FISICA GENERALE

FISICA GENERALE

MODULO A

CORSO H – BARI

INTRODUZIONE AL CORSO

Dott. Giannuzzi Giuseppe

FISICA GENERALE ^{- MODULO A}

Il Modulo A (6cfu) è il primo dei due moduli che costituiscono il corso di FISICA GENERALE (12cfu).

Docente Dott. Giannuzzi Giuseppe

Dipartimento Interateneo di Fisica (stanza 233-2° piano) [email protected]

Ricevimento ogni mercoledì h15.00 →17.00 (modalità remota). É necessario prenotare il ricevimento inviando una mail.

Libri di testo consigliato (Mod.A)

Elementi di fisica. Meccanica, termodinamica II edizione – EDISES o successive

di Massimo Nigro, Paolo Mazzoldi, Cesare Voci

FISICA GENERALE ^{- MODULO A}

Tips:

- È fortemente consigliato seguire le lezioni

- È consigliato partecipare alla prova intermedia, in modo da creare le condizioni per utilizzare il bonus velocità.

- Ricevimento in remoto tramite prenotazione via mail

Il programma, le informazioni sul corso (esami, risultati, dispense) saranno di volta in volta disponibili:

1. https://corsidibasepoliba.cloud.ba.infn.it/fisica-giannuzzi/

2. Canale Teams

(1) (2)

Il metodo scientifico

La Fisica è una scienza basata sull’esperienza.

La Fisica descrive il mondo reale mediante modellizzazione e schematizzazione delle osservazioni, inquadrandoli in teorie.

Questo implica che si semplifica una situazione sperimentale per ricavare un modello descrittivo e solo successivamente si introducono dei dettagli che si avvicinano alla reale osservazione.

I modelli possono essere superati nel tempo da nuovi che descrivono meglio le osservazioni sperimentali.

Il risultato finale è un insieme di principi fondamentali e leggi che descrivono i fenomeni che avvengono intorno a noi.

Le leggi fisiche producono relazioni tra grandezze fisiche.

La metodologia fisica che approfondirete nel corso vi rimarrà come metodologia applicativa che utilizzerete nei vari campi dell’ingegneria.

La Fisica è una scienza basata sul metodo sperimentale ossia basata sulle misurazioni: per un dato fenomeno si individuano quelle che possono essere le grandezze significative e se ne eseguono le misure (procedimento chiaro, ripetibile).

L’obiettivo è quello di determinare una legge (quantitativa) che regola il fenomeno, ossia una relazione tra le grandezze misurate.

Il risultato della misura è un numero e per ogni grandezza è necessario definire le procedure per effettuare la misura (definizione operativa di una grandezza fisica).

L’operazione di misura è una comparazione tra grandezze fisiche della stessa specie, quindi è necessario riferirsi al campione di misura della grandezza. Il risultato della misura è espresso come rapporto quantitativo rispetto al campione di misura.

Se vogliamo definire la lunghezza come grandezza fisica dobbiamo prima definire un campione di lunghezza, il Metro, poi fare il confronto tra la distanza da misurare ed il campione; il risultato sarà il numero di volte che il campione è contenuto nella distanza.

Il confronto che operiamo con il campione può essere sia diretto che indiretto (attraverso una relazione nota a priori).

(appendice B) Unità di misura

Il numero di grandezze fisiche che si possono misurare è grande tuttavia molte di queste sono legate da equazioni le une con le altre.

Inoltre, la scelta dell’unità di misura è arbitraria.

Adozione di una convenzione universalmente accettata sulle grandezze fondamentali e su come siano definiti i campioni (accessibile, riproducibile, invariabile) delle unità di misura di tali grandezze.

Tali grandezze fondamentali sono limitate (tradizione storica, praticità). Le altre grandezze sono derivate dalle fondamentali (ad esempio la velocità si esprime in m/s, metro e secondo sono grandezze fondamentali e la velocità è grandezza derivata).

In meccanica le grandezze fondamentali per descrivere il moto dei corpi e le cause di esso sono: lunghezza, tempo, massa; tutte le altre grandezze possono essere espresse in termini di queste tre.

Il criterio scelto per individuare le grandezze fondamentali è in genere legata alla facilità di misura della grandezza.

Unità di misura

Sistema Internazionale – SI

Il sistema che si usa è il Sistema Internazionale (S.I.) a sua volta derivato da quello CGS che ha selezionato come fondamentali le seguenti 7 grandezze (+angolo piano e solido, con le unità di misura radiante (rad) e steradiante (sr))

Per tutte queste grandezze fondamentali sono date le procedure sperimentali che le definiscono ad es. 1 metro è definito come lo spazio percorso dalla luce nel vuoto nel tempo 𝑡 = ^1𝑚

𝑐 = ¹

299792458 𝑠𝑒𝑐𝑜𝑛𝑑𝑖. (c è il valore della velocità della luce nel vuoto) Le altre procedure le trovate in appendice nel libro di testo.

Le grandezze derivate invece sono collegate da equazioni alle grandezze fondamentali ad es. la potenza si misura in watt e 1watt = 1W = 1 kg·m²/s³ che si legge “1 watt è uguale a 1 kilogrammo per metro quadro al secondo cubo”.

Sistema Internazionale

Mod.AMod.B

Notazione scientifica

Il risultato di una misura spesso è un numero molto grande o molto piccolo.

Per meglio esprimere questi valori si usa la notazione scientifica:

3560000000 m = 3.56·10⁹ m (sulla calcolatrice 3.56E+9) 0.000000492 m= 4.92·10⁻⁷ m

(sulla calcolatrice 4.92E-7)

In generale è meglio indicare la parte intera non nulla ovvero è meglio indicare 1.72·10⁻² piuttosto che 0.172·10⁻³.

Cifre significative

Quante cifre usare dopo la virgola?

Per una corretta risposta alla domanda bisognerebbe rifarsi alla teoria degli errori, non inclusa nel programma di studio di questo corso.

Tuttavia il numero delle cifre utilizzate indica l’incertezza della misura; ad esempio:

se misuriamo un tavolo con un centimetro, assumendo che l’errore è dato dalle tacche visibili ed è 1mm, allora se trovo come risultato della misura 1.2542 m devo più correttamente indicare 1.254 m (sottintendendo ±0.001 m).

In generale per i conti dei nostri problemi per un buon risultato approssimato sarà sufficiente indicare 2 cifre dopo la virgola.

Multipli-sottomultipli

Altro modo sintetico per esprimere numeri è tramite l’utilizzo di multipli e sottomultipli delle unità di misura in modo da evitare le potenze di 10.

Ad esempio:

12000 g = 12 kg

2.35 ·10⁻⁹ s = 2.35 ns (nanosecondi) 1.27 10⁹ W = 1.27 GW (Gigawatt)

Spesso per passare da una unità di misura fondamentale ad un’altra derivata e viceversa occorre ricavarsi i fattori di conversione, ad esempio:

1 cm² = (1 cm)² = (10⁻² m)² = 10⁻⁴ m² il fattore di conversione è in questo caso 10⁻⁴.

Bisogna far attenzione a questi passaggi per non avere risultati sbagliati di diverse potenze di 10.

Multipli-sottomultipli

Bisogna anteporre il suffisso del multiplo-sottomultiplo alla unità di misura e ricordarsi la conversione. (Anomalie: massa e tempo)

La seguente tabella riporta multipli/sottomultipli e potenze di 10 da mettere a fattore:

Equazioni dimensionali

Se abbiamo una equazione che lega una grandezza derivata ad una fondamentale e vogliamo determinare le unità di misura da usare si usano le equazioni dimensionali.

Le equazioni della fisica stabiliscono relazioni tra grandezze, dal punto di vista delle unità di misura i 2 membri dell’equazione devono avere le stesse unità di misura, devono essere onogenei.

Le equazioni dimensionali consentono la verifica della correttezza (condizione necessaria ma non sufficiente) di una equazione che per esempio abbiamo ottenuto dopo una serie di passaggi: una anomalia nell’equazione dimensionale indica che un errore in qualche passaggio. Esempio: risolvendo un problema si trova l’equazione

𝑎 = 𝑔 ℎ

con g=9.8 m/s², h=metri e t=secondi, sapendo che a si esprime in m/s𝑚 𝑡 ², dal confronto si ottiene:

𝑎 = 𝑔 ℎ

𝑚 𝑡 ⟹ 𝐿𝑇⁻² = 𝐿𝑇⁻² 𝐿 𝑀 𝑇 𝑚 𝑠⁻² = 𝑚 𝑠⁻² 𝑚

𝑘𝑔 𝑠 = 𝑚 𝑠⁻²𝑚 𝑘𝑔⁻¹𝑠⁻¹ = 𝑚²𝑠⁻³𝑘𝑔⁻¹

che è chiaramente incoerente. Per indicare l’unità di misura di una grandezza la racchiudiamo tra parentesi quadre, come mostrato sopra.

(appendice C) Grandezze scalari

Le grandezze fisiche per le quali basta un numero e l’appropriata unità di misura per rappresentarle sono dette scalari. Tale numero può essere costante o funzione delle coordinate o anche del tempo.

Esempi: massa, densità, Temperatura: 𝑇 = 𝑇(𝑃, 𝑡)

Le operazioni che si eseguono su di esse obbediscono alle regole dell’algebra.

Grandezze vettoriali

In molte situazioni tuttavia non basta dare un numero per descrivere completamente una grandezza fisica.

Se ad esempio consideriamo lo spostamento di un oggetto da un punto all’altro, occorre dire di quanto si è spostato l’oggetto (un valore numerico, che prende il nome di modulo) e in quale direzione è avvenuto lo spostamento.

Le grandezze fisiche che per essere specificate hanno bisogno non solo di un numero, ossia il modulo che ne fornisce il valore assoluto, ma anche di una direzione e di un verso si dicono vettoriali.

Il vettore è l’ente matematico usato per rappresentare queste grandezze, per i quali vale un’algebra che non è identica all’algebra scalare.

La rappresentazione grafica del vettore: segmento orientato (freccia), la cui lunghezza è il modulo (intensità), la retta d’azione lungo la quale agisce è la direzione mentre l’

orientazione lungo la retta d’azione (freccia) definisce il verso.

La lunghezza della freccia (il modulo del vettore) è proporzionale

ad una prefissata unità di misura.

v

Grandezze vettoriali

Come simbolo per indicare un vettore si usa una lettera con una freccia sopra (es. v) o per motivi editoriali nei testi anche come v oppure in grassetto v.

Il modulo di un vettore si indica esplicitamente come v o implicitamente se non mettiamo il simbolo del vettore (ad es. v indica il modulo di v) ed è espresso nella relativa unità di misura.

Tipico vettore è lo spostamento da un punto A ad un punto B.

Ad esempio, una persona si sposta lungo un marciapiede

per 4m in direzione nord, poi svolta a destra (est) camminando altri 3m.

Quanto si è spostato (in linea d’aria)?

Esempi di vettori: spostamento, velocità, accelerazione, forza, … Vedremo le relative regole algebriche dei vettori.

L’equazione vettoriale più semplice è v = c (vettori equivalenti, equipollenti)

A

B c v

b

a

Grandezze vettoriali

Un vettore possiamo muoverlo traslandolo nello spazio senza che venga modificato.

Quando un vettore ha modulo unitario, ovvero quando v = 1, si parla di versori.

In questo caso il simbolo usato è diverso: ොu è un versore, ovvero un vettore unitario.

I versori più usati sono quelli che indicano le direzioni degli assi cartesiani:

x y z

i loro versori sono

ොu_x ොu_y ොu_z più comunemente indicati con

෡𝑖 𝑗෡ 𝑘෠

Ovviamente dalla definizione risulta che per un versore si ha ෡𝑖 = 1

Proprietà dei vettori e scalari

Il prodotto di uno scalare k per un vettore a restituisce un vettore b.

𝑏 = k · Ԧ𝑎

Il vettore b risultante ha la proprietà di essere parallelo al vettore a, ossia ha la stessa direzione e stesso (opposto) verso se k > 0 (k < 0) e il modulo è dato dal prodotto 𝑘𝑎:

𝑏 = 𝑏 = k · Ԧ𝑎 = 𝑘 𝑎

Quindi nel prodotto di un vettore per uno scalare il vettore risultante è parallelo a quello di partenza ed il modulo è moltiplicato per lo scalare.

Ponendo 𝑘 = −1 allora

𝑏 = − Ԧ𝑎

Si dice che 𝑏 è il vettore opposto ad Ԧ𝑎 (stessa direzione e modulo ma verso opposto) Ogni vettore si può scrivere come prodotto di uno scalare per un vettore di lunghezza unitaria (versore). Se 𝑏 è diretto lungo la direzione orientata r, se indichiamo con ොu_𝑟 il versore lungo r:

𝑏 = b ොu_𝑟

Somma di vettori

Riprendiamo l’esempio di prima sullo spostamento e seguiamolo dalla figura immaginando di spostarci da A a B per poi svoltare verso C.

Lo spostamento risultante (ovvero quello che dal punto di partenza va al punto finale) è quello che unisce direttamente A con C.

Da questo esempio ne deriviamo la seguente regola generale per la somma tra vettori:

Dati due vettori a e b, il vettore somma c (vettore risultante) si ottiene graficamente come in figura, applicando il vettore b alla punta del vettore a. Il vettore somma c è quel vettore che unisce la coda (il punto di partenza) di a con la punta (il punto finale) del vettore b.

c = a + b

a b

Ԧc

Somma di vettori

La stessa figura ci suggerisce una regola grafica per determinare la somma che è detta regola del parallelogramma: ponendo i vettori a e b in modo da avere la stessa origine, si completa la figura costruendo un parallelogramma.

Il vettore somma Ԧc sarà dato dalla diagonale maggiore che parte dalla origine comune dei vettori.

Vale la proprietà commutativa:

a + b = b + a

È importante notare che per le proprietà dei triangoli, il modulo del vettore somma c non è affatto uguale alla somma dei moduli di a e b

c = a + b |c | ≠ |a|+ |b|

Somma di vettori

Se abbiamo più vettori, la somma o risultante si ottiene chiudendo la poligonale, oppure applicando più volte la regola del parallelogramma.

Ԧr = a + b + Ԧc

Vale la proprietà commutativa (Ԧr non dipende dall’ordine dei vettori):

a + b + Ԧc= a + Ԧc + b Proprietà associativa:

a + b + Ԧc = a + b + Ԧc

Nel caso di vettori paralleli alla retta r, possiamo sommare algebricamente i moduli dei vettori (il segno è determinato dal verso del vettore rispetto ad ොu_𝑟):

a + Ԧc + b = a ොu_𝑟 +b ොu_𝑟 +c ොu_𝑟 =(a+b+c) ොu_𝑟

(proprietà distributiva di un vettore per uno scalare)

a b

Ԧr Ԧc

Differenza tra vettori

La differenza a − b tra due vettori a e b, sfrutta il concetto del vettore opposto.

Il vettore −b è il vettore opposto a b avente stessa direzione e modulo ma verso opposto. Pertanto una differenza tra vettori la possiamo ricondurre ad una somma:

a − b = a + ( −b )

Graficamente risulta che il vettore differenza è dato dalla diagonale minore del parallelogramma costruito come prima dai vettori a e b.

Scomposizione e componenti di un vettore

Un vettore è sempre scomponibile in altri vettori invertendo la procedura della somma, ovvero vogliamo trovare due o più vettori la cui somma fornisce il valore di partenza.

Quando abbiamo questa esigenza si cerca di scomporre il vettore dato lungo delle direzioni note quali ad esempio un sistema cartesiano xy (vale per qualsiasi sistema di coordinate definito da due direzioni orientate rs e relativi versori lungo le due direzioni).

Un vettore qualunque c può essere scomposto nei suoi vettori componenti c_x e c_y paralleli agli assi x e y del piano cartesiano.

c = c_x + c_y

Definiamo come componenti di un vettore

le sue proiezioni sugli assi di riferimento c_x e c_𝑦. c = c_x ෡𝑖 + c_y ෡𝑗

c = c_x² + c_y²

Analogamente se siamo nello spazio a più dimensioni.

c

c

Ԧc

Scomposizione e componenti di un vettore

La scomposizione ci permette di maneggiare le operazioni di somma e differenza tra vettori in modo più comodo ed evitando la procedura grafica.

Dalla scomposizione nel piano xy, è immediato passare a quella nello spazio xyz.

Se scomponiamo tutti i termini di una somma nelle componenti lungo gli assi si avrà:

Ԧc = a + b = a_x෡𝑖 + a_y𝑗 + a෡ _z 𝑘 + b෡ _x෡𝑖 + b_y𝑗 + b෡ _z 𝑘෡ Ԧc = a_x + b_x ෡𝑖 + a_y + b_y ෡𝑗 + a_z + b_z 𝑘෡

La somma vettoriale si ottiene sommando direttamente le rispettive componenti dei singoli vettori. Analogamente per la differenza:

Ԧc = a − b = a_x − b_x ෡𝑖 + a_y − b_y ෡𝑗 + a_z − b_z 𝑘෡ Nel piano cartesiano se indichiamo con θ l’angolo

che il vettore c forma con l’asse x si ha:

c_x = Ԧc cos θ c_y = Ԧc sin θ tan θ = ^cy

c_x

θ

Nello spazio Traslazioni

Rotazioni per vettori e componenti.

Problema 1

Un vettore è inclinato di +30° rispetto all’asse x ed è lungo 2m.

Indicare le componenti del vettore.

v = v_x Ƹi + v_y Ƹj

v_x = v cos θ = 2 cos 30 = 2 3

2 = 3

v_y = v sin θ = 2 sin 30 = 2 1

2 = 1 v = v_x Ƹi + v_y Ƹj = 3 Ƹi + Ƹj

Prodotto tra vettori: prodotto scalare

Sono possibili due tipi di prodotti tra vettori che danno luogo a risultati completamente differenti:

• prodotto scalare, il cui risultato è uno scalare

• prodotto vettoriale, il cui risultato è un vettore

Dati due vettori Ԧ𝑎 e 𝑏 si definisce prodotto scalare la quantità:

𝑠 = a ∙ b = a b cos θ = a b cos θ con θ l’angolo formato tra i due vettori.

Dalla definizione (notate che le lettere senza freccia sopra indicano il modulo di questi vettori) risulta che tale prodotto è uno scalare.

Quindi è dato dal modulo di uno dei due vettori per la componente dell’altro vettore nella direzione del primo (ossia la proiezione del vettore sull’altro).

𝑠 = a ∙ b = a cos θ 𝑏 = a [b cos θ ] Se a = b allora θ = 0, cos θ = 1

a ∙ a = 𝑎²

Il p. scalare di un vettore per se stesso, detto quadrato del vettore, è uguale al quadrato del modulo del vettore.

Prodotto tra vettori: prodotto scalare

Proprietà

Se: 𝑠 = a b cos θ = 0

allora a = 0, oppure b = 0 oppure θ = Τ𝜋 2

Quindi, se 2 vettori sono tra loro perpendicolari il loro prodotto scalare è nullo.

Quanto vale il prodotto scalare tra due versori?

Pertanto valgono i seguenti prodotti scalari relativi ai versori degli assi cartesiani:

Ƹi ∙ Ƹi = 1 Ƹj ∙ Ƹj = 1 ෠k ∙ ෠k = 1 Ƹi ∙ Ƹj = 0 Ƹi ∙ ෠k = 0 Ƹj ∙ ෠k = 0

Di conseguenza esplicitando le componenti dei vettori il prodotto scalare sarà dato in generale dalla somma dei prodotto delle componenti omologhe dei singoli vettori.

a ∙ b = 𝑎_𝑥𝑏_𝑥 + 𝑎_𝑦𝑏_𝑦+𝑎_𝑧𝑏_𝑧 In particolare: a ∙ a = 𝑎² = 𝑎_𝑥² + 𝑎_𝑦² + 𝑎_𝑧²

Vale la proprietà commutativa: b ∙ a = b a cos −θ = a b cos θ = a ∙ b Vale la proprietà distributiva: a ∙ b + Ԧc + d = a ∙ b + a ∙ Ԧc + a ∙ d

Se Ԧc = a + b allora dalla prop. distributiva:

Ԧc ∙ Ԧc = a + b ∙ a + b

c² = a² + b² + 2 a ∙ b = a² + b² + 2 ab cos θ che è il teorema di Carnot per il triangolo di lati 𝑎 𝑏 𝑐

Prodotto tra vettori: prodotto scalare

c² = a² + b² + 2 a ∙ b = a² + b² + 2 ab cos θ che è il teorema di Carnot per il triangolo di lati a b c

In particolare se a e b sono perpendicolari tra loro, ovvero θ = ^π

2, cos θ = 0 c² = a² + b²

Si ritrova il Teorema di Pitagora.

Prodotto tra vettori: prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale tra i vettori a e b (si pronuncia “a vettor b”) è un vettore Ԧc:

Ԧc = a ∧ b oppure Ԧc = a × b

• con modulo Ԧc = a b si𝑛 θ = a b sin θ che coincide con l’area del parallelogramma

• direzione perpendicolare (al piano individuato da) a e b

• verso individuato dalla regola della mano destra:

Il pollice della mano destra deve avere la direzione del vettore a, l’indice quella del vettore b e la direzione di Ԧc = a ∧ b è stabililita dalla direzione del medio.

In alternativa si può usare la regola dell’avvitamento:

il verso di Ԧc è quello indicato dalla rotazione (con la mano destra) necessaria a ruotare il vettore a verso il vettore b.

Prodotto tra vettori: prodotto vettoriale

Il prodotto vettoriale è anticommutativo:

Ԧc = a × b = − b × a

Il prodotto vettoriale è nullo se uno dei due vettori è nullo oppure se i due vettori sono paralleli, poiché θ = 0 e sin θ = 0

Quindi il prodotto vettoriale di un vettore per se stesso è nullo.

Vale la prop. distributiva: a × b + Ԧc + d = a × b + a × Ԧc + a × d Non vale la prop. associativa (sequenza delle operazioni).

Prodotto vettoriale tramite le componenti dei vettori:

Si dimostra che il prodotto vettoriale ha componenti individuate risolvendo il seguente determinante:

Ƹi Ƹj ෠k a_x a_y a_z b_x b_y b_z

che si può dimostrare scrivendo le componenti dei vettori e tenendo conto dei seguenti prodotti vettoriali: Ƹi ∧ Ƹi = Ƹj ∧ Ƹj = ෠k ∧ ෠k = 0

Ƹi ∧ Ƹj = ෠k Ƹj ∧ ෠k = Ƹi ෠k ∧ Ƹi = Ƹj Quindi:

Ԧc = a × b = 𝑎_𝑦𝑏_𝑧 − 𝑎_𝑧𝑏_𝑦 Ƹi + 𝑎_𝑧𝑏_𝑥 − 𝑎_𝑥𝑏_𝑧 Ƹj + 𝑎_𝑥𝑏_𝑦 − 𝑎_𝑦𝑏_𝑥 ෠k

Problema 2

Una particella si sposta da A(1,2,3) a B(1,3,1). Si determinino i vettori posizione iniziale e finale rispetto all’origine e l’espressione del vettore spostamento.

N.B.: Il vettore posizione della particella che si trova in un punto, in coordinate cartesiane ha come componenti le stesse coordinate del punto.

Problema 3

Si determini l’angolo compreso tra i due vettori ed il loro prodotto vettoriale 𝑣 = 3෡𝑖 + 4෡𝑗 − 5 ෡𝑘

𝑤 = −෡𝑖 + 2෡𝑗 + 6 ෡𝑘

N.B.: Per determinare l’angolo tra i due vettori è possibile utilizzare la definizione di prodotto scalare

Ricevimento ogni mercoledì h15.00 →17.00 (modalità remota). É necessario prenotare il ricevimento inviando una mail.