Tre masse incernierate

Tre masse incernierate

Figure 1:

Siano date tre masse m₁, m₂e m₃, collegate da due aste di massa trascur- abile e opportunamente incernierate, in modo che m1 e m3 siano vincolate a muoversi lungo l’asse x, come indicato in figura. m₁ e m₃ possono essere considerati due manicotti vincolati sui semiassi x⁻ e x⁺, rispettivamente.

All’istante iniziale, la cerniera `e chiusa con le masse m1 e m3 poste nell’origine. Il sistema viene perturbato spostando leggermente le masse m₁ e m₃ dalla posizione di equilibrio instabile.

Determinare:

1. l’equazione differenziale, non integrabile in termini di funzioni ele- mentari, la cui soluzione d`a la legge oraria θ(t) (vedi figura per la definizione di θ);

2. l’equazione esplicita della traiettoria seguita dalla massa m2;

3. le velocit´a delle 3 masse e la velocit`a angolare ω0 = ˙θ0 all’istante in cui la massa m₂ incontra l’asse x;

4. le forze che le due aste esercitano su ciascuna delle tre masse nello stesso istante del punto precedente.

1 Introduzione: variabili indipendenti

La prima cosa da chiedersi `e quanti siano i gradi di libert`a del sistema.

Potremmo scegliere le coordinate (x₂, y₂) della massa m₂ e l’angolo θ. In realt`a si capisce che queste variabili non sono indipendenti, infatti y₂ = l sin θ. Allora possiamo scegliere (x2, θ) come variabili indipendenti.

Il fatto che ci siano 2 gradi di libert`a si ottiene anche contando il numero di variabili e sottraendo i vincoli. Esistono 6 variabili, che sono le 3 coppie di coordinate delle masse, ed i seguenti vincoli:

1. m1 vincolata sull’asse x;

2. m₃ vincolata sull’asse x;

3. distanza 2 − 3 uguale a l;

4. distanza 1 − 2 uguale a l.

per un totale di 4 vincoli.

Il numero di grado di libert`a, quindi, `e: N_DOF = 6 − 4 = 2, come visto in precedenza. Scriviamo esplicitamente le coordinate e le velocit`a delle tre masse in funzione delle due variabili indipendenti scelte (x2, θ):







x1 = x2− l cos θ x₃ = x₂+ l cos θ y₂ = l sin θ

(1)







˙

x₁ = x˙₂+ l ˙θ sin θ

˙

x3 = x˙2− l ˙θ sin θ

˙

y2 = l ˙θ cos θ

(2)

2 Legge oraria

Le quantit`a che si conservano nel moto sono la componente x della quantit`a di moto e l’energia. La quantit`a di moto iniziale `e nulla, per cui:

m1x˙1+ m2x˙2+ m3x˙3= M ˙xCM = Qx= 0 (3) dove M `e la massa totale e xCM = (P m_ixi)/M la coordinata del centro di massa del sistema.

Se ne deduce che x_CM rimane costante. Avendo scelto l’asse y passante per le 3 masse all’istante iniziale (m₁ e m₃ coincidenti e m₂ sulla verticale), risulta xCM = 0 per tutta la durata del moto. L’asse y:

• coincide con m₁ (m3) nel caso m1 = ∞ (m3 = ∞), cio`e nei casi limite

• coincide con m₂ nel caso in cui m₁ = m₃;

• si trova fra m₁ e m₂ (m₃ e m₂) per m₁ > m₃ (m₃ > m₁).

Si noti che l’asse y non pu`o mai essere esterno al sistema. La figura rappresenta il caso m<sub>1</sub> > m<sub>3</sub>, nel quale possiamo porci senza perdere di generalit`a.

Sostituendo le relazioni trovate al paragrafo precedente, la conservazione di Q_x ci permette di esprimere ˙x₂ in funzione di θ:

Qx= M ˙x2+ (m1− m₃)l ˙θ sin θ = 0 → x˙2= −m1− m₃

M l ˙θ sin θ (4) Il segno “-” indica il fatto che x₂ aumenta al diminuire di θ.

L’altra legge di conservazione `e quella dell’energia:

1

2m₁x˙²₁+1

2m₂x˙²₂+1

2m₂y˙₂²+1

2m₃x˙²₃= m₂gl − m₂gy₂ Sostituendo i valori in (2):

M ˙x²₂+(m1+m3)l²θ˙²sin²θ+2(m1−m₃) ˙x2θ sin θ+m˙ 2l2cos²θ = 2m2gl(1−sin θ) (5) Per rispondere alla prima domanda, sostituiamo ˙x₂trovato in (4) nell’equazione (5):

4m1m3− m²₂

M l²θ˙²sin²θ + m2l²θ˙²− 2m₂gl(1 − sin θ) = 0 (6) Questa equazione, non integrabile in termini di funzioni elementari, permette di ricavare la funzione cercata θ(t).

3 Traiettoria seguita da m

La coordinata x₂ si ricava dal vincolo x_CM = 0:

m2x2= −(m1x1+ m3x3) = −(m1+ m3)x2+ (m1− m₃)l cos θ Sostituendo x1 e x2 ricavati da (1) si ricava M x2 = (m1− m₃)l cos θ. Com- binando questa relazione con y2 = l sin θ si ottiene:

x²₂ a² +y₂²

b² = 1 (7)

con a = l(m₁− m₃)/M e b = l, che rappresenta l’equazione di un’ellisse con semiasse b = l lungo l’asse y (condizione iniziale) e a = ^m1_M^−m3l < b, lungo l’asse x.

4 Velocit` a delle masse in θ=0

A questa domanda si pu`o rispondere partendo dall’equazione (6), oppure direttamente dalle relazioni scritte in (2). Infatti, per θ = 0, le velocit`a delle tre masse diventano:

˙

x₁₀= ˙x₃₀= ˙x₂₀ ; y˙₂₀= l ˙θ₀

dove abbiamo posto, per semplicit`a di notazione, x₁₀= x₁(θ = 0) e analoga- mente per le altre variabili e per le derivate.

Ma, essendo ˙xCM = 0,

˙

x10= ˙x30= ˙x20= 0

La velocit`a lungo y `e data dalla conservazione dell’energia:

˙ y2 =p

2gl ; ω = ˙θ0 = r2g

l

Figure 2:

5 Forze esercitate dalle aste sulle masse in θ=0

Il diagramma delle forze in θ = 0 `e rappresentato in figura 2 dove, per chiarezza, non sono state disegnate le aste di collegamento.

Per trovare le tensioni ~T1= T1eˆxe ~T3= T3eˆx, indicate in figura, conviene derivare ulteriormente le relazioni in (2):

 x¨1 = x¨2+ l ¨θ sin θ + l ˙θ²cos θ

¨

x3 = x¨2− l ¨θ sin θ − l ˙θ²cos θ (8) E necessario trovare prima ¨` x₂ derivando ulteriormente l’equazione (4):

Per θ = 0, ricordando quanto trovato al punto precedente per ˙θ₀, dall’equazione precedente si ricava ¨x20 da sostituire, poi, nella (8):







¨

x₁₀ = ^m2+2m_M ³2g

¨

x₂₀ = −^m1_M^−m32g

¨

x30 = −^m2+2m_M ¹2g

(9)

Si pu`o verificare che m₁x¨₁+ m₂x¨₂+ m₃x¨₃ = M ¨x_CM = 0, come atteso.

Le forze di tensione si trovano moltiplicando per le rispettive masse:

(

T₁ = m₁x¨₁₀= ^2m1(m_M^2+2m3)g

T₃ = m₃x¨₃₀= −^2m3(m_M^2+2m1)g (10)