che possiamo scrivere

p3

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 =

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 ·

Å

q3

n⁴ 1 n⁴ n³+1

1

ã

=

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 ·

Å

q3

1 +

_n4ⁿ³n³²+1

1

ã

Dato che

_n4ⁿ³n³²+1

! 0 per n ! +1, otteniamo

p3

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 =

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 ·

Å

q3

1 +

_n4ⁿ³n³²+1

1

ã

⇠

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 ·

¹_3n⁴ⁿ³_n³²₊₁

Osservato poi che

p3 4q

1 1 ⁴

mentre

n³ 2

n⁴ n³+1

=

_n¹

·

¹

2 n3

1 _n¹+ ¹

n4

⇠

_n¹

possiamo concludere

p3

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 ⇠

^p3

n

⁴

n

³

+ 1 ·

¹_3n⁴ⁿ³_n³²₊₁

⇠

¹₃

n

⁴³

·

_n¹

=

¹₃

n

¹³

Abbiamo poi che per n ! +1, essendo ↵ > 0 risulta tan

_n^1↵

⇠

_n^1↵

. Per n ! +1 otteniamo allora

tan

_n¹↵

Äp₃

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1

^ä

⇠

_n^1↵

·

¹₃

n

¹³

=

¹₃

n

^{13 ↵}

!

8>

><

>>

:

0 se

¹₃

↵ < 0

1

3

se

¹₃

↵ = 0 + 1 se

¹₃

↵ > 0 Riunendo quanto trovato possiamo concludere che

n!+1

lim tan

_n¹↵

Äp₃

n

⁴

1

^p3

n

⁴

n

³

+ 1

^ä

=

8>

><

>>

:

0 se ↵ >

¹₃

1

3

se ↵ =

¹₃

+ 1 se 0 < ↵ <

¹₃