Forme indeterminate dei limiti di funzioni razionali

Forme indeterminate dei limiti di funzioni razionali

I limiti delle funzioni razionali, intere o fratte, quando non sono immediatamente determinati, danno luogo ai seguenti tipi di forme indeterminate:

0

0 ; ∞

∞ ; +∞ − ∞ ; 0 · ∞ ;

Le tecniche risolutive per i suddetti quattro casi sono leggermente differenti tra loro.

Caso 0 0

Si risolve scomponendo in fattori il numeratore ed il denominatore, semplificando, e calcolando il limite dell’espressione così ottenuta.

Esempio:

lim

x→3

x ² − 9

x ² − 5x + 6 = (3 ⁺ ) ² − 9

(3 ⁺ ) ² − 5 · (3 ⁺ ) + 6 = 9 ⁺ − 9

9 ⁺ − 15 ⁺ + 6 = 0 ⁺ 0 ^? = 0

0 Tale forma indeterminata si risolve come segue:

lim

x→3

x ² − 9

x ² − 5x + 6 = lim

x→3

(x − 3)(x + 3)

(x − 3)(x − 2) = lim

x→3

1

(x − 3)(x + 3) (x − 3)

1

(x − 2) = lim

x→3

x + 3

x − 2 = 3 ⁺ + 3 3 ⁺ − 2 = 6 ⁺

1 ⁺ = 6

Caso ∞

∞

Si risolve conservando i soli termini di grado massimo sia a numeratore che a denominatore, semplificando, e calcolando il limite dell’espressione così ottenuta.

Esempio:

x→+∞ lim

15x ² + 9x + 6

3x ² + 3x + 6 = 15 · (+∞) ² + 9 · (+∞) + 6

3 · (+∞) ² + 3 · (+∞) + 6 = 15 · (+∞) + 9 · (+∞) + 6

3 · (+∞) + 3 · (+∞) + 6 = (+∞) + (+∞) + 6

(+∞) + (+∞) + 6 = +∞

+∞ = ∞

∞ Tale forma indeterminata si risolve come segue:

x→+∞ lim

15x ² + 9x + 6

3x ² + 3x + 6 = lim

x→+∞

15x ²

3x ² = lim

x→+∞

5

15x ² 3x ²

1

= 5

Caso +∞ − ∞

Si risolve conservando il termine di grado massimo e calcolando il limite dell’espressione così ottenuta.

Esempio:

lim

x→+∞ (5x ⁷ −3x ² +9x−6) = 5·(+∞) ⁷ −3·(+∞) ² +9·(+∞)−6 = 5·(+∞)−3·(+∞)+9·(+∞)−6 = +∞−∞+∞−6 = +∞−∞

Tale forma indeterminata si risolve come segue:

x→+∞ lim (5x ⁷ − 3x ² + 9x − 6) = lim

x→+∞ 5x ⁷ = 5 · (+∞) ⁷ = 5 · (+∞) = +∞

Caso 0 · ∞ Si risolve trasformandolo in ∞

∞ oppure in 0 0

x→+∞ lim

 1 x



· 15x ² + 9x + 6



=

 1 +∞



· 15 · (+∞) ² + 9 · (+∞) + 6

=

= 0 ⁺
· (15 · (+∞) + 9 · (+∞) + 6) = 0 ⁺
· (+∞ + ∞ + 6) = 0 ⁺
· (+∞) = 0 · ∞ Tale forma indeterminata si risolve come segue:

lim

x→+∞

 1 x



· 15x ² + 9x + 6



= lim

x→+∞

15x ² + 9x + 6 x = . . .

Riepilogo (valido per i limiti delle funzioni razionali):

tipo di forma indetermina-

ta

procedimento risolutivo (I step)

procedimento risolutivo (II step)

procedimento risolutivo (III step)

0

0 scomporre numeratore e denominatore

semplificare

(eliminare i fattori 0) valutare il limite

∞

∞

conservare i soli termini di grado massimo sia a

numeratore che a denominatore

semplificare valutare il limite

+∞ − ∞ conservare il solo termine di

grado massimo valutare il limite

0 · ∞ convertire in una delle forme 0

0 o ∞

∞