Esercizio 2 Mettere nella forma ρ(cos θ + i sin θ) = ρe iθ i seguenti numeri complessi:

1 ESERCIZI PROPOSTI PER IL TEST DI AUTOVALUTAZIONE DEL 10 DICEMBRE 2010

Esercizio 1 Calcolare il modulo dei seguenti numeri complessi:

i(2i − 3), (i − 1)(i + 1)(1 − 3i), 1 − i i − 1 .

Esercizio 2 Mettere nella forma ρ(cos θ + i sin θ) = ρe ^iθ i seguenti numeri complessi:

1 + i, 3 − 3i, i, 1 + i

1 − i , −i, 1 − i.

Esercizio 3 Calcolare le seguenti radici complesse:

√ 1, √ i, √

−1, √

−i,

Esercizio 4 Trovare tutte le soluzioni delle seguenti equazioni:

z ³ = 1, z ³ = 2, z ³ = −1, z ³ = −2, z ⁴ = i, z ⁴ = −i

Esercizio 5 Osservare che se il numero complesso z `e una soluzione dell’e- quazione z ⁿ = 1, e w = ρ e ^iφ , allora il numero complesso √

ρ e ^iφ/n z `e una soluzione dell’equazione z ⁿ = w. Utilizzare questa osservazione per trovare le soluzioni dell’equazione z ⁴ = 1 + i.

Esercizio 6 Trovare le soluzioni delle seguenti equazioni:

z ² + 2iz + 3 = 0, z ² − 2iz + 3 = 0.

Osservare che le soluzioni della prima equazione sono coniugate delle soluzioni

della seconda e dedurne una regola generale.