FORMULA DI TAYLOR

FORMULA DI TAYLOR

Umberto Marconi

Dipartimento di Matematica – Universit` a degli Studi di Padova

Resto in forma integrale.

Teorema. Sia I un intervallo di R, c ∈ I e f ∈ C ^m+1 (I).

Per ogni x ∈ I si ha:

f (x) = f (c) + f ^′ (c)

1! (x − c) + f ^′′ (c)

2! (x − c) ² + · · · + + f ^(m) (c)

m! (x − c) ^m +

∫ _x

c

(x − t) ^m

m! f ^(m+1) (t) dt

(1)

Dimostrazione. Poich´ e f ` e una primitiva di f ^′ , il teorema fondamentale del calcolo assicura che:

f (x) = f (c) +

∫ _x

c

f ^′ (t) dt (⋆) Si osservi che (⋆) ` e la versione del teorema per m = 0.

Calcoliamo ora per parti l’integrale in (⋆), osservando che −(x−t) `e una primitiva del fattore differenziale 1 dt:

f (x) = f (c) +   − (x − t)f ^′ (t)   ^t=x

t=c +

∫ _x

c

(x − t)f ⁽²⁾ (t) dt da cui:

f (x) = f (c) + f ^′ (c)

1! (x − c) + 1 1!

∫ x c

(x − t)f ⁽²⁾ (t) dt Si osservi che quest’ultima formula ` e la versione del teorema per m = 1.

Poich´ e una primitiva del fattore differenziale (x − t) dt `e − ^{(x −t)} _2!

, e poi ancora una primitiva di ^{(x −t)} _2!

dt ` e − ^{(x −t)} _3!

,. . . si capisce come si pu` o dedurre passo passo la formula del teorema.

Per completezza la dimostriamo per induzione supponendola vera per m e dimostrandola per m + 1.

Se nella formula

f (x) = f (c) + f ^′ (c)

1! (x − c) + f ^′′ (c)

2! (x − c) ² + · · · + + f ^(m) (c)

m! (x − c) ^m +

∫ _x

c

(x − t) ^m

m! f ^(m+1) (t) dt

integriamo per parti prendendo ^−(x−t) _(m+1)!

come primitiva del fattore differenziale ^{(x −t)} _m!

dt otteniamo:

∫ _x

c

(x − t) ^m

m! f ^(m+1) (t) dt =   − (x − t) ^m+1

(m + 1)! f ^(m+1) (t)   ^t=x

t=c +

∫ _x

c

(x − t) ^m+1

(m + 1)! f ^(m+2) (t) dt =

= f ^(m+1) (c)

(m + 1)! (x − c) ^m+1 +

∫ _x

c

(x − t) ^m+1

(m + 1)! f ^(m+2) (t) dt da cui si deduce immediatamente la formula del teorema per m + 1.

1

Il polinomio di grado al pi` u m che compare in (1) T m (x) = f (c) + f ^′ (c)

1! (x − c) + f ^′′ (c)

2! (x − c) ² + · · · + f ^(m) (c)

m! (x − c) ^m

si chiama polinomio di Taylor di grado m della funzione f (x). Esso ` e l’unico polinomio che coincide con f in c con tutte le sue derivate fino all’ordine m e, tra i polinomi di grado m,

` e quello che meglio approssima f .

La differenza fra f (x) e il polinomio T _m (x) si chiama resto m-esimo della formula di Taylor e si pone:

R m (x) = f (x) − T m (x) =

∫ _x

c

(x − t) ^m

m! f ^(m+1) (t) dt (2)

Il resto (2) ci dice qual ` e la differenza fra il valore della funzione e il valore del polinomio di Taylor e quindi, se riusciamo a maggiorare |R m (x) |, abbiamo una stima dell’approssimazione fornita dal polinomio T _m (x). A tal fine conviene riportare l’integrale in (2) ad un’espressione con gli estremi fissi. Mediante la sostituzione t = c + s · (x − c) dove s, variando fra 0 e 1, parametrizza il segmento di estremi c e x, si ottiene facilmente:

R _m (x) = (x − c) ^m+1 (m + 1)!

∫ ₁

0

(m + 1)(1 − s) ^m f ^(m+1) (

c + s · (x − c) )

ds (3)

L’integrale che compare in (3) ` e una funzione continua della variabile x (ci crediamo). Se lo mettiamo in evidenza possiamo porre:

C(x) =

∫ ₁

0

(m + 1)(1 − s) ^m f ^(m+1) (

c + s · (x − c) )

ds (4)

Poich´ e |f ^(m+1) | `e una funzione continua, essa ammette massimo assoluto su ogni intervallo compatto [c − δ, c + δ] contenuto in I e contenente x. Detto M tale massimo, si ha:

|C(x)| = |

∫ ₁

0

. . . | ≤

∫ ₁

0

| . . . | ds ≤

∫ ₁

0

(m + 1)(1 − s) ^m · Mds = M − (1 − s) ^{m+1  s=1}

s=0 = M Da (3) si ottiene allora la disuguaglianza:

|R m (x) | = |x − a| ^m+1

(m + 1)! |C(x)| ≤ |x − a| ^m+1

(m + 1)! M (5)

dove M ` e il massimo modulo della derivata (m + 1)-esima di f . Pertanto possiamo scrivere la formula di Taylor nel seguente modo:

f (x) = f (c) + f ^′ (c)

1! (x − c) + · · · + f ^(m) (c)

m! (x − c) ^m + (x − c) ^m+1

(m + 1)! C(x) (6) dove C(x) ha le propriet` a che abbiamo spiegato.

Nel caso c = 0 la formula di Taylor si chiama formula di Maclaurin, che diventa:

f (x) = f (0) + f ^′ (0)

1! x + f ^′′ (0)

2! x ² + · · · + f ^(m) (0)

m! x ^m + x ^m+1

(m + 1)! C(x) (7) dove

C(x) =

∫ ₁

0

(m + 1)(1 − s) ^m f ^(m+1) (sx) ds (8)

` e una funzione continua e maggiorata in modulo dal massimo modulo di f ^(m+1) .

Osservazione. Passando al limite sotto il segno di integrale in (4) si ottiene (questo fatto pu` o essere utile nel calcolo dei limiti mediante gli sviluppi di Taylor):

x lim →c C(x) = f ^(m+1) (c) (9)

2

Scriviamo gli sviluppi di Maclaurin delle funzioni elementari usando la forma (7). Essi dipendono soltanto dal valore in 0 delle derivate successive della funzione e dalla derivata (m + 1)-esima.

e ^x = 1 + x + x ²

2! + · · · + x ^m

m! + x ^m+1 (m + 1)! C(x) sin x = x − x ³

3! + · · · + (−1) ^m x ^2m+1

(2m + 1)! + x ^2m+3 (2m + 3)! C(x) cos x = 1 − x ²

2! + · · · + (−1) ^m x ^2m

(2m)! + x ^2m+2 (2m + 2)! C(x) sinh x = x + x ³

3! + · · · + x ^2m+1

(2m + 1)! + x ^2m+3 (2m + 3)! C(x) cosh x = 1 + x ²

2! + · · · + x ^2m

(2m)! + x ^2m+2 (2m + 2)! C(x) log(1 + x) = x − x ²

2 + x ³

3 − · · · + (−1) ^{m −1} x ^m

m + x ^m+1 (m + 1)! C(x) (1 + x) ^α = 1 + αx + α(α − 1)

2 x ² + · · · + ( α

m )

x ^m + x ^m+1 (m + 1)! C(x) arctan x = x − x ³

3 + x ⁵

5 − · · · + (−1) ^m x ^2m+1

2m + 1 + x ^2m+3 (2m + 3)! C(x) tan x = x + x ³

3 + 2x ⁵

15 + 17x ⁷ 315 + x ⁹

9! C(x) Gli sviluppi asintotici sopra elencati sono utili in varie situazioni:

• determinare gli sviluppi di altre funzioni;

• trattare i limiti di rapporti di funzioni come limiti di rapporti di polinomi;

• calcolare valori approssimati;

• nel caso in cui, per tutti gli x di un certo intervallo, si abbia lim

m →∞ R _m (x) = 0, allora la funzione coincide con la somma della sua serie di Taylor/Maclaurin.

Esercizio 1 Cosa diventa lo sviluppo binomiale di (1 + x) ^α per α = −1? E per α = ¹ ₂ ? E per α = − ¹ ₂ ?

Esercizio 2 Determinare:

x lim →0

( 1

sin ² x − 1 x ²

)

1 Resto di Peano

Riscriviamo il resto m-esimo:

R m (x) = C(x) (x − c) ^m+1 (m + 1)! = (

f ^(m+1) (c) + (

C(x) − f ^(m+1) (c) ))(x − c) ^m+1 (m + 1)! =

= f ^(m+1) (c) (x − c) ^m+1

(m + 1)! + ε(x) (x − c) ^m+1 (m + 1)!

ove si ` e posto ε(x) = C(x) − f ^(m+1) (c). Si osservi che per (9):

x lim →c ε(x) = 0

3

Il resto nella forma

R _m (x) = f ^(m+1) (c) (x − c) ^m+1

(m + 1)! + ε(x) (x − c) ^m+1

(m + 1)! (10)

con ε funzione infinitesima per x → c si chiama resto nella forma di Peano.

Esercizio 3 Usando gli sviluppi di Taylor/Maclaurin, determinare i seguenti limiti:

x→0 lim

sin x − x

tan x − x lim

x →+∞

(

x − x ² log (

1 + 1 x

))

x lim →0

x cos x − sin x

1 + x ² − e ^x

+ sin ³ x lim

x →0

x4 ^x − log ³ (1 − x) − x 1 − cos x

x lim →0

(e ^x − 1) ³ − log ² (1 + x)

1 − cos ² x lim

x →0

√ 2x − x ² − √

−2 log(1 − x) x

+ sin ² x

Esercizio 4 Svolgere gli esercizi sugli sviluppi di Taylor che si trovano in:

http: // www. math. unipd. it/ ~ umarconi/ did/ esett04. pdf .

Per le prime tre funzioni scrivere la formula di Maclaurin con il resto R ₆ (x) nella forma di Peano.

4