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1. Calcolare i seguenti limiti i) lim

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Academic year: 2021

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(1)

1. Calcolare i seguenti limiti i) lim

x→π

(cos(x/2))2

(π − x)2 , ii) lim

x→0

tan(x) − sin(x)

x3 , iii) lim

x→0(cos(2x))1/x2, iv) lim

x→1

x5− 1

x7− 1, v) lim

x→−3

x + 3

3

x +√3

3, vi) lim

x→1

√x + 8 −√ 8x + 1

√5 − x −√

7x − 3.

Svolgimento:

(2)
(3)

2. Determinare i punti di accumulazione degli insiemi A =



x ∈ R : 1 − cos(2π/x) x2− 3x + 2 ≤ 0



, B =



sin (n2− 1)π 2



+(−1)n

n : n ∈ N+

 .

Svolgimento:

(4)

3. Sia D(X) l’insieme dei punti di accumulazione di un insieme X.

Dimostrare o confutare le seguenti affermazioni.

i) Per ogni A, B ⊆ R, D(A ∩ B) = D(A) ∩ D(B).

ii) Per ogni A, B ⊆ R, D(A ∪ B) = D(A) ∪ D(B).

Svolgimento:

(5)

4. Rispondere alle seguenti domande.

i) Esistono a, b, c ∈ R tali che

f (x) =





4 arctan(x) cosπ x



+sin(πx)

x − x2 se x ∈ (0, 1), ax + b

x + c se x ∈ R \ (0, 1).

`e continua in R?

ii) Per quali a ∈ R+, g(x) = (ax − bxc)(ax + b−xc) `e continua in R?

Svolgimento:

(6)
(7)

5. Siano f e g due funzioni continue in R e sia

h(x) =  f (x) se x ∈ Q g(x) se x ∈ R \ Q . Dimostrare che h `e continua in x0 ∈ R se e solo se f(x0) = g(x0).

Svolgimento:

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