Formula di Taylor con resto di Peano

(1)

Indice

1 Preliminari 5

P01 Polinomi 1 – Definizioni base . . . 6

P02 Polinomi 2 – Divisione e Teorema del resto . . . 7

P03 Polinomi 3 – Radici e fattorizzazione . . . 8

P04 Disequazioni – Preliminari . . . 9

P05 Disequazioni di primo e secondo grado . . . 10

P06 Disequazioni con prodotti e quozienti . . . 11

P07 Valore assoluto . . . 12

P08 Equazioni e disequazioni con valori assoluti . . . 13

P09 Potenze 1 – Esponente intero e razionale . . . 14

P10 Potenze 2 – Esponente reale . . . 15

P11 Equazioni con radici . . . 16

P12 Disequazioni con radici . . . 17

P13 Logaritmi . . . 18

P14 Equazioni e disequazioni con esponenziali . . . 19

P15 Equazioni e disequazioni con logaritmi . . . 20

P16 Trigonometria 1 – Definizioni . . . 21

P17 Trigonometria 2 – Formulario . . . 22

P18 Equazioni trigonometriche . . . 23

P19 Disequazioni trigonometriche . . . 24

P20 Risoluzione di triangoli . . . 25

P21 Geometria analitica 1 . . . 26

P22 Geometria analitica 2 . . . 27

P23 Insiemi . . . 28

P24 Insiemi numerici . . . 29

P25 Principio di induzione . . . 30

P26 Numeri reali . . . 31

P27 Maggioranti, minoranti, massimo, minimo . . . 32

P28 Estremo inferiore e superiore . . . 33

P29 Funzioni 1 – Definizioni base . . . 34

P30 Funzioni 2 – Iniettivit`a e surgettivit`a . . . 35

P31 Funzioni 3 – Monotonia . . . 36

P32 Grafici di funzioni reali . . . 37

P33 Funzioni e funzioni inverse elementari . . . 38

P34 Funzioni iperboliche . . . 39 1

(2)

2 INDICE

2 Calcolo Infinitesimale – Limiti 41

L01 Limiti di successioni . . . 42

L02 Teoremi del confronto e dei carabinieri . . . 43

L03 Teoremi algebrici sui limiti . . . 44

L04 Successioni monotone – Numero e . . . 45

L05 Criteri della radice, del rapporto, rapporto → radice . . . 46

L06 Limiti di funzioni – Definizioni . . . 47

L07 Limiti di funzioni – Strumenti . . . 48

L08 Sottosuccessioni, criterio funzioni → successioni . . . 49

L09 Tabellina di limiti notevoli . . . 50

L10 Linguaggio degli infinitesimi: o piccolo . . . 51

L11 Teorema di De l’Hˆopital . . . 52

L12 Formula di Taylor con resto di Peano . . . 53

L13 Polinomi di Taylor . . . 54

L14 Serie 1 – Definizioni base . . . 55

L15 Serie 2 – Condizione necessaria e primi risultati . . . 56

L16 Serie 3 – Serie classiche . . . 57

L17 Serie 4 – Criteri per serie a termini positivi . . . 58

L18 Serie 5 – Criteri per serie a termini di segno qualunque . . . 59

L19 Serie 6 – Serie di potenze . . . 60

L20 Serie 7 – Serie di Taylor e funzioni analitiche . . . 61

L21 Successioni per ricorrenza 1 – Definizioni base . . . 62

L22 Successioni per ricorrenza 2 – Caso autonomo monotono . . . 63

L23 Successioni per ricorrenza 3 – Caso auton. non monotono . . . 64

L24 Successioni per ricorrenza 4 – Caso non autonomo . . . 65

3 Calcolo Differenziale 67 D01 Derivata e differenziale in una variabile . . . 68

D02 Interpretazione geometrica della derivata . . . 69

D03 Teoremi algebrici sulle derivate . . . 70

D04 Tabellina di derivate . . . 71

D05 Teorema di esistenza degli zeri . . . 72

D06 Massimi e minimi in una variabile – Definizioni . . . 73

D07 Teorema di Weierstrass . . . 74

D08 Teoremi sulle funzioni derivabili: Rolle, Cauchy, Lagrange . . . 75

D09 Formula di Taylor con resto di Lagrange . . . 76

D10 Segno della derivata e monotonia . . . 77

D11 Asintoti . . . 78

D12 Convessit`a, flessi e derivata seconda . . . 79

D13 Studio locale di funzioni . . . 80

D14 Studio globale di funzioni . . . 81

D15 Disuguaglianze classiche – Lipschitzianit`a . . . 82

D16 Linguaggio vettoriale . . . 83

D17 Funzioni di pi`u variabili . . . 84

D18 Limiti in pi`u variabili . . . 85

D19 Derivate parziali e direzionali . . . 86

D20 Differenziale e gradiente – Definizioni . . . 87

(3)

INDICE 3

D21 Differenziale e gradiente – Teoremi . . . 88

D22 Derivate successive – Formula di Taylor . . . 89

D23 Max e min vincolati – Parametrizzazione del vincolo . . . 90

D24 Max e min vincolati – Moltiplicatori di Lagrange . . . 91

D25 Massimi e minimi in due variabili . . . 92

4 Calcolo Integrale 93 I01 Integrali in una variabile – Notazioni . . . 94

I02 Integrali in una variabile – Definizioni . . . 95

I03 Integrali in una variabile – Propriet`a . . . 96

I04 Teorema fondamentale del calcolo integrale . . . 97

I05 Primitive . . . 98

I06 Integrali indefiniti . . . 99

I07 Tecniche di integrazione 1 – Integrazione per parti . . . 100

I08 Tecniche di integrazione 2 – Integrazione per sostituzione . . . 101

I09 Tecniche di integrazione 3 – Funzioni razionali . . . 102

I10 Tecniche di integrazione 4 – Sostituzioni razionalizzanti . . . 103

I11 Tabellina di primitive . . . 104

I12 Integrali impropri – Definizioni . . . 105

I13 Integrali impropri – Tabellina . . . 106

I14 Integrali impropri – Criteri di convergenza 1 . . . 107

I15 Integrali impropri – Criteri di convergenza 2 . . . 108

I16 Confronti serie ↔ integrali . . . 109

I17 Integrali multipli – Definizioni . . . 110

I18 Integrali doppi – Formule di riduzione . . . 111

I19 Integrali tripli – Formule di riduzione . . . 112

I20 Cambio di variabili negli integrali multipli . . . 113

I21 Coordinate polari, cilindriche, sferiche . . . 114

I22 Curve ed integrali curvilinei . . . 115

I23 Solidi di rotazione – Teoremi di Guldino . . . 116

I24 Equazioni differenziali – Definizioni e notazioni . . . 117

I25 Problema di Cauchy 1 – Notazioni, esistenza, unicit`a . . . 118

I26 Problema di Cauchy 2 – Vita e morte della soluzione . . . 119

I27 Alcune classi di equazioni del I ordine . . . 120

I28 Equazioni differenziali lineari omogenee . . . 121

I29 Equazioni differenziali lineari non omogenee – Parte 1 . . . 122

I30 Equazioni differenziali lineari non omogenee – Parte 2 . . . 123

(4)

28 Schede di Analisi Matematica – Versione 2006

Insiemi

1. Definizione di insieme. Non diamo in questa scheda una definizione rigorosa di insieme, sia perch´e ci porterebbe troppo lontano, sia perch´e in fondo non la sa nessuno.

2. Presentazione di un insieme. Vi sono due modi di presentare un insieme.

• Per elenco, cio`e inserendo tra parentesi graffe tutti gli elementi che fanno parte dell’insieme. In tale presentazione non `e influente l’ordine in cui si elencano gli elementi; inoltre elementi ripetuti nell’elenco contano una sola volta.

• Per proprietà, intendendo che l’insieme è costituito da tutti gli elementi che verificano la proprietà data.

3. Appartenenza. Si scrive a∈ A, o talvolta A ∋ a, per indicare che a `e un elemento dell’insieme A. Si scrive a 6∈ A, o talvolta A 6∋ a, per indicare che a non `e un elemento dell’insieme A.

4. Sottoinsiemi e uguaglianza. Si dice che l’insieme A `e contenuto nell’insieme B (o che A `e un sottoinsieme di B), e si scrive A ⊆ B, se tutti gli elementi di A sono anche elementi di B.

In particolare, è sempre vero che A ⊆ A. Se poi A ⊆ B e B ⊆ A, allora vuol dire che A e B hanno gli stessi elementi: in tal caso si dice che i due insiemi sono uguali e si scrive A = B. È preferibile evitare notazioni del tipo A⊂ B, spesso utilizzate da testi diversi con due significati diversi (cioè ammettendo o no l’uguaglianza)!

5. Insieme vuoto. Si indica con ∅ l’insieme vuoto, cio`e l’insieme che non ha elementi.

6. Unione, intersezione, differenza. Dati due insiemi A e B, si definiscono

• l’unione A ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B};

• l’intersezione A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B};

• la differenza A \ B = {x : x ∈ A e x 6∈ B}.

Questi sono particolari esempi di presentazione per propriet`a. Si tenga presente che spesso la

“e” logica tra due propriet`a si sostituisce con una virgola.

7. Prodotto cartesiano. Dati due insiemi A e B, si indica con A×B il loro prodotto cartesiano, definito come l’insieme delle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A e b ∈ B. In simboli

A× B = {(a, b) : a ∈ A, b ∈ B}.

8. Insieme delle parti. Dato un insieme A, si dice insieme delle parti di A, e si indica con P(A), l’insieme di tutti i sottoinsiemi di A. In simboli

P(A) = {B : B ⊆ A}.

9. Cautela nella presentazione per proprietà. Se si vogliono evitare paradossi (sui quali non indagheremo in questa sede) è opportuno, nelle presentazioni per proprietà, limitarsi a definire sottoinsiemi di un insieme dato. Ad esempio, dato un insieme A, si può porre

B ={x ∈ A : x verifica una certa propriet`a}.

Da notare che in tutta questa scheda non abbiamo agito in questo modo (non avremmo potuto), ma d’ora in poi lo faremo.

Scheda P23

(5)

Capitolo 1: Preliminari 35

Funzioni 2 – Iniettivit` a e surgettivit` a

In questa scheda A e B indicano due insiemi, ed f : A→ B `e una funzione.

1. Iniettivit`a. La funzione f si dice iniettiva se per ogni x1 e x2 in A si ha che x1 6= x² =⇒ f(x¹)6= f(x²).

Analogamente si pu`o dire che f `e iniettiva se

f (x1) = f (x2) =⇒ x1 = x2.

2. Surgettivit`a. La funzione f si dice surgettiva se, per ogni b ∈ B, esiste a ∈ A tale che f (a) = b.

3. Bigettivit`a. La funzione f si dice bigettiva se `e contemporaneamente iniettiva e surgettiva.

4. Invertibilit`a. La funzione f si dice invertibile se esiste una funzione g : B → A tale che g(f (a)) = a ∀a ∈ A,

f (g(b)) = b ∀b ∈ B.

In tal caso la funzione g si dice funzione inversa della f , e si indica talvolta con f⁻¹.

5. Achtung! In matematica si usa il simbolo f⁻¹ per indicare almeno tre cose completamente diverse:

• l’inversa della funzione f nel senso della composizione (dunque in questo caso f deve essere invertibile);

• l’inversa della funzione f nel senso della moltiplicazione (cio`e la funzione 1/f(x), ovviamente solo se l’immagine di f sono numeri reali 6= 0);

• la controimmagine tramite f (in questo caso non servono ipotesi su f, ma quello che sta dopo tra parentesi deve essere un sottoinsieme dell’insieme di arrivo di f ).

Solo il contesto permette di capire con quale significato `e stato usato il simbolo.

6. Invertibilità = Bigettività. Una funzione f è invertibile se e solo se è bigettiva. Per questo motivo i due termini vengono di solito usati come sinonimi.

7. Surgettività e immagine. Un funzione è surgettiva se e solo se f (A) = B, cioè se e solo se la sua immagine coincide con tutto l’insieme di arrivo.

8. Composizioni. Una composizione di funzioni iniettive è ancora iniettiva. Una composizione di funzioni surgettive è ancora surgettiva. Viceversa: se una composizione di funzioni è iniettiva, allora la più interna è iniettiva. Se una composizione di funzioni è surgettiva, allora la più esterna è surgettiva.

9. Equazioni e iniettivit`a. Se la funzione f `e iniettiva, allora f (A) = f (B) ⇐⇒ A = B, qualunque siano le espressioni A e B.

Brutalmente questo vuol dire che “una funzione iniettiva pu`o essere impunemente semplificata nelle equazioni”.

Scheda P30

(6)

Capitolo 2: Calcolo Infinitesimale 53

Formula di Taylor con resto di Peano

1. Formula di Taylor di centro x = 0. Data una funzione f (x), sotto opportune ipotesi esiste un’unico polinomio Pn(x) tale che

• il grado di Pn(x) `e≤ n;

• si ha che

f (x) = Pn(x) + o(xⁿ) per x→ 0.

Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor di grado n della funzione f (x) nel punto x = 0.

Inoltre l’uguaglianza di sopra si dice formula di Taylor con resto di Peano (il resto `e scritto sotto forma di o piccolo).

2. Polinomio di Taylor. Sotto opportune ipotesi (pi`u restrittive di quelle al punto precedente) la formula esplicita per il polinomio di Taylor `e la seguente:

Pn(x) = f (0) + f^′(0)

1! x +f^′′(0)

2! x²+ . . . + f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ=

Xn k=0

f^(k)(0) k! x^k.

3. . . . e le opportune ipotesi? Una condizione sufficiente per l’esistenza del polinomio di Taylor Pn `e che f (x) sia definita in un intorno di 0, sia derivabile n− 1 volte nell’intorno ed n volte in x = 0.

Tale condizione non `e necessaria: esistono infatti funzioni che non hanno nemmeno la derivata seconda in x = 0 e tuttavia ammettono polinomi di Taylor di ogni grado.

4. Formula di Taylor di centro x = x0. Data una funzione f (x) ed un punto x0, sotto opportune ipotesi esiste un’unico polinomio P_n(x) tale che

• il grado di Pⁿ(x) `e≤ n;

• si ha che

f (x) = Pn(x) + o((x− x⁰)ⁿ) per x→ x⁰.

Tale polinomio si chiama polinomio di Taylor di grado n della funzione f (x) nel punto x = x0. Se la funzione `e derivabile un numero sufficiente di volte, il polinomio di Taylor `e dato dalla formula esplicita:

Pn(x) = f (x0)+f^′(x0)

1! (x−x⁰)+f^′′(x0)

2! (x−x⁰)²+. . .+f⁽ⁿ⁾(x0)

n! (x−x⁰)ⁿ= Xn

k=0

f^(k)(x0)

k! (x−x⁰)^k. Anche le “opportune ipotesi” sono quelle di prima trasferite in un intorno del punto x₀.

Scheda L12

(7)

Serie 4 – Criteri per serie a termini positivi

1. Criterio della radice. Sia a_n una successione, con a_n≥ 0 definitivamente.

Supponiamo che

√n

an→ l ∈ R.

Allora

• se l > 1 (dunque anche nel caso l = +∞) la serie degli aⁿ diverge a +∞;

• se l = 1 non si pu`o concludere nulla sulla serie degli aⁿ;

• se 0 ≤ l < 1 la serie degli an converge.

2. Criterio del rapporto. Sia an una successione, con an > 0 definitivamente.

Supponiamo che

an+1

a_n → l ∈ R.

Allora si hanno le stesse conclusioni come nel criterio della radice.

3. Criterio del confronto. Siano an e bn due successioni tali che 0≤ aⁿ≤ bⁿ definitivamente.

Allora si hanno le seguenti implicazioni (e solo queste):

X∞ n=0

an diverge =⇒ X∞

n=0

bn diverge,

X∞ n=0

bn converge =⇒ X∞ n=0

an converge.

4. Criterio del confronto asintotico. Siano an e bn due successioni. Supponiamo che definitivamente si abbia che an≥ 0 e bn> 0.

Supponiamo inoltre che

an

bn → l ∈ R.

Allora

• se 0 < l < +∞, allora le due serie hanno lo stesso tipo di comportamento, cio`e X∞

n=0

an diverge ⇐⇒

X∞ n=0

bn diverge,

X∞ n=0

an converge ⇐⇒

X∞ n=0

bn converge.

• se l = 0, allora an ≤ bn definitivamente, dunque si hanno le seguenti implicazioni:

X∞ n=0

an diverge =⇒ X∞ n=0

bn diverge,

X∞ n=0

bn converge =⇒ X∞ n=0

an converge.

• se l = +∞, allora an ≥ bn definitivamente, dunque si hanno le seguenti implicazioni:

X∞ n=0

an converge =⇒ X∞ n=0

bn converge,

X∞ n=0

bn diverge =⇒ X∞ n=0

an diverge.

Scheda L17

(8)

Derivata e differenziale in una variabile

In questa scheda assumiamo per semplicit`a di avere a che fare con una funzione f : R→ R.

1. Rapporto incrementale. Sia x0 ∈ R e sia h 6= 0. La quantit`a f (x0+ h)− f(x⁰)

h

si dice rapporto incrementale della funzione f nel punto x0, relativo all’incremento h. Il nome

`e giustificato dal fatto che

• il denominatore `e l’incremento della variabile x (infatti h = (x0+ h)− x0);

• il numeratore `e l’incremento della variabile y = f(x).

2. Definizione di derivata in un punto. Diciamo che f (x) `e derivabile in x0 ∈ R se il rapporto incrementale in x₀ ammette limite per h→ 0, cio`e se il

h→0lim

f (x₀+ h)− f(x0) h

esiste ed `e reale. In tal caso il valore del limite si dice derivata di f (x) nel punto x0 e si indica con uno dei seguenti simboli

f^′(x0), df

dx(x0), f(x˙ 0).

3. Definizione di differenziale in un punto. Diciamo che f (x) `e differenziabile in x0 ∈ R se esiste α ∈ R tale che

f (x₀+ h) = f (x₀) + αh + o(h) per h→ 0.

L’applicazione lineare g : R → R, definita da g(h) = αh, si dice differenziale della funzione f nel punto x0.

4. Derivabilit`a = Differenziabilit`a. Si ha che

f `e derivabile in x0 ⇐⇒ f `e differenziabile in x⁰. Inoltre

f^′(x0) = α.

5. Derivabilit`a implica continuit`a. Si ha che

f `e derivabile in x0 =⇒ f `e continua in x⁰. In generale non vale il viceversa.

6. Derivate successive. Sia f^′(x) la funzione che ad ogni x associa il valore della derivata di f in x. Derivando a sua volta la funzione f^′, si ottiene quella che si chiama la derivata seconda di f , che si indica con f^′′(x). Il procedimento può essere ripetuto quante volte si vuole (a patto ovviamente che le derivate esistano!). La derivata della f di ordine n (cioè ripetura n volte) si indica usando un numero romano come apice (ad esempio f^′′′, fÎV, f^V, . . . ) , oppure con le notazioni

f⁽ⁿ⁾(x), dⁿf dxⁿ(x).

Scheda D01

(9)

Capitolo 3: Calcolo Differenziale 91

Max e min vincolati – Moltiplicatori di Lagrange

Nonostante il titolo, tratteremo in questa scheda soltanto il caso di un moltiplicatore in R² (la teoria generale tratta il caso di k moltiplicatori in Rⁿ).

1. Insiemi descritti come luoghi di zeri. Sia Φ : R² → R una funzione. Allora l’insieme V ={(x, y) ∈ R² : Φ(x, y) = 0}

`e detto luogo di zeri della funzione Φ.

2. Moltiplicatori di Lagrange. Siano f : R² → R e Φ : R² → R due funzioni differenziabili, e sia V il luogo di zeri di Φ. Supponiamo che

• f abbia massimo e minimo su V ;

• il sistema 





Φ(x, y) = 0 Φx(x, y) = 0 Φ_y(x, y) = 0.

non abbia soluzioni.

Allora nei punti di massimo e minimo di f su V i vettori ∇f e ∇Φ sono paralleli, cio`e esiste λ∈ R tale che

∇f = λ∇Φ.

Il valore del parametro λ (il “moltiplicatore”) pu`o essere diverso nei vari punti di massimo o minimo.

3. Utilizzo operativo dei moltiplicatori di Lagrange. Supponiamo di dover calcolare il massimo ed il minimo di una funzione f su un insieme V . Allora si pu`o procedere in questo modo.

• Si controlla che f sia differenziabile, che V sia il luogo di zeri di una funzione differenziabile Φ, che f ammetta massimo e minimo in V .

• Si controlla che il sistema Φ(x, y) = Φx(x, y) = Φy(x, y) = 0 non abbia soluzioni.

• Si cercano tutte le terne (x, y, λ) che risolvono il sistema di tre equazioni in tre incognite







fx(x, y) = λΦx(x, y) f_y(x, y) = λΦ_y(x, y) Φ(x, y) = 0.

• Nelle terne trovate come soluzioni del sistema ci si dimentica dei λ; le coppie (x, y) rimaste sono i punti candidati ad essere i punti di massimo e minimo di f in V .

• Si sostituiscono le varie coppie (x, y) nella funzione e si vede dove vale di pi`u e dove vale di meno.

Scheda D24

(10)

Tecniche di integrazione 1 – Integrazione per parti

1. Formula di integrazione per parti. Siano f (x) e g(x) due funzioni continue su un intervallo [a, b], e siano F (x) e G(x), rispettivamente, due loro primitive.

Allora

Z b a

f (x)G(x) dx = [F (x)G(x)]^b_a− Z b

a

F (x)g(x) dx.

2. Utilizzo operativo dell’integrazione per parti. L’integrazione per parti `e utile quando la funzione che si vuole integrare `e il prodotto di due funzioni, di cui

• una che si sa integrare (che viene presa come f(x));

• una che “derivando migliora” (che viene presa come G(x)).

3. Situazioni classiche che si trattano per parti. Sia p(x) un polinomio, e sia a ∈ R. I seguenti integrali si prestano ad essere calcolati per parti

Z

p(x) sin ax dx,

Z

p(x) cos ax dx,

Z

p(x)e^axdx.

L’idea fondamentale `e di usare p(x) come funzione da derivare, in modo da farlo scendere di grado (per finire serve un numero di passaggi per parti uguale al grado del polinomio).

Anche integrali del tipo Z

p(x) log x dx,

Z

p(x) arctan x dx

si trasformano, mediante un passaggio per parti in cui si scelgono log x e arctan x come funzioni da derivare, in integrali che coinvolgono solo rapporti tra polinomi (i quali saranno trattati in apposita scheda). Questa tecnica, applicata al caso particolare in cui p(x) `e la costante 1, permette di determinare una primitiva di log x e di arctan x.

4. Il “grande ritorno”. Talvolta, lavorando per parti su un integrale, pu`o capitare di ritrovare lo stesso integrale al secondo membro, ma con il segno cambiato, o comunque moltiplicato per un coefficiente diverso da uno. A questo punto non resta che portare tutto al primo membro e l’integrale `e calcolato!

Un primo esempio `e il seguente (per semplicit`a omettiamo gli estremi di integrazione):

Z

cos²x dx = Z

cos x· cos x dx

f (x) = cosx G(x) = cos x

=↓ sin x cos x + Z

sin²x dx

= sin x cos x + Z

(1− cos²x) dx = sin x cos x + x− Z

cos²x dx.

Un secondo esempio `e il seguente, in cui si effettuano due integrazioni per parti:

Z

e^xsin x dx

f (x) = e^x G(x) = sin x

=↓ e^xsin x− Z

e^xcos x dx

f (x) = e^x G(x) = cos x

=↓ e^xsin x− e^xcos x− Z

e^xsin x dx.

Scheda I07

(11)

Capitolo 4: Calcolo Integrale 121

Equazioni differenziali lineari omogenee

1. Insieme delle soluzioni. L’insieme delle soluzioni di un’equazione differenziale lineare omogenea di ordine n (anche a coefficienti non costanti) `e uno spazio vettoriale di dimensione n.

In particolare, data una base {u1(t), . . . , un(t)} di tale spazio, ogni soluzione si scrive nella forma

u(t) = c1u1(t) + . . . + cnun(t) per opportuni coefficienti reali c1, . . . , cn.

Inoltre gli elementi della base sono definiti sul pi`u grande intervallo su cui sono definiti tutti i coefficienti ai(t) dell’equazione.

2. Costruzione della base: equazioni del secondo ordine a coefficienti costanti. Consi- deriamo un’equazione differenziale lineare del secondo ordine omogenea a coefficienti costanti, cio`e della forma

au^′′+ bu^′+ cu = 0.

Per determinare una base dello spazio delle soluzioni, si possono considerare le radici del polinomio p(z) = az²+ bz + c, detto polinomio caratteristico.

• Se il polinomio ha due radici reali λ e µ, allora una base `e u1(t) = e^λt, u2(t) = e^µt.

• Se il polinomio ha una radice reale λ di molteplicit`a due, allora una base `e u1(t) = e^λt, u2(t) = te^λt.

• Se il polinomio ha due radici complesse coniugate α ± iβ, allora una base `e u₁(t) = e^αtcos βt, u₂(t) = e^αtsin βt.

3. Costruzione della base: equazioni di ordine n a coefficienti costanti. Consideriamo un’equazione differenziale lineare di ordine n omogenea a coefficienti costanti, cio`e della forma

a_nu⁽ⁿ⁾+ a_n−1u⁽ⁿ⁻¹⁾+ . . . + a₁u^′+ a₀u = 0.

Consideriamo le radici del polinomio caratteristico

a_nzⁿ+ a_n−1zⁿ⁻¹+ . . . + a₁z + a₀.

Per determinare una base dello spazio delle soluzioni si pu`o procedere nel seguente modo:

• ogni radice reale λ di molteplicit`a uno produce un elemento della base: e^λt;

• ogni radice reale λ di molteplicit`a k produce k elementi della base: e^λt, te^λt, . . . , t^k−1e^λt;

• ogni coppia di radici complesse coniugate α±iβ, di molteplicit`a uno, produce due elementi della base: e^αtcos βt, e^αtsin βt;

• ogni coppia di radici complesse coniugate α ± iβ, di molteplicit`a k, produce 2k elementi della base: e^αtcos βt, e^αtsin βt, te^αtcos βt, te^αtsin βt, . . . , t^k−1e^αtcos βt, t^k−1e^αtsin βt.

4. Achtung! Se i coefficienti dell’equazione dipendono da t, non c’`e nessun algoritmo generale per determinare esplicitamente una base dello spazio delle soluzioni.

Scheda I28