ALGEBRA 1 AA. 2020/2021 FOGLIO ESERCIZI 10
MARTINA LANINI
Ricordiamo che, dato un insieme A, denotiamo con P(A) il suo insieme delle parti.
(1) Si consideri il gruppo G = ({f : {1, 2, 3} → {1, 2, 3} | f biiettiva} , ◦), dove ◦ denota la composizione di funzioni.
(a) Si descrivano le orbite dell’azione di coniugio di G su s´e stesso e lo stabilizzatore di ogni elemento.
(b) Si verifichi il Teorema dell’Orbita e dello Stabilizzatore.
(2) Sia G il gruppo del punto (1) e sia A = {1, 2, 3}. Si verifichi che la seguente `e un’azione del gruppo G su A:
σ : G × A → A, (f, a) 7→ f (a).
(a) Si dica se si tratta di un’azione libera e/o transitiva.
(b) Si verifichi che σ induce un’azione su P(A):
τ : G × P(A), (f, X) 7→ {f (x) | x ∈ X}.
(c) Si descrivano le orbite di tale azione.
(3) Sia G un gruppo e σ : G × A → A un’azione del gruppo G sull’insieme A.
(a) Si verifichi che anche
τ : G × P(A), (g, X) 7→ {σ(g, x) | x ∈ X}
`e un’azione di gruppo.
(b) Si dimostri che per ogni k ∈ {0, . . . , #G}, l’insieme P(A)k= {X ∈ P(A) | #X = k}
`e un G-sottospazio.
(4) Sia G il gruppo del punto (1).
(a) Si verifichi che
σ : G × R3 → R3, (f, (x1, x2, x3)) 7→ (xf (1), xf (2), xf (3)) definisce un’azione di G su R3.
(b) Si descrivano le orbite di G in R3 rispetto all’azione σ.
(c) Si scelga un elemento per ogni orbita e se ne descriva il corrispon- dente stabilizzatore.
(d) Si verifichi che V := {(x1, x2, x3) ∈ R3 | x1+ x2+ x3 = 0} `e un G-sottospazio. Si dica se G agisce liberamente su V .
(5) Sia G un gruppo di ordine 19 che agisce su un insieme X di cardinalit`a 16. Si dimostri che G deve agire banalmente (cio`e, g · x = x per ogni g ∈ G e x ∈ X).
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