gas perfetto biatomico.

(1)

In un cilindro chiuso munito di un pistone

sono contenute n moli di ossigeno,

Inizialmente il pistone è bloccato in una posizione sia p_i= 5 atm

A partire da un dato istante

pressione p_a= 1 atm.

a tenuta perfetta,

gas perfetto biatomico.

sull’ambiente,

tale per cui la pressione del gas senza attrito

e la sua temperatura T_i= 26.85 °C.

assimilabile a un

il gas viene lasciato espandere liberamente che si suppone rimanga fisso alla compiendo un lavoro L

di massa trascurabile, e scorrevole

(2)

c) l’espressione del lavoro L compiuto dal gas.

Sapendo che cilindro e pistone

a) il valore della temperatura T_f del gas b) l’ espressione della variazione

e quello finale in funzione di

sono perfettamente adiabatici

tra lo stato iniziale

n, e di g

determinare : p_i

p_a , T_i ,

alla fine dell’espansione di energia interna del gas

(3)

gli stati iniziale e finale della

il fatto che l’equazione di stato

durante la trasformazione o in altri termini in una qualsiasi trasformazione

quindi non si potra’ usare l’ equazione di stato

sono stati di equilibrio

ma la trasformazione

le equazioni di Poisson non e’ reversibile

per assunzione

in questi stati sia utilizzabile

non potremo utilizzare

dei gas perfetti

trasformazione e potremo sfruttare

la trasformazione effettuata dal sistema , ossia dal gas, e’ una trasformazione adiabatica irreversibile

(4)

( )

V f i

L = − nc T − T

U nc

V

T

 = 

di trasformazione

nel caso piu’ generale possibile di un gas perfetto

e’ possibile affermare

se la trasformazione adiabatica e’

che avvenga tra due stati di equilibrio

i

ed

f

irreversibile questo e’ tutto cio’ che

U L

 = −

quindi Q = 0 non vi e’ scambio di calore

se la trasformazione e’ adiabatica e per il primo principio

( )

V f i

nc T T

= −

si ha

(5)

in questo esercizio il gas e’ lasciato

solamente quando la pressione del gas

f A

p = p

che la sua espansione terminera’

uguagliera’ la pressione dell’ambiente quindi

libero di espandersi e cio’ significa

(6)

integrale che puo’ essere valutato soltanto

ma cio’ avviene solo in

➢ durante una trasformazione “quasi statica”

➢ quando la pressione esterna non varia durante la trasformazione

➢ nella espansione libera del gas nel vuoto ^→ pressione esterna nulla ^→ p_a = 0

→ p_a= p ad ogni istante di tempo

→ p_a = cost

dove p e’ la pressione del gas come specificato in precedenza

il lavoro effettuato dal sistema sull’ambiente esterno istante di tempo

risultera’ essere

pressione esterna p_a casi particolari ossia:

B

A

V

a V

L =  p dV

se si conosce il valore della

se p_a e’ la pressione esterna

durante tutta la trasformazione ad un generico

(7)

in questo esercizio ci troviamo nel primo caso dunque

e finali

( )

a f i

p V V

= −

compiuto dal gas sull’ambiente

B

A

V

a V

 p dV

L = ( V

_f

− V

_i

) =  V

_gas

attenzione :

dove

ma dato che importa ne’ dell’ambiente,

il lavoro puo’ essere calcolato come

possiamo affermare che se il gas si espande

conoscere solo la dell’ambiente

l’ambiente si comprimera’ diminuendo il suo volume aumentando il suo volume di una certa quantita’

ne’ del gas

variazione di volume e dato che il cilindro e’ chiuso

corrispondentemente della stessa quantita’

non conosciamo i volumi iniziali

(8)

Nota bene: il sistema esegue una trasformazione adiabatica mentre l’ambiente esegue una trasformazione contemporaneamente adiabatica ed isobara

Nota bene: usualmente si fanno trasformazioni con cilindri aperti e in quel caso non sarebbe possibile dire nulla sulla variazione di volume dell’ambiente

(9)

( ) ( )

V f i a f i

nc T T p V V

− − = −

uguagliando i due termini si ha

( )

a f i

L = p V − V

( )

V f i

L = − nc T − T

( ) ( )

V f i a i f

nc T − T = p V − V

dato che e dato che

( )

V f i a i a f

nc T − T = p V − p V

ossia

(10)

sfruttando l’equazione di stato dei gas perfetti

i

a i a

i

p V p nRT

= p

mentre nello stato finale si ha _a _f _a ^f _f

a

p V p nRT nRT

= p =

nello stato iniziale si ha

p V

_{i i}

= nRT

_i ⁱ

i

V nRT

= p

quindi

(11)

V f V i

nc T − nc T

V f f

nc T + nRT

(

_V

)

_f

n c + R T

ossia

quindi ⁱ

a f

i

p nRT nRT

= p −

i

V i a

i

nc T p nRT

= + p

(

_V ^a

)

_i

i

n c R p T

= + p

(12)

(

_V ^a

)

_i

i

n c R p T

= + p

utilizzando la relazione di Mayer

c

_p

− = c

_V

R c

_p

= c

_V

+ R

(

^a

)

p f V i

i

c T c R p T

= + p (

^V ^a

)

f i

p p i

c R p

T T

c c p

= +

eliminando

n

si ha si ottiene

p f

nc T

(13)

1

^V

p p

c R

c c

= +

1

^V

p p

R c

c = ⁻ c 1 1

− g

= ¹

p

R c

g g

= −

p V

c

g = c

1 1

(

^A

)

_i

i

p T p

g

g g

+ −

(

^V ^A

)

f i

p p i

c R p

T T

c c p

= + =

1 (1 ( 1)

^A

)

f i

i

T p T

g p

g ⁻

= +

p V

c = c + R

inoltre da ricaviamo ma

quindi in conclusione

(14)

( )

V f i

U nc T T

 = −

_V ¹

1 (

¹⁾ ^A _i _i

i

nc p T T

g p

g

⁻

   

=      +   −   

1

1 (

1) ^A

1

V i

i

nc T p

g p

g

⁻

   

=      +   −   

1 1

(

) ^A

1

V i

i

nc T p

p

g

g g



−



=  + − 

 

1 1

(

) ^A

V i

i

nc T p

p

g g

− −

 

=  + 

 

1

^A

1

V i

i

U nc T p

p g

g

−  

 =  − 

 

la variazione U di energia interna del gas e quello finale sara’

quindi

tra lo stato iniziale

(15)

1 ^A 1

V i

i

L U nc T p

p g

g

−  

= − =  − 

 

e l’espressione del lavoro L compiuto dal gas L = −U ossia

come

sara’ ovviamente esprimibile

(16)

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