Lezione 20/10/2011 Astronomia

Astronomia

Lezione 20/10/2011

Docente: Alessandro Melchiorri

e.mail:[email protected] Slides: oberon.roma1.infn.it/alessandro/

Libri di testo:

- An introduction to modern astrophysics B. W. Carroll, D. A.

Ostlie, Addison Wesley

- The Physical Universe, an introduction to Astronomy F. Zhou, University Science Books

- Elementi di Astronomia, P. Giannone.

Parallasse Stellare

Si definisce come parsec la distanza di una stella con parallasse di 1 secondo d’arco

Le parallassi delle stelle sono decisamente piccole. La parallasse della stella piu’

vicina (proxima centauri) e’ pari a 0.77 p’’

corrispondente a 1.3 pc e a 4.3 ly (anni luce).

La prima misura di parallasse di una stella si e’ avuta nel 1838 da parte di Friedrich Wilhelm Bessell per 61 Cygni. Dopo 4 anni di osservazioni lui stimo’ per questa stella una parallesse pari a p’’=0.316’’, corrispondente a 3.16 parsec o 10.3 anni luce.

Questa stella in realta’ sono due (stella binaria) ed ha un elevato moto proprio (e’ chiamata anche Stella Volante) circa 4000 mas/anno. La parallasse dovuta al moto proprio di puo’

pero’ separare perche’ non e’ periodica.

Il Corpo Nero

Le stelle emettono approssimativamente come dei corpi neri. Tale emissione ha uno spettro continuo come quello raffigurato in figura (grafichiamo l’energia emessa per

unita’ di tempo, di area, di lunghezza d’onda e di angolo solido) in funzione della lunghezza d’onda e della temperatura superficiale dell’oggetto.

Maggiore e’ la temperatura minore e’ la lunghezza d’onda alla quale si ha il massimo.

Oggetti piu’ caldi avranno il massimo a lunghezze d’onda minori e ci appariranno piu’ blu.

Il Corpo Nero

Legge di Wien (con lunghezza d’onda misurata in metri):

Il corpo nero: Legge di Wien, esempio

Usando la legge di Wien:

Calcolare la lunghezza d’onda di massima emissione per Betelgeuse (T=3600 K) e per Rigel (T=13000K).

Betelgeuse

Rigel

l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

corpo umano

T = 37° C = 310 K l_max  9 m

l (mm) B(l, 310 K) (x108 erg cm-3 s-1)

lampada a incandescenza

T  3 000 K l_max  1 m

l (mm) B(l, 3000 K) (x1013 erg cm-3 s-1)

stella

T  30 000 K l_max  1000 Å

l (mm) B(l, 30000 K) (x1018 erg cm-3 s-1)

Il corpo nero: Legge di Stefan-Boltzmann

Un corpo nero di superficie A e temperatura T emette con una luminosita’

(energia per unita’ di tempo) data da:

Dove

e’ la costante di Stefan-Boltzmann.

Per una sfera di raggio R si ha:

Una stella, come detto, e’ approssimativamente un corpo nero. Data una

stella di luminosita’ L e raggio R si definisce come la sua temperatura effettiva alla superficie la temperatura ottenuta dalla precedente formula. Il flusso alla superficie della stella sara’:

l (mm) 2000 K

1750 K

1500 K

1250 K

All’aumentare della temperatura, l’energia totale emessa cresce, perché aumenta l’area totale sotto la curva

Il Sole ha:

Calcolare:

a) la temperatura effettiva alla superficie del Sole:

b) Il Flusso radiativo alla superficie del Sole:

c) La lunghezza d’onda di massima emissione:

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947):

Con costante di Planck e costante di Boltzmann.

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947):

Con costante di Planck e costante di Boltzmann.

Note storiche

Già nel XIX secolo i fisici tentavano di ricavare una teoria che fosse in grado di predire lo spettro della radiazione emessa da un corpo nero

Applicando le leggi di Maxwell dell’elettromagnetismo classico si otteneva che l’intensità della radiazione emessa da un corpo nero ad una certa temperatura dipendeva dall’inverso della quarta potenza della lunghezza d’onda

λ4

I  1

Wilhelm Wien trattò la radiazione all’interno di una cavità in modo analogo a un gas di molecole e riuscì a riprodurre l’andamento generale della curva di corpo nero, inclusa la presenza di un massimo di emissione, ma la sua teoria falliva nel riprodurre i dati sperimentali alle grandi lunghezze d’onda

( 

λ T A

λ,

u  ^{  }

l (mm) I (erg cm-3 s-1)

Wien

Un altro tentativo fu fatto da Lord Rayleigh e James Jeans, i quali considerarono la radiazione all’interno di una cavità come costituita da una certo numero di onde stazionarie. Il loro risultato riproduceva bene la curva di corpo nero alle grandi lunghezze d’onda, ma falliva alle lunghezze d’onda corte e non mostrava nessun massimo di emissione

1 3 4

5

4 ergcm s

λ 10 T λ 2.6

ckT

I  2π   ^{  }

1 16

1

23 JK 1.38 10 ergK

10 1.38

k  ^{ }   ^{ }

l (mm) I (erg cm-3 s-1) Rayleigh-Jeans

Costante di Boltzmann

Nel 1900, Max Planck riesce a ricavare una formula che riproduce i valori osservati nello spettro del corpo nero

( 

^{erg cm}

^s

1 e

1 λ

hc T 2π

λ,

B

 

( 

^{erg cm}

^s

1 e

1 c

T 2hν ν,

B

 

s erg 10

6.63 s

J 10 6.63

h   ^34   ^27

Costante di Planck

( 

( 

λ 0 λ 4

λ e hc T 2π

λ, B lim

λ ck T 2π λ, T

B lim













 Wien

Le pareti di una cavità come qualsiasi superficie emittente contengono

particelle, che assorbendo energia dall’esterno aumentano la loro

temperatura e quindi la loro energia cinetica e iniziano ad oscillare.

Oscillando emettono radiazione, ma questa radiazione contrariamente ai principi classici non può assumere valori qualsiasi. L’energia deve essere emessa in quantità definite o pacchetti.

Alle alte frequenze (piccole lunghezze d’onda) la radiazione deve essere emessa in pacchetti più

“grandi”. Se le particelle non hanno abbastanza energia non si vedrà emissione di radiazione ad alta frequenza.

D’altra parte se la

temperatura aumenta, le particelle avranno

abbastanza energia per emettere pacchetti di

radiazione a frequenze via via più alte.

Giustificazione di Planck

Il Corpo Nero

L’andamento in lunghezza d’onda del corpo nero ha una formula analitica scoperta da Max Planck (1858-1947):

Con costante di Planck e costante di Boltzmann.

Applicazioni

B e’ la potenza per unita’ di superficie per unita’ di lunghezza d’onda (non energia per unita’ di volume e di tempo). Spesso quindi si usa definire la lunghezza d’onda In nm. Oppure si usa la forma in frequenza:

Consideriamo adesso una stella perfettamente sferica e assumiamo che emetta come un corpo nero. Integrando sulla superficie si ha la luminosita’ monocromatica:

Si ha:

Ricordando che:

Integrando su tutte le lunghezze d’onda otteniamo:

Data l’espressione della luminosita’ monocromatica si definisce come il flusso monocromatico a distanza r:

Indici di colore

Ricordiamo che le osservazioni astronomiche vengono fatte in tre bande principali:

- Banda U (Ultravioletto) centrata a 365nm con larghezza di circa 68nm - Banda B (Blu) centrata a 440 nm con larghezza di circa 98nm

- Banda V (Visibile) centrata a 550 nm con larghezza di circa 89nm

Indici di colore

Abbiamo quindi introdotto gli indici di colore come differenze tra magnitudini (apparenti o assolute) tra bande:

dato che sono magnitudini una stella con indice di colore B-V piu’ piccolo sara’

piu’ luminosa nel blu rispetto ad una con indice di colore B-V piu’ grande.

Abbiamo anche introdotto la correzione bolometrica:

Per misurare la magnitudine apparente U si usano delle funzioni di sensibilita’ S:

La costante C la possiamo misurare ponendo una magnitudine di riferimento.

In generale si assume che la stella Vega abbia magnitudine zero in ogni banda.

Per la magnitudine bolometrica si ha, per definizione:

La costante in questo caso si e’ cercata in modo tale che la correzione bolometrica:

fosse la piu’ piccola possibile e sempre negativa.

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Cosa possiamo imparare sulle stelle dai loro spettri ?

Qui le stelle seguono un corpo nero in modo quasi perfetto

Qui no

c’e’ assorbimento da parte

dell’atmosfera stellare

Linee spettrali

Ha identificato delle linee «nere»

nella luce del Sole dispersa da un prisma. Intorno il 1814, Fraunhofer Catalogo’ oltre 475 linee di questo Tipo.

Linee dell’Idrogeno

Quando dell’idrogeno ad alta densita’ e’ riscaldato questo mostra delle righe di

emissione a certe frequenze esatte. Nel 1885 14 linee erano misurate. Dopo varie prove Johann Balmer (1825-1898) provo’ che le righe dell’idrogeno seguivano una successione detta oggi serie di Balmer:

e’ detta costante di Rydberg

Linee dell’Idrogeno

Balmer realizzo’ che poteva generalizzare la formula a:

E’ predi’ che altre linee si poteva vedere con m<n (entrambi interi)

Nel 1906 Theodore Lyman trova la serie per m=1, n=2,3,4,… detta serie di Lyman.

Nel 1908 Friedrich Paschen trova la serie per m=3, n=4,5,6,.. Detta serie di Paschen