Cognome Nome Matricola
Universit`a degli Studi di Padova – Facolt`a di Ingegneria Laurea in Ingegneria Gestionale,
Prof. M. Motta Parte A di Analisi 2, N.O.
Vicenza, 21 dicembre 2004 Esercizio 1
(i) Determinare la soluzione del problema di Cauchy (
y0(x) = −3y(x)+x1+y2(x)2y(x)
y(0) = 1
(ii) Determinare il dominio massimale di definizione di tale soluzione.
Sol. L’equazione differenziale `e a variabili separabili, infatti y0(x) = − 1
3 + x2
1 + y2(x) y(x) .
Poich`e g(y) = 1+yy 2 `e definita ∀y 6= 0 e per tali y g(y) 6= 0, non ci sono soluzioni singolari. Per determinare la soluzione del problema di Cauchy risolviamo
Z x 0
y(t)y0(t)
1 + y2(t)dt = − Z x
0
1 3 + t2dt, da cui si ottiene
1
2log(1 + y2(x)) − log 2 = −
√3
3 arctan
x
√3
, cio`e
p1 + y2(x) = elog
√2−
√ 3 3 arctan“
√x 3
”
, y2(x) = e2
h log√
2−
√ 3 3 arctan“
√x 3
”i
− 1.
Poich`e y(0) = 1 > 0, y(x) > 0 e dunque y(x) =
q e2
h log√
2−
√ 3 3 arctan“
√x 3
”i
− 1 = q
2e−2
√ 3 3 arctan“
√x 3
”
− 1.
(ii) Il dominio massimale di definizione di tale soluzione `e log√
2 −
√3
3 arctan
x
√3
≥ 0 cio`e
√
3 log√
2 ≥ arctan
x
√3
, tan√
3 log√ 2
≥ x
√3, x ≤√
3 tan√
3 log√ 2
.
Cognome Nome Matricola Esercizio 2
Si consideri la funzione
f (x, y) = cos(2x) − 2 sin(2y).
Determinare, se esistono, minimo e massimo assoluti di f nella regione T =n
(x, y) : −π
4 ≤ x ≤ π
4, 0 ≤ y ≤ −x + π 4
o e giustificare le risposte.
Sol. Poich`e f `e continua e l’insieme T `e un triangolo (chiuso e limitato), per il Teorema di Weierstrass essa ammette minimo e massimo assoluti.
Eventuali punti di estremo interni a T devono verificare
fx(x, y) = −2 sin(2x) = 0, fy(x, y) = −4 cos(2y) = 0.
L’unica soluzione di tale sistema `e (x, y) = (0, π/4) che appartiene al bordo di T , quindi f non assume massimi e minimi locali (e assoluti) in punti interni a T .
Sul bordo si ha γ1(x) = (x, 0) con x ∈ [−π/4, π/4]. Quindi f (γ1(x)) = cos(2x)
ed assume massimo in (x, y) = (0, 0) dove f (0, 0) = 1 e minimo in (−π/4, 0) e in (π/4, 0) dove f (−π/4, 0) = f (π/4, 0) = 0.
Posto γ2(y) = (−π/4, y) con y ∈ [0, π/2], si ha
f (γ2(y)) = −2 sin(2y)
che assume minimo in (−π/4, π/4) dove f (−π/4, π/4) = −2 e massimo in (−π/4, π/2) dove f (−π/4, π/2) = 0.
Infine, posto γ3(y) = (x, −x + π/4) con x ∈ [−π/4, π/4], si ha
f (γ3(x)) = cos(2x) − 2 sin(−2x + π/2) = cos(2x) − 2 cos(2x) = −cos(2x)
che assume minimo in (0, π/4) dove f (0, π/4) = −1 e massimo in (−π/4, π/2) e in (π/4, 0) dove f (−π/4, π/2) = f (π/4, 0) = 0.
In conclusione, il minimo assoluto viene assunto in (−π/4, π/4) dove f (−π/4, π/4) = −2 e il massimo assoluto viene assunto in (0, 0) dove f (0, 0) = 1.
Cognome Nome Matricola Esercizio 3
(i) Disegnare la regione limitata del piano, detta D, individuata dalle soluzioni della dise- quazione
|y| ≤ (|x| − 2)2 (x, y) ∈ IR2.
(ii) Detto C il solido ottenuto dalla rotazione di un angolo pari a 2π attorno all’asse y dell’
insieme
D+ = D ∩ {(x, y) ∈ IR2 : x ≥ 0}, calcolare il volume di C.
(iii) Calcolare l’ integrale triplo
Z
C
p|y| dx dy dz, dove C `e il solido definito nel punto (ii).
Sol. (i) D `e simmetrico sia rispetto all’asse x che all’asse y, quindi basta disegnare la parabola y = (x − 2)2 nel primo quadrante: la regione limitata che si ottiene nel primo quadrante, detta D++, `e quella compresa tra l’arco di parabola e gli assi x ed y nei tratti tra (0, 0) e (2, 0) e tra (0, 0) e (0, 4), rispettivamente.
(ii) Per il Teorema di Guldino e per le simmetrie precedentemente osservate, si ha
V ol(C) = 4π Z
D++
x dx dy = 4π Z 2
0
x
Z (x−2)2 0
dy
!
dx = 4π Z 2
0
x(x − 2)2dx = 16 3 π.
(iii) Per la simmetria di C e poich`e p|y| `e pari rispetto a y, si ha che Z
C
p|y| dx dy dz = 2Z
C+
√y dx dy dz,
dove C+ = C ∩ {(x, y, z) : y ≥ 0}. In coordinate cilindriche di asse y si ha che C+ =(ρ, θ, y) : 0 ≤ ρ ≤ 2, 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ y ≤ (ρ − 2)2 , quindi
Z
C
p|y| dx dy dz = 4πZ 2 0
ρ
Z (ρ−2)2 0
√ydy
!
dρ = 8 3π
Z 2 0
ρ(2 − ρ)3dρ e posto t = 2 − ρ si ottiene
Z
C
p|y| dx dy dz = 8 3π
Z 2 0
(2 − t)t3dt = 64 15π.
