RaulPaoloSerapioni IntegraliCalcolodiprimitive

Integrali

Calcolo di primitive

Raul Paolo Serapioni

Analisi Matematica 1 Analisi Matematica A – Primo modulo Corsi di Laurea in Fisica e Matematica

Università di Trento

MEMO

L’insieme di tutte le primitive di una funzione f prende il nome di integrale indefinito di f e si indica spesso con il simbolo

Z

f (x)dx.

. . . . . .

Z 1

x ² + 1 dx = arctan x

Z 1

x − α dx = log |x − α|

Z 1

cos ² x dx = tan x

Z 1

(x − α) ⁿ dx = 1 (1 − n)

1 (x − α) ⁿ⁻¹

. . . . . .

Linearità Z

αf (x) + βg(x) dx = α Z

f (x) dx + β Z

g(x) dx

Example Z

(α ₀ x ⁿ + α ₁ x ⁿ⁻¹ + · · · + α n ) dx = α ₀

n + 1 x ⁿ⁺¹ + · · · + α n x + c

Z

f ^′ (x)g(x) dx = f (x)g(x) − Z

f (x)g ^′ (x) dx e quindi

Z b a

f ^′ (x)g(x) dx = f (b)g(b) − f (a)g(a) − Z b

a

f (x)g ^′ (x) dx

Example Z

x cos x dx = x sin x − Z

sin x dx = x sin x + cos x

Example Z

x ² e ^x dx = x ² e ^x − Z

2x e ^x dx

= x ² e ^x −



2x e ^x − Z

2e ^x dx



= x ² e ^x − 2x e ^x + 2e ^x Example

Z

log x dx = Z

1 · log x dx = x log x − Z

dx = x log x − x

Example Z

sin ² x dx = − sin x cos x + Z

cos ² x dx

= − sin x cos x + x − Z

sin ² x dx

= 1

2 (x − sin x cos x)

Siano f ∈ C([a, b]), ϕ ∈ C ¹ (I) dove I è un intervallo tale che ϕ(I) ⊂ [a, b], allora:

Z

f (t) dt _|

= Z

f (ϕ(x)) ϕ ^′ (x) dx.

Formula del cambiamento di variabile

Siano f ∈ C([a, b]), ϕ ∈ C ¹ (I) dove I è un intervallo tale che ϕ(I) ⊂ [a, b].

Allora, per ogni α, β ∈ I : Z _ϕ(β)

ϕ(α)

f(t) dt = Z β

α

f (ϕ(x)) ϕ ^′ (x) dx

Example Se φ ∈ C ¹ (I)

Z φ ^′ (x)

φ(x) dx = log |φ(x)|

Example

Z x

x ² + α ² dx = 1

2 log(x ² + α ² ) Example

Z 1

x ² + α ² dx = 1 α ²

Z 1

(x/α) ² + 1 dx = 1

α arctan x

α

Example

Z 1 + 2e ^x e ^2x + 1 dx =

Z 1 + 2e ^x

(e ^2x + 1)e ^x e ^x dx

=

Z 1 + 2t (t ² + 1)t dt

= Z  1

t + 2

t ² + 1 − t t ² + 1

 dt

= log |t| + 2 arctan(t) − 1

2 log(t ² + 1)

Example (Cambiamenti di scala)

Sia λ > 0 e sia f : (λa, λb) → R Riemann integrabile. Sia ( f λ : (a, b) → R

f _λ (x) := f (λx) allora: f λ è Riemann integrabile in (a, b) e

Z

(a,b)

f (λx) dx = 1 λ

Z

(λa,λb)

f(x) dx.

f(2x)

f(x)

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

-0.5 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5

Example (Invarianza per traslazione)

Sia f : (a, b) → R Riemann integrabile in (a, b). Sia f τ la funzione traslata:

( f _τ : (a − τ, b − τ ) → R f τ (x) := f (x + τ ) Allora, per ogni τ ∈ R:

f τ è Riemann integrabile in (a − τ, b − τ ) e Z

(a,b)

f (x)dx = Z

(a−τ,b−τ )

f (x + τ )dx = Z

(a−τ,b−τ )

f τ (x)dx.

-1 1 2 3 4 5

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Z Z

Example (Invarianza per riflessione)

Se f : (a, b) → R è Riemann integrabile in (a, b). Sia f s : (−b, −a) la funzione simmetrica:

( f s : (−b, −a) → R f s (x) := f (−x) allora:

f s è Riemann integrabile in (−b, −a) e Z

(a,b)

f(x)dx = Z

(−b,−a)

f (−x)dx = Z

(−b,−a)

f s (x)dx.

-4 -2 2 4

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 2.0

Z Z

Example (Simmetrie)

Se f : (−a, a) → R è dispari e Riemann integrabile allora Z

(−a,a)

f (x)dx = 0.

Se g : (−a, a) → R è pari e Riemann integrabile allora Z

(−a,a)

g(x)dx = 2 Z

(0,a)

g(x)dx.

Ogni funzione razionale si può scrivere come somma di

funzioni razionali "semplici".

Example

Z x ³ + 3x ² + 1 x ² + 1 dx =

Z 

x + 3 − x + 2 x ² + 1

 dx

= 1

2 x ² + 3x −

Z x

x ² + 1 dx −

Z 2

x ² + 1 dx

= 1

2 x ² + 3x − 1

2 log(x ² + 1) − 2 arctan x

Example

Z 2x + 3 x ² + 4x + 8 dx

= Z 

2x + 4

x ² + 4x + 8 − 1 x ² + 4x + 8

 dx

= log(x ² + 4x + 8) − 1 4

Z 1

(x/2 + 1) ² + 1 dx

= log(x ² + 4x + 8) − 1

2 arctan(x/2 + 1)

Example

Z 3x + 3

(x − 1)(x + 2) dx = Z 

2

x − 1 + 1 x + 2

 dx

= 2 log |x − 1| + log |x + 2|

La formula di Taylor con resto in forma integrale Sia f : (a, b) → R, (n + 1)-volte derivabile in (a, b).

Sia f ⁽ⁿ⁺¹⁾ Riemann integrabile in (a, b). Allora

f (x) =

n

X

k=0

1

k ! f ^{(k )} (x 0 ) · (x − x 0 ) ^k + 1 n!

Z x x

f ⁽ⁿ⁺¹⁾ (t) · (x − t) ⁿ dt.

per ogni x 0 , x ∈ (a, b).

Traccia di prova:

f (x ) − f (x 0 ) = Z x

x

f ^′ (t)dt, e poichè d

dt (x − t) = −1

= − Z x

x

d

dt (x − t) f ^′ (t)dt, e integrando per parti

= −(x − t) f ^′ (t)| ^x _x

+ Z x

x

(x − t) f ^′′ (t)dt

= (x − x 0 ) f ^′ (x 0 ) + Z x

x

(x − t) f ^′′ (t)dt.

Osservando che

(x − t) = − 1 2

d

dt (x − t) ² ; con una ulteriore integrazione per parti si ottiene

f (x ) − f (x 0 ) = (x − x 0 ) f ^′ (x 0 ) + 1

2 (x − x 0 ) ² + 1 2

Z x x

(x − t) ² f ⁽³⁾ (t)dt.

Si prosegue osservando che

(x − t) ² = − 1 3

d

dt (x − t) ³

e integrando ancora per parti. . .

Example

La funzione x 7→ e ^x è infinitamente derivabile in R.

La formula di Taylor, con resto integrale e con x 0 = 0, è

e ^x =

n

X

k =0

1 k !

 D ^{(k )} e ^x 

| x=0 · x ^k + 1 n!

Z x 0

 D ⁽ⁿ⁺¹⁾ e ^t 

· (x − t) ⁿ dt

=

n

X

k =0

1

k ! · x ^k + 1 n!

Z x 0

e ^t · (x − t) ⁿ dt.

per qualsiasi n ∈ N.