Osservazione: anche θ 2 = −iπ ` e una radice del polinomio M . Denotiamo con θ 3 , θ 4 , . . . , θ d le altre radici. Consideriamo l’espressione

Consideriamo il numero (complesso) θ ₁ = iπ; supponiamo che sia alge- brico: allora esiste un polinomio irriducibile M (z) (di grado diciamo d) con coefficienti interi tale che M (θ 1 ) = 0.

Osservazione: anche θ ₂ = −iπ ` e una radice del polinomio M . Denotiamo con θ ₃ , θ ₄ , . . . , θ _d le altre radici. Consideriamo l’espressione

E = (1 + e ^θ

)(1 + e ^θ

)(1 + e ^θ

) . . . (1 + e ^θ

) = X

ν∈{0,1}

e ^Θ

dove ν = (ε ₁ , ε ₂ , . . . , ε _d ) dove ε _j ∈ {0, 1} (ν ∈ {0, 1} ^d ), e Θ _ν = ε ₁ θ ₁ + ε ₂ θ ₂ + ε ₃ θ ₄ + · · · + ε _d θ _d (∈ C)

Alcuni di questi Θ _ν sono nulli (per esempio per ν = (0, 0, 0, . . . , 0) e ν = (1, 1, 0, . . . , 0)). Indichiamo con n il numero di termini Θ _ν non nulli, indican- doli per semplicit` a con α 1 , α 2 , . . . , α n . Allora l’espressione E si scrive

E = q + e ^α

+ e ^α

+ e ^α

+ · · · + +e ^α

, q = 2 ^d − n.

D’altra parte e ^iπ = −1 e quindi abbiamo

E = q + e ^α

+ e ^α

+ e ^α

+ · · · + e ^α

= 0.

Introduciamo ora la quantit` a

J = I(α ₁ ) + I(α ₂ ) + · · · + I(α _n ) = −q P (0) −

n

X

k=1

P (α _k )

con (con le stesse notazioni precedenti) P (z) = P m

j=0 f ^(j) (z), dove il poli- nomio, di grado m = (n + 1)p − 1, f (z) ` e

f (z) = ` ^np z ^p−1 (z − α ₁ ) ^p (z − α ₂ ) ^p (z − α ₃ ) ^p · · · (z − α _n ) ^p

dove ` ` e il coefficiente di grado massimo (= d) di M (z). Come nel caso di e risulta che



 

 

f ^(j) (0) = 0 j < p − 1

f ^(p−1) (0) = ` ⁿ (−1) ^np (α ₁ α ₂ · · · α _n ) ^p

f ^(j) (α _i ) = 0 j < p

1

da cui

J = −q ` <sup>n</sup> (−1) <sup>np</sup> (α <sub>1</sub> α <sub>2</sub> · · · α <sub>n</sub> ) <sup>p</sup> (p − 1)! + p! γ, γ ∈ C che si pu` o pi` u convenientemente scrivere

J = (p − 1)! 

− q ` ⁿ (−1) ^np (α ₁ α ₂ · · · α _n ) ^p + p γ 

, γ ∈ C con

p! γ = −q X

j=p

f ^(j) (0) −

m

X

j=p n

X

k=1

f ^(j) (α _k )

Ora si osservi che i coefficienti del polinomio f (z) sono polinomi simme- trici in ` α <sub>1</sub> , ` α ₂ , ` α <sub>3</sub> , . . . , ` α _n , quindi sono polinomi simmetrici anche in

` Θ _ν , ν ∈ {0, 1} ^d e quindi infine sono polinomi simmetrici in

` θ 1 , ` θ 2 , ` θ 3 , . . . , ` θ d .

Applicando il teorema che ogni polinomio simmetrico in n variabili si pu` o scrivere come polinomio nei polinomi fondamentali abbiamo che i coefficienti di f (z) sono interi e prendendo p sufficientemente grande otteniamo che

|J| ≥ (p − 1)!. (1)

D’altra parte dalla disuguaglianza

|I(t)| ≤ |t| e ^|t| f (|t|) ¯ otteniamo

|J| ≤ C ^p che ` e incompatibile con la (1) per p grande.

Concludiamo che iπ ` e trascendente e quindi anche π ` e trascendente.

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