CAPITOLO 2
Fenomeni oscillatori
Fenomeni oscillatori Introduzione
I fenomeni oscillatori di tipo meccanico ed elettromagnetico, ci circondano costantemente nella vita quotidiana. Esempi di oscillazioni meccaniche sono il pendolo oscillante di un orologio, la corda di una chitarra che vibra; mentre esempi di oscillazioni elettromagnetiche, sono quelle degli elettroni che si muovono avanti e indietro nei circuiti responsabili della trasmissione e della ricezione di segnali radio e TV.
La caratteristica comune di tutti questi sistemi oscillanti è la formulazione
matematica che descrive le loro oscillazioni.
Consideriamo il sistema meccanico massa – molla denominato oscillatore armonico semplice.
Fenomeni oscillatori Oscillatore armonico semplice
Applicando la seconda legge di Netwon F = ma si ottiene l’equazione dell’ oscillatore armonico semplice, :
2 2 dt
x m d
kx =
− Ovvero:
20
2
= + x
m k dt
x d
ω = pulsazione o frequenza angolare [rad/s].
la cui soluzione è una funzione x(t) che descrive la posizione dell’ oscillatore armonico semplice in funzione del tempo .
m
= k
ω
2Una soluzione dell’ equazione del moto dell’ oscillatore armonico semplice è:
Fenomeni oscillatori Oscillatore armonico semplice
) (
)
( t Asen t φ
x = ω +
• A è lo spostamento massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio;
• (ωt+ ) è la fase del moto;
• è la fase iniziale o costante di fase.
L’ampiezza A e la costante di fase dell’oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali che sono lo spostamento e la velocità al tempo t 0 :
dove:
) (
) ) (
(
0 0 0
t v
t φ x
t
tg ω
ω + =
2 0 2 0
2
2 ( )
)
( ω
t t v
x
A = +
φ
φ
φ
Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T
Fenomeni oscillatori Oscillatore armonico semplice
A
T
k
T π m
ω
π 2 2 =
=
La frequenza f è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi:
m k f T
2 π 1 1 =
=
Si ricava quindi la relazione che lega la pulsazione ω alla frequenza (o al periodo):
f T π π
ω 2
2 =
=
La posizione del corpo è:
Fenomeni oscillatori Oscillatore armonico semplice
) (
)
( t Asen t φ
x = ω +
Derivando rispetto al tempo si ricava la velocità:
) cos(
)
( t A t φ
v = ω ω +
Derivando ancora si ottiene l’andamento dell’accelerazione in funzione del tempo:
) ( )
( )
( t 2 Asen t φ 2 x t a = − ω ω + = − ω
A
ωA
- ω 2 A
L’equazione differenziale dell’oscillatore armonico semplice:
Fenomeni oscillatori Proprietà dell’equazione differenziale
2 0
2 0 2
= + ω x dt
x d
è un’equazione del secondo ordine, lineare, a coefficienti costanti e omogenea
PROPRIETA’
• se x(t) è soluzione dell’equazione, lo è anche ax(t) con a costante;
• se y(t) è un’altra soluzione, anche z(t) = x(t) + y(t) è soluzione;
cioè la combinazione lineare di più soluzioni è ancora soluzione dell’equazione.
Nel caso più generale si ottiene una equazione non omogenea:
Fenomeni oscillatori Proprietà dell’equazione differenziale
dove f(t) è una generica funzione del tempo che in particolare può essere costante.
Si dimostra che in questo caso la soluzione più generale è:
f(t) x(t)
dt ω x(t)
d 2 + 2 =
2
Con soluzione particolare dell’equazione non omogenea e soluzione della omogenea associata
(t) x
φ t
Asen t
x ( ) = ( ω + ) + p
) (t x p
)
( t φ
Asen ω +
Un classico esempio è quello di un punto materiale m appeso a una molla di costante elastica k . L’equazione del moto è:
Fenomeni oscillatori Proprietà dell’equazione differenziale
ovvero, posto si ha :
E’ una equazione non omogenea, con il termine noto costante. Una soluzione particolare è per cui la soluzione generale è:
k t mg x p ( ) =
kx dt mg
x m d
ma = 2 = −
2
m
= k ω 2
g dt x
x
d 2 + 2 =
2
ω
k φ) mg Asen(ω
x(t) = t + +
Conseguenza della linearità dell’equazione che descrive il moto armonico è il principio di sovrapposizione degli effetti:
Fenomeni oscillatori Proprietà dell’equazione differenziale
Se in corrispondenza di si ha come soluzione e in corrispondenza di
si ha allora se il termine noto è la soluzione è : f 1 ( t ) f 2 ( t ) )
2 ( t
x x 1 ( t )
) ( )
( 2
1 t f t
f + x 1 ( t ) + x 2 ( t )
( ) ( )
2 1 22 2
2 2 1
2 2
1 2 2
1 2 2
2 1 2
f f
x dt ω
x x d
dt ω x x d
x x
dt x
d + + ω + = + + + = +
L’equazione del moto si ricava applicando la legge:
Fenomeni oscillatori Pendolo Semplice
τ = momento prodotto da una forza α = accelerazione angolare
I = momento di inerzia del pendolo
2 2
dt I d
I θ
α τ = =
Il momento della forza di richiamo è :
θ τ = − Lmg sen
Con L = braccio rispetto al perno della forza di richiamo e I = momento di inerzia rispetto all’asse di rotazione
mL 2
I =
L’ equazione del moto diventa :
Fenomeni oscillatori Pendolo Semplice
2 2
dt I d
I θ
α τ = =
α θ
τ = − Lmg sen = I 2
2
sen 2
dt mL d
Lmg θ
θ =
−
2 0
2
= θ + θ
L g dt
d
0
2 2
2
= + ω θ θ
dt d
Considerando senθ ≈ θ si ha :
Assumendo l’equazione assume la seguente forma : = ω 2 L
g
Una soluzione dell’ equazione del moto del pendolo semplice è:
Fenomeni oscillatori Pendolo semplice
• A è lo spostamento angolare massimo ossia ampiezza del moto oscillatorio;
• (ωt+ ) è la fase del moto;
• è la fase iniziale o costante di fase.
L’ampiezza A e la costante di fase dell’ oscillazione sono determinate dalle condizioni iniziali. Queste due condizioni le individuano in modo univoco, infatti:
dove:
( ) t = Asen ( ω t + φ )
θ
2 0 2
0 2 2
) ( )
( ω
θ θ
dt t d t
A ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= ( )
) ) (
(
0 0 0
dt t d φ t
t tg
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
+ θ
ω ω θ
φ
φ
φ
Il tempo necessario per un’ oscillazione completa è chiamato periodo T
Fenomeni oscillatori Pendolo semplice
A
T
g
T π L
ω
π 2
2 =
=
La frequenza f è il numero di oscillazioni complete per unità di tempo, quindi:
L g f T
2 π 1 1 =
=
È evidente l’analogia tra le espressioni matematiche di questi due sistemi meccanici Fenomeni oscillatori Analogia Oscillatore Armonico - Pendolo semplice
2 0
2
=
+ x
m k dt
x
d 2 0
2
= + θ θ
L g dt
d
) (t
x θ (t )
m I
m k
L
g
Per il moto armonico di un sistema non soggetto a forze dissipative, l’energia meccanica totale
Fenomeni oscillatori Considerazioni Energetiche
P
K E
E
E = +
si conserva, cioè resta costante durante il moto.
L’energia potenziale E P è in ogni istante:
φ) (ω
sen kA
kx
E P = = t +
2 1 2
1 2 2 2
L’energia cinetica E K è invece in ogni istante:
φ) (ω
A mω mv
E
K= = cos t +
2 1 2
1
2 2 2 2φ) (ω
kA mv
E K = = cos t +
2 1 2
1 2 2 2
L’ energia meccanica totale è quindi :
Fenomeni oscillatori Considerazioni Energetiche
Essa è costante e ha il valore di 2
2
1 kA
2
2 2
2 2
2 1
2 t t 1
2 cos 1
kA E
φ) (ω
sen kA
φ) (ω
kA E
tot tot
=
+ +
+
=
Fenomeni oscillatori Considerazioni Energetiche
Consideriamo ora il valore medio dell’ energia nell’ oscillatore armonico : Mentre i valori medi di posizione, velocità e accelerazione in un periodo, sono tutti nulli, infatti:
Fenomeni oscillatori Considerazioni Energetiche
[ cos ] 0
2 1 2
1 2
0 2
0
=
−
=
>=
< ∫ π
π
π θ d
π sen
senθ θ θ
il valore medio dell’ energia nell’oscillatore armonico non è nullo:
2 cos 1
cos 1 1
0 0
2 2
2
2 >= =< >= =
< ∫ ∫
π π
dθ π θ
θ θdθ
π sen θ
sen
Infatti la funzione ha un andamento del tipo: sen 2 θ
θ
sen
2θ
I valori medi di energia potenziale e cinetica sono quindi :
Fenomeni oscillatori Considerazioni Energetiche
e
Essi sono eguali, per cui in media l’ energia meccanica totale è per metà cinetica e per metà potenziale.
tot
P kA sen (ω φ) kA E
E 2
1 4
t 1 2
1 2 2 2
=
>=
+
<
>=
<
tot
K kA (ω φ) kA E
E 2
1 4
t 1 2 cos
1 2 2 2
=
>=
+
<
>=
<
Fenomeni oscillatori Formule trigonometriche
a a
sena a
sen
Inoltre
sena a
sena a
a a
sen a
a sen
e particolar in
senb sena
b a
b a
sena a
b sena
b a
sen
cos )
cos(
) (
2 ) cos(
2 ) cos(
cos 2 )
( cos
2 ) (
cos cos
) cos(
cos cos
) (
=
−
−
=
−
=
−
−
= +
−
=
−
= +
∗
∗
=
±
∗
±
∗
=
±
π π
π π
∓
Fenomeni oscillatori Formule trigonometriche
Fenomeni oscillatori Formule trigonometriche
Fenomeni oscillatori Formule trigonometriche
Fenomeni oscillatori Moto armonico e moto circolare uniforme
Il moto armonico può essere considerato come la proiezione di un moto circolare uniforme
x
A x(t) = A cos (ω t + φ)
(ω + t φ)
Il vettore A ruota in senso antiorario con velocità
angolare ω e prende il nome di “fasore”
Fenomeni oscillatori Formule trigonometriche
x A
(ω + t φ)
φ) (ω
A
x(t) = cos t +
x A φ)
(ω + t
φ) (ω
A )
φ
Asen(ω + + = cos t +
t π 2 x(t) = A cos (ω t + φ)
φ) Asen(ω
x(t) = t +
La funzione cos anticipa la funzione sen di π/2
La funzione sen ritarda la funzione cos di π/2
Fenomeni oscillatori Notazione Complessa
Fenomeni oscillatori Notazione Complessa
Fenomeni oscillatori Notazione Complessa
Identità di Eulero :
φ
φ cos φ i sin e ± i = ±
E’ possibile considerare e come la parte reale e la parte immaginaria di
cos φ sen φ
) Im(
sin
) Re(
cos
φ φ
φ φ
i i
e e
=
=
i φ
e
)
* Re(
) Re(
) Re(
) cos(
)
( t A t Ae i ( t ) Ae i e i t A e i t
x = ω + φ = ω + φ = φ ω = ω
i φ
A = * Ae
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Composizione di moti Armonici
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati dalla stessa pulsazione :
) cos(
) ( )
cos(
)
( 1 2 2
1 t = A ω t x t = A ω t + φ
x
Per il principio di sovrapposizione degli effetti la somma è un moto armonico con la stessa pulsazione:
) cos(
)
( t = A ω + t ψ x
Teorema di “Carnot”
( π − φ )
− +
= A 1 2 A 2 2 2 A 1 A 2 cos A
x A 1
A 2 A
ωt ωt + φ
( ) φ
cos 2 1 2
2 2 2
1 A A A
A
A = + +
K
K
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
L’ampiezza del moto risultante dipende dalla differenza di fase φ = φ 2 − φ 1
( ) φ
cos 2 1 2
2 2 2
1 A A A
A
A = + +
minima per φ = π , 3 π , 5 π ....
|
| A − 1 A 2
x A
ωt + ψ massima per φ = 0 , 2 π , 4 π ,....
2
1 A
A +
x A
ωt + ψ
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
I risultati della sovrapposizione di due moti armonici di eguale periodo lungo lo stesso asse, sono riportati di seguito:
,....
4 , 2
,0 π π
φ = φ = π , 3 π , 5 π ,.... φ = π 2 π , 3 π 2 π ....
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
) cos(
) ( )
cos(
)
( 1 2 2
1 t = A ω t x t = A ω t + φ
x
2 2 ( )
) ( 1
1 ω ω + φ
=
= A e i t x A e i t x
) (
) (
2 )
(
1 ω + ω + φ = ω + ψ
= A e i t A e i t Ae i t x
φ ψ φ
2 cos
1 2
A A
sen tg A
= +
x A
ωt + ψ
Se sviluppiamo con la formula di Eulero
Da cui
……….
Calcoliamo la nuova fase
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Consideriamo la somma di due moti armonici lungo lo stesso asse caratterizzati da diversa pulsazione :
) cos(
)
cos( 1 2 2
1 (t) A t x (t) A t
x = ω = ω
K 1
K 2
Per semplicità supponiamo che e A 1 = A 2 = A φ 1 = φ 2 = 0
t t
A t
A t
A t
x t
x t
x cos 2
cos 2 2
cos cos
) ( )
( )
( 1 2 1 2 ω 2 ω 1 ω 1 ω 2
ω
ω − +
= +
= +
=
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
si ha un nuovo moto oscillatorio :
caratterizzato da :
• una nuova pulsazione ;
• un’ ampiezza modulata con pulsazione .
( ) t A ( ) t t A t c t
x = cos ω = 2 cos Ω os ω
2
2
1 ω
ω ω +
=
2
1
2 ω
= ω − Ω
Si parla di modulazione di ampiezza, caratteristica del fenomeno del battimento:
Se ω 1 ~ ω 2 Ω = (ω 2 – ω 1 )/2
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Battimenti
This "line drawing" shows how two patterns of slightly different
spacing show the phenomena of beat interference. The pattern is
best seen when you look from a distance of about a meter.
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Consideriamo la somma di due moti armonici su assi ortogonali caratterizzati dalla stessa pulsazione :
Se i moti sono in fase
Il punto si muove lungo un segmento di retta tra le posizioni -A, -B e A, B;
tale retta forma con l’ asse x l’ angolo :
) ( ω φ
ω = +
= A t y t B t
t
x ( ) cos , ( ) cos
= 0 φ
B A t
y t x =
) (
) (
A arctg B
= θ
K
K
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Se i moti sono in opposizione di fase
B A t
y t
x = − )
( ) (
π φ =
A arctg B
−
= θ
e IN FASE
IN OPPOSIZIONE DI FASE
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Se i moti sono in quadratura di fase
2 φ = π
quindi:
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
=
= cos ( ) cos 2
)
( π
ω
ω t y t B t
A t
x
) 1 ( )
( 2 2
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝ + ⎛
⎟ ⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
B t y A
t x
che rappresenta l’equazione di un’ ellisse percorsa in senso orario
Se i moti sono in quadratura di fase ma con il moto è in senso antiorario φ = π 2
3
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
In particolare se A è uguale a B
l ’ e l l i s s e d e g e n e r a i n u n a
circonferenza
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Se i moti hanno una differenza di fase generica
La traiettoria è sempre un’ ellisse, con gli assi non paralleli agli assi cartesiani
(anche se A = B)
Figure di Lissajous
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
2
1 ω
ω =
2
1 ω
ω ≠
Figure di Lissajous
Fenomeni oscillatori Composizione di moti Armonici
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
Oscillatore ideale In presenza di attrito
Consideriamo un oscillatore armonico smorzato da una forza viscosa:
v
f att = − λ
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
v f att = − λ
Applicando la seconda legge di Netwon
F = ma
2 0
2
= +
+
⇒
=
−
− x
m k dt
dx m
dt x ma d
v
kx λ
λ
La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere :
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico smorzato diventa:
2 0
2
= +
+ x
m k dt
dx m dt
x
d λ
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :
m k
m =
= 0
2 λ ω
γ
0
2 0 2
2 2
= +
+ x
dt dx dt
x
d γ ω
Il tipo di soluzione dipende dalla relazione tra i parametri fisici dell’oscillatore.
Ci sono tre casi possibili :
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
)
0 cos ω + φ
= A e − ( t x(t) γt
2 2
0 γ
ω
ω = −
• Smorzamento debole
2 2
0 γ
ω >
k m 4
λ 2
>
Parametro relativo alla forza elastica
Parametro relativo alla forza di attrito
ω 0
ω <
La soluzione è quindi una sinusoide la cui ampiezza diminuisce nel tempo poiché è modulata da un esponenziale decrescente :
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
) cos(
)
( t = A 0 e − γ ω t + φ
x t
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
nullo ω = ω 0 2 − γ 2
• Smorzamento critico
2 2
0 γ
ω = k 4 m
λ 2
=
Parametro relativo alla forza elastica
Parametro relativo alla forza di attrito
( ) t e ( At B )
x = − γt +
Ap pr ofon
di me nto
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
immaginario ω = ω 0 2 − γ 2
• Smorzamento forte
2 2
0 γ
ω < k 4 m
λ 2
<
Parametro relativo alla forza elastica
Parametro relativo alla forza di attrito
( ) ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ +
= e − γ t Ae t γ
2− ω
02Be − t γ
2− ω
02t
x
La soluzione globale è del tipo:
Ap pr ofon
di me nto
Nelle condizioni di smorzamento forte o critico non c’ è mai oscillazione:
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico smorzato
γ/ω 0 = 1
γ/ω 0 > 1
a) Oscillazioni smorzate b) Smorzamento critico c) Oscillazione forte
Al diminuire dello
smorzamento
Fenomeni oscillatori Considerazioni energetiche
>
>≅<
< 2
2
1 kA E
Nel caso di piccoli smorzamenti ( γ piccolo) possiamo calcolare l’energia media sul primo periodo T 0 =2 π/ω 0 supponendo l’ampiezza costante
e t
E t
E ( ) >≅ 0 − 2 γ
<
Per il primo periodo
0 2
0
0 2
1 kA E
E >≅< >=
<
Per i periodi successivi
Fenomeni oscillatori Considerazioni energetiche
Per poter valutare di quanto varia l’ energia media nel tempo si deve calcolare la derivata del valore medio dell’ energia normalizzata:
γ γ
γ γ
2 2
2 0
2
0 =
〉 =
〈
〉
〈
− −
− t
t
e E
e E E
dt E d
Il parametro rappresenta il tempo di decadimento per l’ampiezza
τ γ 1
Amp =
L’energia decade più rapidamente con un tempo
τ γ
2
= 1
En
Consideriamo ora un oscillatore armonico forzato:
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
Applicando la seconda legge di Netwon F = ma :
applichiamo cioè all’ oscillatore una forza esterna ad esempio sinusoidale
)
0 cos( t F
F = ω
)
0
cos( t F
F = ω in cui rappresenta la pulsazione della forza esterna ω
ma t
F v
kx − + =
− λ 0 cos ω t
m x F
m k dt
dx m dt
x
d 2 λ 0 cos ω
2
= +
+
La legge matematica che regola il moto di questo sistema risulta essere:
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
l’ equazione differenziale dell’ oscillatore armonico forzato diventa:
Definendo, il coefficiente di smorzamento e la pulsazione propria rispettivamente :
m k
m =
= 0
2 λ ω
γ
m t x F
dt dx dt
x
d 2 2 γ ω 0 2 0 cos ω
2
= +
+
m t x F
m k dt
dx m dt
x
d 2 λ 0 cos ω
2
= +
+
ω
Supponendo la condizione di smorzamento debole
la soluzione generale di questo sistema è
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
Soluzione della omogenea associata
( ω φ ) ( ω φ )
γ + + +
= A ʹ e − t A t
t
x ( ) 0 t cos * * 0 cos
Soluzione particolare Dopo un tempo abbastanza grande, il primo temine tende a zero:
( ω + φ )
= A t
t
x ( ) regime 0 cos
( ) 0
cos * *
0 ʹ e − γ ω t + φ ⇒
A t
E la soluzione a regime è:
2 2
0 γ
ω >
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
( ω + φ )
= A t
t
x ( ) regime 0 cos
Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato rispetto ad essa :
( ω + φ )
= A t
t
x ( ) regime 0 cos F = F 0 cos( ω t )
⎥ ⎦
⎤
⎢ ⎣
⎡
− −
= 2 2
0
2
ω ω
φ arctg γω
( 0 2 2 ) 2 2 2
0
0 4
1
ω γ ω
ω − +
= m A F
2 2
0
2
ω ω
φ γω
− − tg =
dove :
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
( ω + φ )
= A t
t
x ( ) regime 0 cos
Lo spostamento sarà caratterizzato a regime dalla stessa pulsazione della forza esterna, anche se sfasato rispetto ad essa
A 0 e φ non dipendono dalle condizioni iniziali
( 0 2 2 ) 2 2 2
0
0 4
1
ω γ ω
ω − +
= m
A F 2 2
0
2
ω ω
φ γω
− −
tg =
Ap pr ofon
di me nto
Fenomeni oscillatori
In modo equivalente grafichiamo la fase in funzione di :
Questo grafico riassume i tre casi possibili :
ω 0
ω =
φ
ω 0
ω
⎥ ⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡
− −
= 2 2
0
2
ω ω
φ arctg γω
ω 0
ω << φ = 0
2 φ = − π
ω 0
ω >> ω 0 φ = − π
ω >>
Oscillatore Armonico forzato
Ap pr ofon
di me nto
Analizziamo lo studio della risposta in funzione di e in particolare in relazione alla del sistema:
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
ω ω 0
ω 0
ω <<
( 0 2 2 ) 2 2 2
0 0
4 1
ω γ ω
ω − +
= m A F
2 2
0
2
ω ω
φ γω
− − tg =
k
A 0 = F 0 φ = 0
k t t F
x ( ) = 0 cos ω
• Spostamento in fase con la forza esterna
• Parametro dominante “ k ” costante elastica
Ap pr ofon
di me nto
Fenomeni oscillatori Oscillatore Armonico forzato
ω 0
ω >>
( 0 2 2 ) 2 2 2
0 0
4 1
ω γ ω
ω − +
= m A F
2 2
0
2
ω ω
φ γω
− − tg =
π φ = −
• Spostamento in opposizione di fase con la forza esterna
• Parametro dominante “ m ” massa
2 0 0
m ω A = F
m t t F
x ω
ω cos )
( = − 0 2
Fenomeni oscillatori Risonanza
Grafichiamo in funzione di A 0 ω
Con smorzamento molto piccolo la funzione assume un massimo (risonanaza in ampiezza) per :
ω 0
ω =
Risonanza
Se lo smorzamento aumenta, il massimo si sposta verso la parte sinistra del grafico e si riduce in ampiezza.
Nel caso in cui lo smorzamento è grande,
ω 0
ω =
Fenomeni oscillatori Risonanaza
( 0 2 2 ) 2 2 2
0 0
4 1
ω γ ω
ω − +
= m
A F 2 2
0
2
ω ω
φ γω
− − tg =
2 φ = − π
• Spostamento in quadratura di fase con la forza esterna
• Parametro dominante “ γ ” coefficiente di smorzamento
t m sen
t F
x ω
γω 0
0
) 2 ( =
0 0
0 2 γω m
A = F
( ω + φ )
= A t
t
x ( ) regime 0 cos
ω 0
ω =
Fenomeni oscillatori Risonanza
m t t F
v regime ω
γ cos ) 2
( = 0
t m sen
t F
x ω
γω 0
0
) 2 ( =
v!
F !
v!
F !
v! F !
)
0 cos( t F
F = ω
Fenomeni oscillatori Larghezza della risonanza Si definisce larghezza della risonanza l’intervallo tale che la potenza trasferita in questi due punti è la metà di quella trasferita ad . Si trova
γ ω
ω 2 − 1 = 2
Si definisce :
fattore di merito della risonanza.
Esso è tanto maggiore quanto più stretta è la risonanza.
2 0
1 ω ω
ω < <
ω 0
>
< P
λ γ
ω ω
ω
ω mk
Q = =
= −
2
0 1
2
0
Fenomeni oscillatori Effetti risonanza Edifici antisismici
Rottura bicchieri Crollo ponti
Fenomeni oscillatori Effetti risonanza
Fenomeni oscillatori Effetti risonanza Bosone di Higgs
Risonanza acustica Ricevitori di onde EM
Risonanza nucleare
Fenomeni oscillatori Metodo fasoriale
m t x F
dt dx dt
x
d 2 2 γ ω 0 2 0 cos ω
2
= +
+
t
e i
m t F
i m t
F F m t
F = F 0 cos ω → = 0 (cos ω + sen ω ) = 0 ω
Si considera la forza come un fasore nel piano complesso
Re(x) Im(x)
t
e i
m F 0 ω
t
e i
m x F
dt x d dt
x
d ω
ω
γ 0 2 0
2 2
2 + =
Si risolve +
Fenomeni oscillatori Metodo fasoriale
t
e i
m x F
dt x d dt
x
d ω
ω
γ 0 2 0
2 2
2 + =
+
Si cercano soluzioni x = A 0 e i ( ω t + φ ) = A 0 e i φ e i ω t = A e i ω t
Per sostituzione si trova che la quantità complessa A vale:
4 ) ( 2
2 2 2 2 2
0
2 2
0 0
ω γ )
ω (ω
γ i ) ω (ω
m A F
+
−
−
= − ω
i φ
e A A = 0
( 0 2 2 ) 2 2 2
0 0
4 1
ω γ ω
ω − +
=
= m
A F A
2 2
0
2 ω ω
φ γω
− −
tg =
Fenomeni oscillatori Metodo fasoriale- Risonanza
) cos(
) Re(
0
0 φ ω ω φ
ω = → = +
= A e A e e x A t
x i t i i t
Re(x) Im(x)
t
e i
F 0 ω
Condizione di risonanza
m γω A F
0 = 2 0
) 2 / ( 0 ω −π
= A e
i tx
ω 0
ω =
2 φ = − π
2 ) cos(
) Re(
0
) 2 (
0 2
0
ω π
π ω ω
π = → = −
= A e − e A e − x A t
x i i t i t
Fenomeni oscillatori Metodo fasoriale- Risonanza
Re(x) Im(x)
t
e
iF
0 ωCondizione di risonanza
t
e i
V 0 ω m γ
V F
0 = 2 0
) 2 (
0 )
2 (
0 ω − π → = ω ω − π
= A e i t v i A e i t
x
) 2 / ( 0 ω −π
= A e
i tx
t i t
i i
t
i A e e V e
e i A
v = ω 0 ( ) ( ω − π 2 ) = ω 0 ( π 2 ) ( ω − π 2 ) = 0 ω
Fenomeni oscillatori Metodo fasoriale- Risonanza
Re(x) Im(x)
t
e
iF
0 ωCondizione di risonanza
t
e i
V 0 ω m γ
V F
0 = 2 0
Nella condizione di risonanza la parte reale della velocità è massima.
Quindi sarà anche massima la potenza trasferita al circuito
ωt) mγ
ωt)( F (F
P cos
cos 2 0
= 0 ωt
mγ
P F 2
2
0 cos
= 2
mγ P F
4
2
= 0
Fenomeni oscillatori Risonanza
( ) t
V t
v ( ) = 0 cos ω F = F 0 cos( ω t )
La velocità è sempre in fase con la forza
v!
F ! v!
F !
La potenza trasferta dalla forza alla massa è sempre positiva e c’è il massimo trasferimento di energia P F ! v !
⋅
=
v! F !
2 < < 0
− π φ
Fenomeni oscillatori Metodo fasoriale
) cos(
) Re(
0
0 φ ω ω φ
ω = → = +
= A e A e e x A t
x i t i i t
Re(x) Im(x)
t
