©Paola Gervasio (UniBS) - Calcolo Scientifico 1

Un problema di ottimizzazione

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0 5 10 15 20

t 0

500 1000 1500 2000 2500

b(t) b'(t)

Dinamica delle popolazioni. Una colonia di 250 esemplari di batteri viene posta in un ambiente isolato e si riproduce seguendo il modello di Verhulst

b(t) = 2500

1 + 9e ^−t/3 , t > 0,

dove t rappresenta il tempo (espresso in giorni) trascorso a partire dal tempo t = 0 di inizio della coltura. Si vuole determinare dopo quanti giorni il tasso di crescita della popolazione di batteri raggiunge il valore massimo.

Modello di Verhulst: la numerosit` a della popolazione cresce tendendo asintoticamente ad un certo valore detto capacit` a portante, maggiore ` e la numerosit` a e minore ` e la velocit` a di crescita della numerosit` a stessa a causa di competizioni interne per spazio e nutrimento. Qui la capacit` a portante ` e

t→∞ lim b(t) = 2500.

Tasso di crescita=variazione istantanea, cio` e b ⁰ (t).

Svolgimento

Dobbiamo trovare il punto di massimo del tasso di crescita, cio` e il punto di massimo di b <sup>0</sup> (t). Dal grafico vediamo che il punto di massimo di b <sup>0</sup> (t) ` e l’unico punto stazionario di b ⁰ (t), ovvero tale che (b ⁰ ) ⁰ = 0. Quindi poniamo

f (t) = b ⁰⁰ (t) e calcoliamo l’unica radice di f (t) = 0.

Per calcolare velocemente b ⁰⁰ (t) :

s y m s t % t variabile simbolica

b = 2 5 0 0 / ( 1 + 9 * exp ( - t / 3 ) ) ; % b e’ una funzione simbolica b2 = d i f f ( b , 2 ) ; % calcolo b’’ simbolicamente

f = m a t l a b F u n c t i o n ( b2 ); % trasformo b2 in function handle

Rappresentare graficamente f, localizzare la radice,

definire i dati e richiamare il metodo delle secanti.

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0 5 10 15 20

t -30

-20 -10 0 10 20 30

f(t)

Le istruzioni x0 =5; x1 =9;

tol =1 e -8; k m a x = 2 0 ;

[ z , res , k ]= s e c a n t i ( f , x0 , x1 , tol , k m a x ) producono

z =

6 . 5 9 1 6 7 3 7 3 2 0 0 8 6 5 8 e +00 res =

2 . 8 4 2 1 7 0 9 4 3 0 4 0 4 0 1 e -14 k =

5

Il massimo tasso di crescita si ha dopo 6.59 giorni dall’inizio della

coltura.

Esercizio:

Calcolare il punto di minimo della funzione

h(x ) = (x − 5) ² − 3 sin(x − 5) con x ∈ [0, 10] utilizzando il metodo di Newton, prendendo prima x ⁽⁰⁾ = 0 e poi x ⁽⁰⁾ = 1.

Confrontare il numero di iterazioni necessarie per arrivare a

convergenza avendo preso la stessa tolleranza per il test d’arresto e capire perch´ e il numero di iterazioni richieste dal metodo di

Newton ` e cos`ı diverso nei due casi.

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