Onda triangolare

Sviluppi di Fourier di alcune forme d'onda

Lorenzo Roi (7 gennaio 2011)

Onda a dente di sega

La funzione d'onda a dente di sega è definita come yHtL = a

T

t -T 2

£t< T 2

, Ha=costante assegnataL, è periodica con periodo T e il suo sviluppo di Fourier è dato dalla serie

yHtL =aâ

i=1

¥ H-1Lⁱ⁺¹ iΠ

sin 2Πi

T t

Il suo grafico (a = 1 e T = 1) risulta

-2 -1 1 2

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

Onda a dente di sega

mentre le prime cinque armoniche sono :Sin@2ΠtD

Π

,-Sin@4ΠtD 2Π

,

Sin@6ΠtD 3Π

,-Sin@8ΠtD 4Π

,

Sin@10ΠtD 5Π >

Supposta l'ampiezza dell'armonica fondamentale pari ad 1 così come la sua frequenza, l'ampiezza delle successive armoniche in funzione della frequenza è rappresentata dall’istogramma

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

frequenzaHHzL

-0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 ampiezza

Ampiezza relativa delle armoniche

mentre la rappresentazione grafica che si ottiene al variare del numero di armoniche secondarie (per un massimo di 20) che la approssimano nella somma è data dal grafico seguente.

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-0.6 -0.4 -0.2 0.2 0.4 0.6

Somma di armoniche

Onda triangolare

La funzione per un'onda triangolare è definita come yHtL =a 1+4

T

t - T 2

£t<0

yHtL =a 1- 4 T

t 0£t<

T

2 Ha=costante assegnataL è periodica con periodo T e lo sviluppo di Fourier è

yHtL =aâ

i=0

¥ 8

H2 i+1L²Π² cos

2ΠH2 i+1L T

t

Il suo grafico (a = 1 e T = 1 ) è

-2 -1 1 2

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Onda triangolare

mentre le sue prime cinque armoniche sono le funzioni :8 Cos@2ΠtD

Π² ,

8 Cos@6ΠtD 9Π²

,

8 Cos@10ΠtD 25Π²

,

8 Cos@14ΠtD 49Π²

,

8 Cos@18ΠtD 81Π² >

Supposta pari ad 1 l'ampiezza dell'armonica fondamentale così come la sua frequenza, l'ampiezza delle successive armoniche in funzione della frequenza è rappresentata dall'istogramma

2 sviluppoFourierStmp.nb

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

frequenzaHHzL 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 ampiezza

Ampiezza relativa delle armoniche di onda triangolare

che mostra come l'ampiezza decresca rapidamente all'aumentare della frequenza. La rappresentazione grafica che si ottiene al variare del numero di armoniche secondarie (per un massimo di 10) è

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Somma di armoniche di onda triangolare

Onda quadra

L'importante funzione onda quadra è definita come yHtL = -a - T

2

£t<0

yHtL = +a 0£t<

T 2

e possiede, come le precedenti, periodo T . Il suo sviluppo di Fourier è

yHtL =aâ

i=0

¥ 4

H2 i+1L Π sin

2ΠH2 i+1L T

t

mentre il suo grafico risulta (a = 1 e T = 1)

-2 -1 1 2

-1.0 -0.5 0.5 1.0

Onda quadra

Le sue prime cinque armoniche sono le funzioni :4 Sin@2ΠtD

Π

,

4 Sin@6ΠtD 3Π

,

4 Sin@10ΠtD 5Π

,

4 Sin@14ΠtD 7Π

,

4 Sin@18ΠtD 9Π >

e la loro ampiezza in rapporto all'armonica fondamentale decresce all'aumentare della frequenza come mostrato dall'istrogramma

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

frequenzaHHzL 0.2

0.4 0.6 0.8 1.0 ampiezza

Ampiezza relativa delle armoniche di onda quadra

Infine, la somma delle armoniche fino ad un ordine massimo di 20 fornisce la rappresentazione grafica seguente

-1.0 -0.5 0.5 1.0

-1.5 -1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5

Somma di armoniche di onda quadra

4 sviluppoFourierStmp.nb