Lezione 21/10/2011 Astronomia

Astronomia

Lezione 21/10/2011

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail:alessandro.melchiorri@roma1.infn.it Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/

Libri di testo:

- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.

Ostlie, Addison Wesley

- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books

- Elementi di Astronomia, P. Giannone.

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947):

Con costante di Planck e costante di Boltzmann.

Dimostriamo che la legge di Stefan-Boltzmann :

deriva dalla formula di Planck

Il Corpo Nero

  1

1 2

/ 5

2





e T hc

B



Questa formula e’ in unita’ di steradianti, integrando su tutto l’angolo solido si ha:

1 1

sin 2 1 cos

1 2

/ 5

2 2

0

2 /

0

/ 5

2

 

 

_ ^hc _e

 ^{  d  } _ ^hc _e

1 1

8 1

1 2

/ 5

2 2 2 /

5 2

 

  

A

kT

hc

e

hc dA R

e d hc

L







 

La luminosita’ di una stella sferica per unita’ di lunghezza d’onda e’ data da:



 ^ _



1 8 1



 





d hc e

R d

L

L

kT hc

x  /  ₂



 d kT dx   hc

  15 8

8 1

4 4 2

3 2 2 3 3

2 2

2

 

 kT

c h dx R

e x hc

kT hc

hc kT R

L



 



 



  

4 4 4 2

3 2 2 4

2

15

4 8 k T

c h T R

R   

 

kTx

 hc

 Facendo un cambiamento di variabile:

Si ha:

Confrontando con la legge di Stefan-Boltzman per la luminosita’:

2 3

4 5

15 2

c h

 k

 

Si ha la relazione che lega la costante di Stefan-Boltzman con quella di Boltzman, Planck,c:

Dimostriamo che la legge di Wien:

deriva dalla formula di Planck

  1 1

2

/ 5

2



 e

T hc

B



kT hc

x  / 

1 0

5  



 





 ex

Ax dx

d

   

 

5 4

2 5 4

5

1 1 5

1 1 5

1 



 

 

 



 





 ^x

x x

x x x

x e

e Ax e

e Ax e

Ax e

Ax e

Ax dx

d

 

5 0 1

0 5

5

0 1

5























e x

x e

e x e

x

x x

x x

9651 ,

max

 4 x

max

kx

T  hc



Consideriamo:

Facciamo un cambio di variabile:

Il massimo si ha per:

Deriviamo:

Equazione trascendente:

Con soluzione numerica:

Per cui:

 Rayleigh-Jeans

(catastrofe ultravioletta)

 Wien

  1

1 2

/ 5

2



 e

T hc

B



  ²

lim





kT T c

B 





  ^{T hc e}

B





/ 5

2 0

lim 2





..

1 lim

0

  



x

kT e

hc

x

Regioni di Wien e Rayleigh-Jeans

 (mm) I (erg cm-3 s-1)

Wien

 (mm) I (erg cm-3 s-1)

Rayleigh-Jeans

Qualche esempio di uso del corpo nero e indici di colore

Una stella molto calda ha una temperatura superficiale di 42000 K mentre una stella meno calda ha una temperatura superficiale di 10000 K. Stimare i loro Indici di colore B-V sapendo che

Approssimiamo i flussi come i valori dello spettro di Planck al centro delle bande e come integrale semplicemente moltiplichiamo per la larghezza di banda:

Ricordando che e

Il Corpo Nero

Planck trova la soluzione assumendo che un’onda luminosa non possa avere una energia qualunque ma sia solo un multiplo di una energia fondamentale legata alla lunghezza d’onda della luce moltiplicata per la costante di Planck.

L’energia del pacchetto fondamentale e’ quindi:

o in frequenza:

L’energia di un’onda elettromagnetica e’

quindi:

Con n numero intero.

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modo quasi perfetto

Qui no

c’e’ assorbimento da parte

dell’atmosfera stellare

Linee spettrali

Ha identificato delle linee «nere»

nella luce del Sole dispersa da un prisma. Intorno il 1814, Fraunhofer Catalogo’ oltre 475 linee di questo Tipo.

Linee e moti propri

Se le linee non combaciano perfettamente con quelle in laboratorio ma vi e’

Uno «shift» sistematico questo e’ dovuto all’effetto Doppler della stella che si muove di moto proprio. Per v<<c si ha:

Atomo di Bohr

Cerchiamo di capire adesso il perche’ vi siano solo alcune righe di emissione ed Assorbimento e non vi sia uno spettro continuo.

Consideriamo due cariche di segno opposto, tra loro vi e’ una attrazione secondo la legge di Coulomb:

Se consideriamo un atomo di idrogeno, questo e’ composto da un elettrone e da un protone entrambi di carica (in modulo):

Massa ridotta e massa totale del sistema daranno praticamente la massa dell’elettrone e la massa del protone rispettivamente:

Atomo di Bohr

Usando la II legge di Newton abbiamo:

L’energia totale e’ negativa (sistema legato):

Atomo di Bohr

Fin qui niente di strano ma Bohr quantizza il momento angolare:

riscrivendo la formula per l’energia:

Possiamo risolvere per il raggio orbitale che risulta anch’esso quantizzato:

Solo multipli del raggio di Bohr:

Ad ogni orbita corrisponde una energia:

Se un fotone viene assorbito questo corrisponde ad una transizione ad un’orbita maggiore.

La conservazione dell’energia stabilisce che:

Atomo di Bohr