C o n t c i b u t i a l l a t o p o l o g i a (lifferenziale delle c o p p i e di c a l o t t e del 3 ° o r d i u e t a n g e n t i .
Mcmoria di GIUSEPPE VACCARO (a Roma)
A E n r i c o B o m p i a n i i n occasione del s~¢o Giubileo S c i e n t i f i c o
Nunto. - I n u n o s p a z i o n u m e r i c o X,, .~i c o n s i d e r a u n a c o p p i a d i calotte s u p e r f i c i a l i o t r i d i . m e n s i o ~ a l i dot 3 0 o r d i n e t a n g e ~ t i nel loro centro c o m u n e e dopo avere esteso a d essa t a n o z i o n e di g i a c i t ~ r a p r i n c i p a l e , i n r e l a z i o n e a i p o s s i b i l i v a l o r i d e l l a d i m e n s i o n e k d i q u e s t a s i s t u d i a n o le p r o p r i e t ~ topologiche d e l l a c o p p i a d i ealotte. Ci s i l i m i t a a d e s a m i n a r e i casi i n c u i k a s s u m e i l v a l o r e mi~timo, m e n t r e s i s t u d i a i n m o d o completo il caso d i due c a l o t t e s u p e r f i c i a l i del 3 0 o r d i n e a v e n t i i n e o m u n e n n a c a l o t t a d i 2 ° ordine.
A l c u n i r i s u l t a t i v e n g o n o estesi a l caso d i due catotte d ' o r d i n e s a v e n t i i n c o m u n e u n a c a l o t t a d ' o r d i n e s-2,
Vengono f a t t e i n f i n e a p p l i c a z i o n i n e l l ' i p o t e s i che le calotte i n e s a m e s i a n o i m m e r s e i n u n o s p a z i o p r o i e t t i v o
INTRODUZIONE
I1 presente lavoro a r r e c a ulteriori contributi alla t o p o l o g i a d i f f e r e n z i a l e delle eoppie di ealotte regolari t a n g e n t i nel loro centro c o m u n e 0 ed appar- t e n e n t i ad uno spazio n u m e r i c o X , , .
Mentre r i m a n d o ad u n a mia p r e e e d e n t e m e m o r i a [6] (t) per gli opportuni richiami sulla nozione di calotta e su altre ehe mano a mano p o t r a n n o inter.
venire, per r e n d e r e il pifi possibile a u t o n o m a la l e t t u r a del presente lavoro, reputo opportuno r i c o r d a r e che il nome di topotogia differenziale 6 stato dato da E. BOMPL~I allo studio delle propriet'h differenziali di enti geometrici di uno spazio n u m e r i e o X,, rispetto alle tras['ormazioni p u n t u a l i biunivoehe e bicontinue, con derivate c o n t i n u e fino a l l ' o r d i n e t h e oceorre considerare.
G i o v a r i e o r d a r e altresi, che per spazio n n m e r i c o reale X,, si i n t e n d e la totalit& delle n - p l e ordinate di n u m e r i reali x ~ ( i - - 1 , 2, ..., n), con la u s u a l e topologia d e t e r m i n a t a dagli intervalli o intorni. Quello t h e in realt~ oceorre
O
c o n s i d e r a r e in questo genore di ricerche i~ proprio u n intorno di u n punto x fissato, nel quale s a r a n n o definite le trasformazioni di eui sopra e ehe, p~r brevith, si diranno t r a s f o r m a z i o n i i o p o l o g i c h e . X,~ stark sempre ad indicare, per noi, un siffatto intorno e pertanto i risultati trovati si possono i n t e r p r e t a r e come propriet~ locali, cio6 relativ~ ad u n a c a r t a , di u n a varietk differenziabile F , .
(l) Lo [ ] si riferiscono a~la bibl!ografia posta alla fine del lavoro.
100 G. VA(:(:~RO: CoJltributi alia topologia differcnzi(tle dcllc topple, ct.e.
Data una coppia di ealotte ad h dimensioni e di ordine s tangenti nel lore centre c o m u n e 0, un primo p r o b l e m a t h e si p r e s e n t a ~+ quello di deter- minare la dimensione minima k di una varieth regolare in 0 t h e la contenga.
Nel ease di una coppia di calotte superficiali del 2 ° ordine, il p r o b l e m a state c o m p l e t a m e n t e risolto dal Bo~PIANI [1: III, IV] il quale ha trovato t h e k pub a s s u m e r e i valori 3, 4, 5; ma il fatto notevole ~ che, per quanto si abbia u n a grande arbitrarieth, tutte ]e Va t h e contengono le due culotte date hanno in 0 la ste~sa giaeitura tangente, che risulta d e t e r m i n a t e dalla coppia di ealotte in esame. Tale giacitura t a n g e n t e si ehiama, col BO~P~A:gI, giavitura principale della coppia di culotte date.
L ' a n a l o g o p r o b l e m a per una eoppia di calotte tridimensionali del 2 ° ordine tangenti nel lore centre comune, trovasi a m p i a m e n t e studiato nella mia su citata memoria [6]. Lo stesso p r o b l e m a ~ state poi ripreso e temple- taro da C. Lo~c~o [8]. In questo case si trova ehe k pub a s s u m e r e i valori 4 ~ k ~__ 9. Anehe in questo case la coppia di calotte date d e t e r m i n a una k - g i a c i t u r a principale, t h e ~ la giaeitura tangente a tutte le Vh t h e conten- gone le due calotte date.
Il ratio notevole da segnalare ~ ehe, nella topologia di due calotte del 2 ° ordine tangenti, si riprodueono fatti analoghi a quelli t h e valgono nella geometria proiettiva di una sola calotta.
Nel p r e s e n t e lavoro viene iniziato lo studio dell'analogo p r o b l e m a p e r le coppie di calotte del 3 ° ordine tangenti.
~] s u p e r f l u o dire che nel passaggio dall'ordine 2 all'ordine 3 il p r o b l e m a si eomplica notevolmente, come del resto avviene anehe per lo studio di una sola calotta del 3 ° ordine i m m e r s a in uno spazio proiettivo. Basti riflettere sul fatto t h e anche per una eoppia di calotte del 3 ° ordine ~ possibile deter- m i n a r e una k - g i a e i t u r a prineipale, m a l a dimensione k di q u e s t a dipende dalla dimensione della giacitura principale delle calotte del 2 ° ordine appar- tenenti alle ealotte date, e pertanto in relazione ad un possibile valore di k si possono p r e s e n t a r e tipi topologicamente distin~i di coppie di eatotte del 3 ° ordine tangenti.
L ' e s t e n s i o n e n a t u r a l e del ease di coppie di ealotte del 2 ° ordine tangenti si ha c o n s i d e r a n d o eoppie di ealotte de1 3 ° ordine aventi in c o m u n e la stessa ealotta del 2 ° ordine.
D a t a u n a eoppia di calotte superficiali del 3 ° ordine aventi in c o m u n e una calotta del 2 ° ordine di centre O, si trova t h e essa ammette una k - g i a c i t u r a p r i n e i p a l e con 3 ~ ' k ~ , 6. Essa ~ la k - g i a e i t u r a tangente in 0 a tutte le Va di dimensione minima k ehe contengono la coppia di ealotte date.
Lo studio c o m p l e t e delle proprietor topologiche di siffatte coppie di culotte superfieiali del 3 ° ordine in relazione ai possibili valori 3, 4, 5, 6 di k viene fatto nel § 1 del p r e s e n t e lavoro.
U n a applieazione i m m e d i a t a dei risultati ottenuti si ha restringendo il
G. V.~C(:ARO : Contrib~eti a l l a t o p o l o g i a d i f f e r e n z i a l e d e l l e coppie~ cce. 101 g r u p p o t o p o l o g i e o al s o t t o g r u p p o p r o i e t t i v o , cio~ f a c e n d o di X , u n o s p a z i o p r o i e t t i v o S,, e c o n s i d e r a n d o u n a c a l o t t a del 3 ° o r d i n e i n f l e s s i o n a l e % di c e n t r e 0 (ta s e c o n d a c a l o t t a a v e n t e in c o m u n e c o n e s s a la c a l o t t a d e l 2 ° o r d i n e ~ d a t a d a l l ' i n t o r n o del 3 ° o r d i n e di c e n t r e 0 del p i a n o ad e s s a tan- g e n t e nel sue c e n t r e 0). Si h a eosi lo s t u d i o c o m p l e t e d e l l ' i n t e r n e di u n p u n t o di flesso di u n a s u p e r f i c i e di u n S,, p r o i e t t i v o ,
Nel § 2 si t r o v a la c o n d i z i o n e n e c e s ~ a r i a e s u f f i c i e n t e p e r c h ~ d u e c a l o t t e s u p e r f i c i a l i del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i n e l l o r e c e n t r e c o m u n e a p p a r t e n g a n o ad u n a V,~ ed il r i s u l t a t o v i e n e e s t e s o al c a s e di c o p p i e di c a l o t t e s u p e r f i e i a l i d ' o r d i n e s a v e n t i in c o m u n e u n a e a l o t t a d ' o r d i n e s - 2 .
Nel § 3 i n f i n e si p r e n d o n o in e s a m e c o p p i e di c a l o t t e t r i d i m e n s i o n a l i , sia net c a s e c h e a b b i a n o u n a s t e s s a c a [ o t t a t r i d i m e n s i o n a l e del 2 ° o r d i n e , sia nel c a s e c h e s i a n o s e m p l i c e m e n t e t a n g e n t i nel l o r e c e n t r e c o m u n e 0 : n e l l ' u n o e n e l l ' a l t r o case, si d e t e r m i n a la c o n d i z i o n e n e c e s s a r i a e s u f f i c i e n t e p e r c h ~ u n a s i f f a t t a c o p p i a di c a l o t t e a p p a r t e n g a a d u n a V4. I n q u e s t a i p o t e s i v e n g o n o s t u d i a t e d i f f u s a m e n t e le p r o p r i e t ~ t o p o l o g i e h e d e l l a e o p p i a di c a l o t t e d a t e .
]~ da m e t t e r e in e v i d e n z a e h e it e a s e di e a l o t t e t r i d i m e n s i o n a l i n o n si p r e s e n t a c o m e u n a s e m p l i e e e s t e n s i o n e del c a s e di c o p p i e di c a l o t t e s u p e r f i - ciali, g i a c c h ~ m e n t r e in q u e s t ' u l t i m o e a s e sono da e s a m i n a r e le c o p p i e di (~,lementi c u r v i l i n e i c o n t e n u t i h e l l e c a l o t t e , nel c a s e di c a l o t t e t r i d i m e n s i o n a l i si h a n n o d a e s a m i n a r e sia le c o p p i e di e l e m e n t i c u r v i l i n e i , sia le c o p p i e di e l e m e n t i s u p e v f i c i a l i c o n t e n u t i helle c a l o t t e d a t e , ed ~ la d e t e r m i n a z i o n e d e l l e l o r e g i a c i t u r e p r i n c i p a t i c h e f o r n i s c e c a r a t t e r i t o p o l o g i e i d e l l a c o p p i a di c a l o t t e date. N o n mi r i s u l t a poi che, nel c a s e di u n a m b i e n t e p r o i e t t i v o , le c a l o t t e t r i d i m e n s i o n a l i del 3" o r d i n c s i a n o s t a t e s t u d i a t e .
1. C a l o t t e s u p e r f i c i a l i d e l 3 " o r d i n e a v e n t i i n c o m u n e u n a c a l o t t a d e l 2 ° o r d i n e .
i. G i a e i t u r a p r i n c i p a i e di u n a c o p p i a di c a i o t t e s u p e r f i e i a l i del 3" o r d i n c a v e n t i in c o m u n e u n a e a l n t t a del ~c, o r d i n e (~). - I n u n o spazio n u m e r i e o X,, le cui c o o r d i n a t e si i n d i c h i n ~ con x ~ (i ~ 1, 2, .... n) sia 0 il p u n t o di coor- d i n a t e x ~ - - 0 , e sia d~tta u n a coppb~ di c a l o t t e s u p e r f i c i a l i del 3 ° o r d i n e di c e n t r e O~ a v e n t i in c o m u n e l~l ste,~sa c a l o t t a del 2 ~ o r d i n e di c e n t r e O.
(~) I1 proeedimento e le considerazioni di (luesto numero seno de! tutto analoghi a quetli contenuti in [1; I H ] e 161. ma vengono qui rifatti per estese onde dare maggiore autonemia al lavoro.
102 G. VAC'~'Am~: C o ~ t r i b u t i alia Iopolog.ia diJ:j'~'r(:~t.siah: d~tlc ~'oplfi,', cc~'.
I n d i c h e r e m o p e r b r e v i t ~ u n a c o p p i a di c a l o t t e h e l l e c o n d i z i o n i s u d ~ t t e c o n (a~)~,~ m e n t r e i n d i e h e r e m o c o n , e ¢~ c i a s c u n a d e l l e d u e c a l o t t e .
l 2
S a p p o s t o c h e l a g i a c i t u r a t a n g e n t e in 0 a , e ~, c o m e p u b s e m p r e f a r s i con u n c a m b i a m e n t o di c o o r d i n a t e a m m i s s i b i l i , sin i n d i v i d u a t a d a x ~ = x - - . . . = x ' - - 0 , e a s s u n t e x x e a~ ~ c o m e v a r i a b i | i p r i n c i p a l i , c o n v e r r h d i v i d e r e le c o o r d i n a t e in d u e g r u p p i , u n o e o s t i t u i t o d a l l e v a r i a b i l i ~1, ~v ~ e l ' a l t r o d a l l e c o o r d i n a t e r i m a n e n t i c h e i n d i c h e r e m o c o n z ~ ( i - 1, 2, ..., n - - 2 ) .
C i a s c u n a d e l l e d u e c u l o t t e in e s a m e sin r a p p r e s e n t a t a d a l l e e q u a z i o n i :
(1.1) = % , ~ x ~ x ~ + ~,~,~ + [4]
d o v e a - - 1 p e r la c a l o t t a ~, a - - 2 p e r la c a l o t t a v, [4] i n d i c a t e r m i n i a r b i t r a r i in wl, x~, d ' o r d i n e > 3 e p~, P2, P~ - - 1, 2.
U n a e a l o t t a ( n - - 1 ) - d i m e n s i o n a l e del 3 ° o r d i n e r e g o l a r e in O, ~,,_~, 8
r a p p r e s e n t a t a d a : (1.2)
c o n a~ n o n t u t t e n u l l e e d o v e [4] i n d i e a t e r m i n i d ' o r d i n e > 3 in xp e d ' o r - d i n e ~ - 3 n o l l e xP ed in u n a a l m e n o d e l l e z ~ e d ' o r d i n e ~ 2 n e l l e xP e in d u e a l m e n o d e l l e #, c o n t i e n e le d u e c a l o t t e (1.1) se si h a i d e n t i c a m e n t e n o l l e x) ° :
(1.3) alap,lo,wP,xP --. ap~p,~¢,P,oclo~ ; 2
(1.4) a~ap,p,p~zp~xP~xp - - ( p~, ~ap,p~ ~ ap~p~p~)zp,xp~xp~.
D a l l a (1.4) si h a :
d a e u i :
i i
(1.5) ai(aplpo~, - ap,p0p~) = 0, ~
cio~ la ( n - - 1 ) - g i a e i t u r a t a n g e n t e di u n a ~,-1 t h e c o n t e n g a le d u e e a l o t t e (1.1) 8
d o v e c o n t e n e r e , o l t r e la g i a c i t u r a t a n g e n t e c o m u n e alle d u e c a l o t t e , i q u a t t r o v e t t o r i di e o m p o n e n t i :
(1.6) O, O, ~ %~p~p~ (p~, p , , p ~ -- I, 2 ; i -- 1, 2, ... n - - 2).
G. V.~c(:~ao: Co~*tributi a/ta topologia differe~rziale delle coppie, ecc. 103
Se questi q u a t t r o vettori sono nulli, le due calorie o e ~ (1.1) coincidono, ma se cib n o n accade e se h di essi (1 ~_ h _~ 4) sono l i n e a r m e n t e indipen.
denti, questi insieme alla g i a c i t u r a t a n g e n t e c o m u n e a a e ~, definiscono
1 2
u n a g i a c i t u r a a k - 2 ~ h d i m e n s i o n i che dicesi g i a c i t u r a prinvipale delle due calotte date.
Operiamo u n a trasformazione di coordinate in modo che, dette ~ , ~q, z ~ le nuove coordinate, dove p - - 1 , 2; q - - 1 , 2,..., h seeondo la dimensione della g i a e i t u r a principale, ed i - 1, 2, ..., n - - h - - 2 , la g i a c i t u r a t a n g e n t e a e o sia d a t a da ~q = z ~ -- O, e la Ioro g i a c i t u r a principale sia d a t a da z~ - - O,
2
dopo di ehe le equazioni di o e o si s c r i v o n o :
2
= a lp,x ,xp' + a p,p. plxp , + [4]
(1.7)
= b p,xp,x , + +
[4].
subito visto t h e ogni Va ~ k - - 2 - I - h dimensioni di equazioni :
dove [4] indica termini a r b i t r a r i d ' o r d i n e > 3 in x ~, d ' o r d i n e ~ 3 in wP ed u n a almeno delle ~q e d ' o r d i n e ~ 2 in .x' e due almeno ~q, contiene le due ca|otte (11) pureh~ sia
i q
(1.8) bp, qap, p. - - O.
Si ha q u i n d i :
Data i n X , u n a coppia di oalotte superficiali del 3 ° ordine aventi i n comune u n a calotla del 2 ° ordine di eentro O, risutta definita u n a k - g i a v i t u r a con 3 5g. k ~-- 6, the ~ la k - g i a c i t u r a tangente in 0 a tulle le Vk vhe contengono la coppia di calotte date e che si c h i a m a k - g i a c i l u r a principale della coppia di calorie.
2. (o~)2,~ con 3 - g i a c i t u r a p r i n e i p a l e . - S u p p o n i a m o che la g i a c i t u r a prin.
cipale delle d u e calotte (1.7) sia u n a 3 - g i a c i t u r a . Le due calotte siano rap- p r e s e n t a t e dalle (1.7) in cui q - - 1 e pertanto si pub sopprimere l ' i n d i c e q.
Cerchiamo gli e v e n t u a l i elementi curvilinei del 3 ° ordine E 9 c o m u n i alle due calotte.
Un E~ r a p p r e s e n t a t o dalle e q u a z i o n i :
~ = ~.~t ~ ~ t ~ 4" v ~t~ + ...
(2.1) ~ = ~t ~ -k vt ~ q- ...
z~ = ~ t ~ 4" ~'t ~ -}- ...,
104 G. VACChRO: C o n t r i b u t i alla topologia differe~ziale delle eoppic, etc.
a p p a r t i e n e alle d u e c a l o t t e (1.7) con q - - 1 , s e :
(2.2)
- - ap,~..),~0.~ ;
~ - - b ~ , , ~ , ) , ~ ;
D a l l a s e c o n d a d e l l e p r e e e d e n t i si h a :
(2.3) (ap,p~p~ - - a p~p:pJLp, k~'-').p:, - - 0.
Q u e s t a d e f i n i s c e ire e l e m e n t i del 1 ° o r d i n e E~, c h e d i r e m o elementi d ' o s c u l a z i o n e della coppia di calotte. D e t e r m i n a t i q u e s t i t r e E~, p e r c i a s c u n o di essi, f i s s a t a ~ e v q, t r , m i t e le (2.2), r i s u l t a n o d e t e r m i n a t i ~t. v, ~ , x ~.
P o i c h ~ con u n c a m b i a m e n t o del p a r a m e t r o t ~ s e m p r e p o s s i b i l e f a r e in m o d o c h e sia p e r es. ~ - - - - v ~ - 0, si h a e h e le d u e c a l o t t e d a t e h a n n o in c o m u n e i r e s i s t e m i o c 2 ( p e n n e l l i di d i m e n s i o n e 2) di E 3 .
s u b i t o visto e h e v i c e v e r s a se d u e e a l o t t e o e a del 3 ° o r d i n e a v e n t i
i 2
in e o m u n e u n a e a l o t t a del 2 ° o r d i n e , h a n n o in c o m u n e t r e p e n n e l l i di ~ 2 E~, esse a m m e t t o n o u n a 3 - g i a c i t u : a p r i n e i p a l e e p e r t a n t o a p p a r t e n g o n o ad u n a V~ ('~).
Si h a p e r t a n t o :
Condizione necessaria e sufficiente affinch~ i n X , d u e calotte s u p e r f i c i a l i del 3 ° o r d i n e a v e n t i u n a stes,Qa calotta del 2 ° ordine~ (~pparte~gano a d u n a F~
p e r cui il centro 0 delle d u e calotte sia regolare, ~ che esse abbiano i n c o m u n e ire d i r e z i o n i d ' o s c u l a z i o n e e p e r c i a s c u n a di esse u n p e n n e l l o di o. elementi c u r v i l i n e i del 3 ° ordine E~.
3. C a l o t t e s u p e r f i c i a l i dei 3 ° o r d i n e a v e n t i in e o m u n e t r e p e n n e i l i di E~
ed i m m e r s e in un S . p r o i e t t i v o . - I | p r e e e d e n t e t e o r e m a h a c a r a t t e r e topologico, m a v e d i a m o le e o n s e g u e n z e e h e da esso si p o s s o n o t r a r r e nel
(:i~ 2
caso e h e ]e d u c c a l o t t e : e ~ d e l l a c o p p i a ( .2)~,2 s i a n o i m m e r s e in u n o spazio
1 2
p r o i e t t i v o S . .
S e x 1, ~2, z ~ ( i - " 1, 2 .... , n - - 2) sono c o o r d i n a t e p r o i e t t i v e n o n o m o g e n e e di u n p u n t o d e l l o S , , n u l l e in 0, r a p p r e s e n t i a m o le d u e e a l o t t e ~ e z con
i 2
le e q u a z i o n i :
• ~ ' L " '~ 1 ~ 1
(3.1) a : z ~ = 9 ~ ( ~ 1, x 2 ) + 9 8 x , , x ~ ) + [ 4 ] ; ~: z ' = ~ 2 ( x , x 2 ) + ¢ ~ 8 ( x , x ~ ) + [ 4 ] ,
1 2
(a) Q u e s t o , d e l r e s t o , ~ u n e a s o p a r t i e o l a r e di u n t e o r e m a pifi g e n e r a l e r i g u a r d a n t e d u o c a l o t t e d ' o r d i n e s a v e n t i i n e o m u n e u n a e a l o t t a d ' o r d i n e s 1, il q u a ] o t r o v a s i d i m o s t r a t o i n [1, 11i r] e d e s t e s o a l c a s o di e a l o t t e t r i d i m e n s i o n a l i i n [6].
G. V~CCARO : Contributi alla topologia di]ferenziale delle coppie, ecc. 105
~ -~ ~ . Se le (3.1)
eve ~ , , % , ~8, sono f o r m e di g r a d e u g u a l e a l l ' i n d i c e in x 1,
h a n n o in c o m u n e tre p e n n e t l i di o c 2 E~ di o r i g i n e 0, con r a g i o n a m e n t o ana- logo a q u e l l o s e g u i t o neI case topologico, c a m b i a n ~ o cio~ le v a r i a b i l i z ~ in lore c o m b i n a ~ i o n i l i n e a r i o m o g e n e e ed i n d i c a n d o u n a di esse c o n ~ e le a l t r e a n e o r a con z ~ ( i - - 1 , 2 , . . , n - - 3 ) , ci si pub r i d u r r e a l l e e q u a z i o n i :
~ __ %(x~, ,~2) + %(w~, ~,) + [4]
(3.2) ~ : ,
, ( z~ =
+~(~, ~)
+ ~ , ( x , ~ ) + [4];I~
- -+,(x ~, ~) -t- -
% ( ~ , x') -F [4](3,3) ~ : . ~
• ~ = +~(x ~, x ~) + + , ( x , x ~) + [4].
L o ire d i r e z i o n i d ' o s e u l a z i o n e c o m u n i a ~ e a sono d a t e :
%(a~1, X 2 ) - - ~ ( ~ , ~ ) - - 0, 1
e la g i a c i t u r a p r i n c i p a l e delle d u e c a l o t t e ~ d a t a d a z ~ - - 0.
Se gli S ( 3 ) - o s e u l a t o r i (~) delle d u e calotte, c o m e a v v i e n e in g e n e r a l e , sono S~, il t h e p o r t a t h e lo S ( 2 ) - o s e u l a t o r e d e l l e d u e c a l o t t e ~ u n $5, solo tre d e l l e f o r m e T~ sono l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i , m e n t r e vi sono sette f o r m e
% e % e sette i f o r m e ~3 e ¢~ l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i , e eib p o r t a ehe, l i m i t a n d o c i alle ¢~8, sette o sei di esse sono l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i . D a eib si d e d u c e che s o s t i t u e n d o di n u o v o alle z ~ lore c o m b i n a z i o n i l i n e a r i o m o g e n e e , gli s v i l u p p i di n - 10 o r i s p e t t i v a m e n t e n - - 9 c o o r d i n a t e z ~ si possono f a r c o m i n c i a r e con t e r m i n i d ' o r d i n e ~_~ 4 in w~, ~ , e p e r q u a n t o r i g u a r d a le c a l o t t e del 3 ° o r d i n e q u e s t e z ~ si possono p o r r e - - 0 .
P i h in g e n e r a l e ~ subito visto e h e se le d u e c a l e t t e (3.2) e (3.3) h a n n o p e r S ( 3 ) - o s c u l a t o r i un S,, ed a n S~, c o n 3 ~ h, k ~ 9, a l l o r a se h - - k , limi- t a t a m e n t e a l l e c a l o t t e del 3 ° o r d i n e , n - - k - - 1 , o p p u r e n - - k z ~ si possono p o r r e - - 0 ; se h < k, a l l o r a p e r l ' e s i s t e n z a d e l l e t r e d i r e z i o n i d i o s e u l a z i o n e e o m u n i d e v e essere k - - h ~ 1 ed in q u e s t o case n - - k z ~ si possono
p o r t e = 0.
R i a s s u m e n d o si h a :
Se due ealolte superfi~iali del 3 ° ordine aventi la slessa calotta del 2 ° ordine, h a n n o inoltre i n comune tre direzioni d' osculazione e p e r oiasvuna di esse u n pennello di ~ 2 E~, hann.o per S(3)-osculatori rispettivamente u n Sa ed n n Sa con 3 ~ h, k ~_ 9, allora :
1) se h - - k , le due calotte s t a n n o i n u n Sa+~ o i n u n Ss ;
2) se h < k, i n t a n t o deve essere k - - h ~ - i ed i n questo case le due calotte s t a n n o i n u n Sa e lo S ( 3 ) ~ S~ delFuna sta nello S(3)~--Sa dell' allra.
(4) Si ricordi the dicesi S(h)-oseulatore ad u n a calotta ak~' (h ~:s) lo spazio di dimen- sione m i n i m a che eontiene gli Sh oseulatori degli E h delta ealotta avenfi l ' o r i g i n e n e l l ' o r i . gine della ealotta.
Annali di Matematica 14
106 G. VAcc~mo: C o u t r i b u t i a l l a t o p o l o g i a d i f f e r e n z i a i e delle c~oppie, e t c .
3 2
4. (z~)~,2 con & g i a e i t u r a p r i n e i p a l e . - R i t o r n a n d o al case di u n a (a,)x,z in u n o spazio n u m e r i e o X , , s u p p o n i a m o e r a ehe g i a c i t u r a p r i n e i p a l e d e l l a (~)~,~
in e s a m e sia u n a 4 - g i a e i t u r a . L e d u e c a l o t t e z e ~ d e l l a (@~,2 s i a n o rappre-
t $
s e n t a t e d a t l e (1.7) dove e r a perb q = 1, 2 e i = 1, 2, ..., n - - 4.
C o n s i d e r i a m o d u e E 3 con Io stesso E2, u n o a p p a r t e n e n t e a a e l ' a l t r o a a.
t "2
I d u e E s , r i f e r i t i a p a r a m e t r i r a c c o r d a t i [1, 1] s i a n o r a p p r e s e n t a t i dalle e q u a z i o n i
x~ = ;~vt + ~s't"2 + vt ~ + ...
o:
(4.1) ~q : pqt ~ + ":qt ~ + ...
z ~ : l~t ~ + m q 3 + . . . .
L ' a p p a r t e n e n z a di u n Ea (4.1) a l i a c a l o t t a (1.7) con lo stesso i n d i c e a.
p o r t a e h e d e v e e s s e r e :
(4.2)
it _.. i b~,,p..),P ,~P'-' ; ~, m I = b;~p),P ~P- + bwp~.p,~)x I,P~4,P.~..
D a l l e p r e c e d e n t i s e g u e ehe oltre alle pq ed 1 t a n e h e le m t n o n d i p e n d o n o d a l l ' i n d i c e a. 6¢
L a g i a c i t u r a p r i n e i p a l e dei d u e E~ b q u i n d i d e t e r m i n a t a d a l l a lore tan- g e n r e e o m a n e e d a l l a d i r e z i o n e :
O~ O~ "~q - - ~q~ 0~ .o, ~ O~
l It
o s s i a :
(4.3) o, o, o,..., o.
Q u e s t a d i r e z i o n e e la g i a c i t u r a t a n g e n t e alle d u e e a l o t t e z e a (1.7),
l $
d e t e r m i n a n o u n a 3 - g i a c i t u r a che d i p e n d e s o l a m e n t e d a l l e d u e c a l o t t e e d a l l a t a n g e n t e f i s s a t a e n o n d a g l i E s c o n s i d e r a t i .
Q u e s t a 3 - g i a c i t u r a d i c e s i la 3 - g i a c i t u r a (3, 1 ) - o s c u l a t r i c e a l l a c o p p i a d i c a l o t t e a e ~ s e c o n d o l a t a n g e n t e f i s s a t a .
i It
]~ i m m e d i a t e e h e nel ease in e s a m e , al v a r i a r e d e l l a t a n g e n t e , le 3-giaei- t u r e (3, 1 ) - o s c u l a t r i c i v a r i a n o in u n fascio e n t r e la 4 - g i a e i t u r a p r i n e i p a l e d e l l e d u e e a l o t t e date.
(I. V.~cc.uto: CoJttributi ella topologia diffcrcuzialc dcllc topple, ccc. 107 V i c e v e r s a u n a 3 - g i a c i t u r a per la 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e a a e a entro la
l 2
4 - g i a c i t u r a z t - - 0 :
(4.4) sq~q = O,
contiene la direzione (4.3) s e :
(4.5)
~ ( ? ~ 1 ~ 2 1 0 ~ I - - a ~ l p : l p ; t ) ~ ° l ~ 2 ~ P 3 "--" OoQuesta condizione d e t e r m i n a tre direzioni per le quali la 3 - g i a e i t u r a considerata risulta (3, 1)-oseulatriee. Si ha q u i n d i :
Date due calotte superficial~ del 3 ° ordine ~ e ¢~ con la slessa caloUa del
l $
2 ° ordine e con 4 - g i a c i t u r a prineipale, ogni tangenle d e t e r m i n e u n a 3-giaei.
tura the risulta (3, 1)-osculatrice alle due calotle secondo quella tangeule.
Queste 3-giaciture variano in u n fas~io entre la 4 - g i a c i l u r a principale delle due calotle e ciascuna di esse r i s u l t a (3, 1)-osculatrice p e r tre direzioni tangenti.
5. (@~,~ con 5 - g i a c i t u r a principale. - Supponiamo e r a l e a e ~ rappre-
l 2
sentate dalle equazioni:
(5.1)
t i
z' = b~,p;xP'xP'- "~- b;,p~p~x,P'xP'x~ .-~ [4]
dove e r a q = l , 2, 3 e i = l , 2,..., n - - 5 .
Ripetendo i r a g i o n a m e n t i fatti nel n u m e r o precedente, si vede che, a n c h e nell'ipotesi attuale, la giacitura (3, 1)-osculatrice relativa ad u n a t a n g e n t e u n a 3 - g i a c i t u r a : essa i~ d e t e r m i n a t a dalla 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e alle due calotte e dalla d i r e z i o n e :
(5.2) o, o, o,..., o,
dove q = 1, 2, 3.
P e r d e t e r m i n a t e il luogo di tali 3 - g i a c i t u r e al v a r i a r o della t a n g e n t e (cio~ di )1.92), consideriamo le componenti (a~p,p~--a~l~p~)),p~kp,),p~ della direzione ( 5 . 2 ) c o m e coordinate omogenee di un punto del piano dei punti (aq~p.~p:,- a~p~p~), (nel caso in esame tre solo di essi sono indipendenti). ]~ q
subito visto che al v a r i a r e di )1. ~s il punto di coordinate (5.2) descrive su tale piano u n a c u b i c a razionale C 3. P r o i e t t a n d o tale C 3 dalla 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e
a ~ e a si ha un eono cubico r di 3 a specie, ed ogni 3 - g i a c i t u r a g e n e r a t r i e e di F risulta (3, 1)-osculatrice per u n a direzione t a n g e n t e a (@~,~, eceetto la
108 G. VACCARO: Co~tribut~ cdh~ topologia diffcrenzi(~le dellc coppic. (,co.
3 - g i a c i t u r a proiettante il p u n t o doppio della C ~ che risulta (3, 1)-osculatrice p e r d u e direzioni tangenti.
Si c o n c l u d e p e r t a n t o :
Date in X , due calotle superficiali del 3 ° ordine, ~ e ~, con la stessa calotta del 2 ° ordine e con 5-giacitura principale, ogni tangente determina u n a 3-giacitura che risulta (3, 1)-osculatrice alle due calotte date secondo quella tangente.
A1 variare della tangente la 3-giacitura (3, l)-osculatrice descrive neUa 5-giacitura principale delle due calotte un cono cubico l? a quatlro dimensioni e di 3 a specie avente per vertice la 2-giacitura tangente alla r~3~2 ~n,2 . Ogn~
3-giacitura generatrice di [' risulta (3, 1)-osclttatrice per una tangente, tranne u n a che risulta (3, 1)-osculatrice per due tangcnti.
6. (z~)~,~ con 6 - g i a c i t u r a principale. - Se per ultimo s u p p o n i a m o ehe le due oalotte G e ~ della coppia (z~)~,~ a m m c t t a n o u n a 6 - g i a c i t u r a prinoipale, esse sono r a p p r e s e n t a t e dalle (1.7) dove q - - t , 2, 3, 4 e i = l , 2,..., n - - 6 .
I n q u e s t e ipotesi r i p e t e n d o il p r o e e d i m e n t o dei h u m e r i p r e e e d e n t i si ha ehe ogni direzione t a n g e n t e i n d i v i d u a u n a 3 - g i a o i t u r a (3, 1)-osoulatrice seco~n_do la t a n g e n t e fissata e che r i s u l t a d e t e r m i n a t a al solito dalla 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e alla (z~)~,2 e dalla d i r e z i o n e :
(6.1) O, O, 'a q \ I p l P 2 P a - a~p~p~)Xp4p~Xw, O, " ' " O.
dove ora perb q - " 1, 2, 3, 4.
P e r d e t e r m i n a r e il luogo di tall 3 - g i a c i t u r e al variare della tangente, eonsideriamo le e o m p o n e n t i (a~lp,o~ a~p~p,)kP,),v~)~v~ della direzione (6.1) come coordinate o m o g e n e e di u n p u n t o dello S 3 in oui siano assunte come p u n t i di r i f e r i m e n t o i p u n t i (aq p ~ w - I n questo S~ e rispetto a questo rife- r i m e n t o il p u n t o (6.1) descrive la eubica s g h e m b a :
(6.2) yl ___ (Xl)~ ; y~ ___ 3(~1)..k~ ; ya __ 3X1(~)~ ; y4 = ()?)~.
Le 3 - g i a c i t u r e (3, i ) - o s c u l a t r i c i secondo Ie varie direzioni t a n g e n t i alla ( ~ , 1 si ottengono p r o i e t t a n d o dalla 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e alla (~)~,2 i p u n t i della eubica (6.2).
Si ha q u i n d i :
Date in X , due calotte superficiali del 3 ° ordine z e ~ con la stessa
t 2
calotta del 2 ° ordtne e con 6-giacitura principale, ogni tangente determina u n a 3-giacitura the risulta (3, 1)-osculatrice alle due calcite secondo quella tangente.
G. V.~CCARO: Contributi alla topologla differenziale delle coppie, ecc. 109 A l variare della tangente la 3 - g i a c i t u r a (3, 1)-osculatriee deserive nella 6 - g i a c i t u r a principale delle due calotte u n cono cubico r a quattro dimensioni e di 3 a specie, avente per direttriee u n a cubiea sghemba, e si ha u n a corri- spondenza proiettiva tra le 3-giaciture generatrici di F ed il fascio di tangenti alla coppia di calotte date.
7. Calotte dei 3-ordine inflessionali di un S,, p r o i e t t i v o . - Data una s u p e r f i c i e i m m e r s a in un S , proiettivo, si dice che un suo punto 0 b di flesso per essa, se ogni tangente alla s u p e f f i c i e in 0 ~ tripunta. Le propriet~
proiettive di una caiotta superficiale del 3 ° ordine il cui eentro 0 sia di flesso (e ehe diremo b r e v e m e n t e calotta del 3 ° ordine inflessionale), si rica.
vano subito, a p p l i c a a d o ad essa i risultati ottenuti uei numeri p r e c e d e n t i sulla topologia differenziale di due calotte del 3 ° ordine aventi in c o m u n e u n a calotta det 2 ° ordine. D a t a infatti u n a calotta del 3 ° ordine inflessionale di centro 0, a, essa e l ' i n t o r n o del 3 ° ordine di centro 0 del piano ad essa tangente in 0, costituiscono u n a coppia di calotte del 3 ° ordine nelle condi- zioni di eui nei nn. precedenti.
Si ha p e r t a n t o :
l) Una calotta superficiale del 3 ° ordine inflessionale, or, appartiene sempre a d u n Sh con 3 "< h .<. 6.
2) F i s s a t a u n a tangente, i p i a n i osculatori agli E 3 della calotta con quella tangente variano i n u n S 8 per il p i a n o tangente alla calotta nel suo centro O. Tale S~ dieesi S(3, l)-osculatore secondo la tangente fissata.
3) Se S ( 3 ) ~ $3, lo S(3, 1)-osculatore secondo u n a tangente non dipende dalla tangente e coincide con lo S(3).
4) Se S ( 3 ) ~ S~, al variare della tangente, gli S(3, 1)-osculatori variano in u n fascio intorno al p i a n o tangente alla calotta in O, ed ogni S~ per esso risulta (3, 1)-osculatore per tre direzioni tangenti.
5) Se S(3)---$5, al variare della tangente, gli S(3, l)-osculatori descri.
vono u n cono cubico F a quattro dimensioni e di 3 a specie, avente per S~-vertice il p i a n o tangente alla calotta 'in O, ed ogni S~ generatore di F risulta (3, 1)-osvulatore p e r u n a tangente, tranne u~o the r i s u l t a (3, 1)-osculatore per due tangenti.
6) Se S(3)=----Se, al variare della tangente, gli S(3, l)-osculatori descri.
vono u n cono cubico I' a quattro dimensioni e di 3 ~ specie e si ha u n a corri.
spondenza proiettiva tra gli S S generatori di tale cono ed il fascio di tangenti a ~ nel suo centro O.
110 (I. VA('~'.~o: C ~ m t r i b u t i alht t o p o l o g h t ¢lifferenzi¢tle dclle (.oppie, tee.
§ 2. C a l o t t e s u p e r f l c i a l i d e l 3 ° o r d i n e t a n g e n t L
8. Coppia di e a i o t t e superflciali del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i a p p a r t e n e n t i a d u n a V~. - S u p p o n i a m o d a t a in u n o spazio n u m e r i c o X . u n a V~, e sia 0 u n suo p u n t o r e g o l a r e . D e t t e w~, x ~, x~, z ~ ( i - - 1 , 2 , . . . , n - 3) le c o o r d i n a t e di u n p u n t o di X , , , la V~ n e l l ' i n t o r n o di 0 sia r a p p r e s e n t a t a d a l l e e q u a z i o n i :
(8.1) Z i ._.. i i a "
ap,p~zp,xp~ %. a , x , ~ + a'~,w~x~,x~'~xp~ %- [4],
dove p, 19t, p~, p:~ - - 1, 2 e [4] i n d i e a t e r m i n i d ' o r d i n e > 3 in ;cv, d ' o r d i n e 3 in x2 e x ~ e ~ 2 in (zs)~.
F i s s a t a n e l l a 3 - g i a c i t u r a t a n g e n t e in 0 a l l a (8.1) u n a 2 - g i a c i t u r a , per es.
x "~--- 0, c o n s i d e r i a m o d u e c a l o t t e s u p e r f i c i a l i del 3 ° o r d i n e di c e n t r o 0 ad essa t a n g e n t i ed a p p a r t e n e n t i a l i a Va (8.1). S i a n o esse r a p p r e s e n t a t e d a l l e e q u a z i o n i :
(8.2)
~pl/a2
O~
dove : ¢ - - 1 p e r u n a c a l o t t a ed : ¢ - - 2 p e r l ' a l t r a c a l o t t a e [41 i n d i c a t e r m i n i d ' o r d i n e > 3 in x~, xY.
C e r e h i a m o gli e v e n t u a l i e l e m e n t i d i f f e r e n z i a l i del 3 ° o r d i n e , E~, c o m u n i alle d u e calorie (8.2j.
U n E 3 di e q u a z i o n i :
x~ = ),'t + ~,~t ~ + v"t '~ + [4]
(8.3) x '~ = t~t 2 %- vt a + [4]
z ~ _~ ,~tt2 .+..:q8 %. [4],
a p p a r t i e n e alle d u e c a l o t t e in e s a m e s e : (8.4)
(8.5)
(8.6)
~z - - tplp~],w),P'-' ,
7t
v : 1,1p..~',t~p~ %. m,~p..,,o),,~)~"Ox~,
(8.7)
z ~ : ~ p l p 2 ~ P l ~ p2 - ~ (%Jp, p.~ + a'p~p2p~)),pO, p~p~. ~ *ot
G. VA("CAm): Col~trib,tti alla topologia differe~ziale delle copp~e, ecc. 11 1
D a l l e (8.4) e (8.5) si o t t i e n e r i s p e t t i v a m e n t e :
(8.8) (lp, p --/p,p..,)~v,),p: = O, (8.9)
L a (8.8) d e f i n i s c e d u e e l e m e n t i d e l 1 ° o r d i n e E~, t h e c o m e b n o t e , si d i e o n o elementi asintotici delle coppie di oalotte [1, I I I ] e la e u i e s i s t e n z a e o n d i z i o n e n e o e s s a r i a e s u f f i c i e n t e a f f i n c h b d u e c a l o t t e s u p e r f i c i a l i del 2 ° o r d i n e a p p a r t e n g o n o a d u n a V 3 . U n a v o l t a d e t e r m i n a t i q u e s t i d u e E l , p o t e n - dosi f a r e in m o d e , c o n u n e a m b i a m e n t o del p a r a m e t r o , t h e sia p e r es.
~ - - v ~ - - - 0, la (8.9) ei f o r n i s e e p e r e i a s c u n o E~ a s i n t o t i c o u n v a l o r e di ~t ~.
R i s u l t a n o eosi d e t e r m i n a t i ~, v; ~t ~, p~, -c ~, m a n o n v ~. I n d e f i n i t i v a r i m a n g o n o d e t e r m i n a t i d u e e l e m e n t i del 2 ° o r d i n e E2 e p e r e i a s e u n o di essi u n s i s t e m a oo ~ di Es c o m u n i alle d u e e a l o t t e (8.2).
S u p p o n i a m o v i c e v e r s a d a t a u n a e a l o t t a s u p e r f i e i a l e del 3 ° o r d i n e di c e n t r e O, ~ .
P o i e h b ~ e ~ i d e n t e c h e u n a c a l o t t a aa p u b s e m p r e r i d u r s i , m e d i a n t e u n a t r a s f o r m a z i o n e t o p o l o g i e a , ad u n a c a l o t t a p i a n a a k d i m e n s i o n i ( k - g i a c i t u r a ) , la a~ in e s a m e pub s e m p r e e s s e r e r a p p r e s e n t a t a d a l l e e q u a z i o n i :
(8.10) z'=[4]=,,=~,
c o n i = 1, 2, .... n -- 2.
U n a e a l o t t a s u p e r f i e i a l e del r a p p r e s e n t a r s i c o n le e q u a z i o n i :
3 ° o r d i n e t a n g e n t e ad e s s a in O, ~ . p u b
(8.11) z' = ~ ( x 1, ~c ~) A- ?~(z 1, x *) -4- [4],
i 3B2
d o v e Ti 2 e ~a s o n e f o r m e r i s p e t t i v a m e n t e di 2 ° e 3 ° g r a d e in x 1,
U n e l e m e n t o E 3 di e u r v a a p p a r t e n e n t e a l l a a~ (8.10) d a t e d a l l e e q u a z i o n i :
(8.12)
gBi - - ~
x ~ = ) , u + ~ u ~ + v u ~ + [4],,
Z' - - [4],, ,
a p p a r t i e n e alla c a l o t t a (8.11) se, p o s t o :
(8.13) 9,.,(x , ~c') -- ,l" ,
si h a :
(8.14) V~(1, ),) - - 0 ; 2a~:~t -{- 2a~),~ + ~ ( 1 , ),) - - 0.
112 G. Vacc.~ao: Co~*trlbuti alht topologits d(~ferenziale delle eoppie, eee.
L e n - 2 condizioni dat¢~ dalle p r i m e delle p r e c e d e n t i d e t e r m i n a n o d u e direzioni t a n g e n t i s e :
(8.15) ~ ( x , x"-) = ~ ( x L x"),
le .~ e s s e n d o n u m e r i n o n tutti nulli, i n d i p e n d e n t i d a x ~, x", e ~2(x ~, x "°) una f o r m a del 2 ° o r d i n e non i d e n t i c a m e n t e n u l l a in x~ x ~,
S e l e ~8.15) sono v e r i f i c a t e , d e t e r m i n a t i i d u e valori di )., le s e e o n d e delle (8.14) p e r c i a s e u n v a l o r e di k d e f i n i s c o n o u n v a l o r e di ~t s e :
(8.t6) ~ ( x ~, x ~) = ~%(x ~, x~).
Se le (8.15) e (8.16) sono v e r i f i c a t e , s o s t i t u e n d o alle z ~ delle ( 8 . 1 1 ) l o r o c o m b i n a z i o n i l i n e a r i o m o g e n e e (con ehe le (8.10) non si alterano), le (8.11) si p o s s o n o s o s t i t u i r e con le e q u a z i o n i nolle n u o v e c o o r d i n a t e ~ e z ~ ( i = l , 2,..., n - - 3 ) :
(8.17)
= ~ ( x ~, x ~) + ~:~(x ~, x'-) + [4]~,, ~
m e n t r e le (8.10) d i v e n t a n o :
P o i e h ~ v non r i s u l t a v i n e o l a t o d a l t e (8.14), p e r ogni d i r e z i o n e t a n g e n t e s o d d i s f a e e n t e alia T~(x 1, x 2) - - 0 , z ~ - - 0 r i s u l t a d e t e r m i n a t o u n E2 e di conse-
a - s Zi
g u e n z a u n s i s t e m a ~ di E~ c o m u n i alle d u e c a l o t t e % e %, e le - - [ 4 ] ~ , ~ c o n i - 1, 2, ..., n - 3, d e f i n i s c o n o u n a V~ c o n t e n e n t e le d u e calorie.
Si ha q u i n d i in d e f i n i t i v a :
Condizione nec, essaria e suffivienle affirwh~ in X , , due calorie superficiali del 3 ° ordine tangenti nel loro ventro eomune O, atrpartengano ad una V~
per vui il punto 0 sia regolare, ~ the esse abbiano in comune due elementi differen~iali del 2 ° ordine E2 e per ciascuno di essi u n sislema di oo ~ E:,.
9. C o p p i a di c a l o t t e s u p e r f l e i a l i d ' o r d i n e s a v e n t i in c o m u n e una c a l o t t a d ' o r d i n e s - - 2 ed a p p a r t e n e n t i ad u n a V 3. - I! t e o r e m a f i n a l e de] n u m e r o p r e e e d e n t e si e s t e n d e al easo di d u e c a l o t t e s u p e r f i c i a l i d ' o r d i n e s a v e n t i in o o m u n e u n a c a l o t t a s n p e r f i c i a l e d ' o r d i n e s - - 2. Si d i m o s t r a pih p r e c i s a m e n t e , con p r o c e d i m e n t o del t u t t o a n a l o g o a q u e l l o s e g u i t o nel n u m e r o p r e c e d e n t e , c h e :
Condizione nevessaria e suffioienle affinch~ in X . due ca~otle superficiali d'ordine s, aventi i n comune u n a caloita superficiale d'ordine s -- 2, appar-
G. VACCARo: Conf, ributi alla topologia diffcrenziale delle eoppie, eec. 113
tengano ad u n a F~ per cut il centro 0 delle due calotte sia regolare, ~ che esse abbiano i n comune due E2 e per ciascuno di essi u n sistema di c~'--' elemenli curvilinei d' ordine s, E~.
10. C a l o t t e del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i di u n S,, p r o i e t t i v o a v e n t i in e o m u n e d u e s i s t e m i di ~ E 3. - S u p p o n i a m o e r a t h e le d u e c a l o t t e d e l 3 ° o r d i n e t a n g e n t i nel l o r e c e n t r e c o m u n e O, s i a n o i m m e r s e in u n o s p a z i o p r o i e t t i v o S , , e s i a n o r a p p r e s e n t a t e r i s p e t t i v a m e n t e c o n le e q u a z i o n i :
(~o.1) • " i 1
(10.2) d = +~(x, x ~) + + d x , x ~) + [4], - - i 1 --8 I
d o v e e r a x t, x 2, z i (i = 1, 2, ..., n - 2) sono c o o r d i n a t e p r o i e t t i v e n o n omo- g e n e e di u n p u n t o d e l l o S , , n u l l e in 0 ( c e n t r e d e l l e d u e calotte).
S e le d u e c a l o t t e h a n n o in c o m u n e d u e E8 e p e r c i a s c u n o di essi u n s i s t e m a di c~ ~ E:, di o r i g i n e O, si v e d e subito, r a g i 0 n a n d o c o m e al n. 8, c a m b i a n d o cio~ le v a r i a b i l i z i in l o r e c o m b i n a z i o n i l i n e a r i o m o g e n e e ed indi- c a n d o u n a di esse con ~ e le a l t r e a n c o r a con z i ( i = 1, 2 , . . . , n - - 3 ) e h e le d u e c a l o t t e si p o s s o n o r a p p r e s e n t a r e r i s p e t t i v a m e n t e c o n le e q u a z i o n i :
(~0.4)
{ { = ~(x 1, ~ ) + ~ ( x , ~ ) + [4] ,
i t i 1
z ~ = ~ 2 ( x , x ~ ) + + ( x , x ~)+[4].
(10.3)
[ ~ = +~(x 1, x~) + +~(x 1, x ~) + [4]
i t i 1
z ~ = ~ ( x , x ~) + ~ , ( x , x ~) + [4];
N e l c a s e p i ~ g e n e r a l e gli S ( 2 ) - o s c u l a t o r i sono degli $5 e gli S ( 3 ) - o s c u l a - tort d e g l i S~: n e s e g u e t h e in g e n e r a l e tre d e l l e f o r m e T~ e ~ e tre d e l l e d e l l e f o r m e ~72 e ~2 sono l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i , m e n t r e sette d e l l e f o r m e
~3 e ~8 e sette d e l l e f o r m e ¢P3 e ¢~ sono l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i , s o s t i t u e n d o p e r t a n t o h e l l e (10.3) e (10.4) a l l e z ~ lo1"o n u o v e c o m b i n a z i o n i l i n e a r i o m o g e n e e , gli s v i l u p p i di n - - 1 0 o p p u r e n - - 9 c o o r d i n a t e z ~ si p o s s o n o f a r c o m i n e i a r e c o n t e r m i n i ~ 4 in x 1, xL
Si h a p e r t a n t o :
Se due calorie superficiali del 3 ° ordine tangenti ed aventi i n comune due E8 e per ciascuno d i essi c,~ I E3, h a n n o per S(3)-osculatori S~, le due calotte s t a n n o i n $1o o i n $9.
Annali di Matematica 15
114 G. VACCARO: Contributi alht topologia differeJ~zi(tle delle coppie, roe.
§ 3. C a l o t t e t r l d l m e n s l o n a l l d e l 3 ° o r d i n e t a n g e n t l .
11. Goppia di eaiotte t r i d i m e n s i o n a l i del 3 ° ordine aventi ia stessa c a l o t t a del 2 ~ ordine. - I n d i c h e r e m o con (%)~,~ u n a coppia di ealotte tridi- ~2 mensionali del 3 ° ordine con la stessa ealotta del 2 ° ordine.
Se in uno spazio n u m e r i e o Xn ~ data u n a (o~)~,~ di centro 0 e si ricerca la d i m e n s i o n e m i n i m a k di u n a varietfi. Vk c h e l a contenga e per eui il p u n t o 0 sia regolare, con proeedimento del tutto simile a quello seguito nel n. 1, si trova e h e :
Una coppia (z~)~,2 di calorie tridimensionali del 3 ° ordine con lo slesso cerdro 0 e con la stessa calolla del 2 ° ordine, apparlengono sempre ad u n a Vh
~ 2
con 4 <_ k __<~10. Tutte le Va corttenenti la (o3h.z hanno in 0 la stessa k-giaci.
t u f a tangente da dirsi giaoilura principale della coppia (o~)~,~.
12. (~)~,2 con 4 - g i a e i t u r a prineipale. - L i m i t i a m o c i ad e s a m i n a r e il easo in cui k abbia il valore minimo quattro.
R a p p r e s e n t a t e te due calotte della (o.~)1,2, come b sempre possibile, con z~
opportuni c a m b i a m e n t i delle variabili, con le e q u a z i o n i :
(12.1)
= ap, p~p, xp ~ + awp.~p:,zwJcp~zp~ +
[4]
dove al solito a - - 1 per u n a ealotta e a - - 2 per l ' a l t r a calotta e dove ora P l , P2, P a - - 1 , 2, 3, i - - 1 , 2,..., n - - 4 e [4] i n d i e a t e r m i n i d ' o r d i u e > 3 in x 1, x", x~ a, la rieerca di e v e n t u a l i elementi curvilinei del 3 ° ordine, E3, e o m u n i ad esse, si fa estendendo pas$o passo q u a n t o fatto al n. 2 e infine si perviene al r i s u l t a t o :
Condizione necessaria e suffieiente affinch~ in X,, due ealotle tridimensio.
nali del 3 ° ordine aventi i n comune u n a calolta del 2 ° ordine appartengano ad u n a V~ per cui il centro 0 delle due calorie sia regotare, ~ ehe esse abbiano i n comune u n eono cubico di direzioni d'oseulazione e per ciascuna di esse u n pennello di dimensione 4 di elemenli curvilinei del 3 ° ordine. Tutte le V~
contenenti la (a~)~,2 hanno in 0 la stessa giacitura tangente da dirsi giacitura p r i m i p a l e p e r le due ealotle.
Consideriamo ora due calotte superficiali del 3 ° ordine con la stessa ealotta del 2 ° ordine ed a p p a r t e n e n t i r i s p e t t i v a m e n t e alle due ealotte della eoppia (@~,2 (12.1).
G. V.xcc.~Ro : C o , tribati alia topologia d(fferc,ziale dcllc copv'~ , etc. 115 Le due calotte s u p e r f i e i a l i possono r a p p r e s e n t a r s i con le e q u a z i o n i :
(12.2)
oe" = ~ m ~ x ~ H- v ~ x ~ x v m ~ + [4]
: O~m~oc~ + "%sm~x~m ~ + [4]
-'A
z ~ = l~rm m~ + m~vsx~x~m~ + [4],
con a, ~, ?, 8 - - 1 , 2; i - - l , 2 , . . . , n - - 4 .
P e r l ' a p p a r t e n e n z a di u n a del|e precedenti calorie alla calotta tridimen- sionale (12.1) con lo stesso indice a,. deve a v e r s i :
l ~ - - a~,; m~y~ - - a s , ~ -F a ~ ;
da cui segue che le m~r ~ non dipendono d a l l ' i n d i c e a e pub q u i n d i porsi
L a g i a c i t u r a p r i n c i p a l e delle d u e calotte (12.2) ~ qnindi d e t e r m i n a t a dalla loro 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e e dai v e t t o r i :
(12.3) o, o, o,..., 0.
Ora dei vettori p r e c e d e n t i al pifi due sono l i n e a r m e n t e i n d i p e n d e n t i e q u i n d i in generale la g i a c i t u r a principale delle due calotte superficiali (12.2) u n a 4 - g i a c i t u r a che coincide con la 4 - g i a c i t u r a p r i n c i p a l e delle d u e ealotte e a (12.1) della coppia (%)L2 32 E i m m e d i a t o perb ehe fissata u n a a 3 c ~
i 2 " t 2 t
:fissate cio~ le vsr~) esistono c~ 1 a~ c ~ aventi in c o m u n e con essa la stessa
2 ~ 2
3 fissata a m m e t t e calotta del 2 ° ordine, e tali che c i a s c u n a di esse con la ¢~
!
u n a 3 - g i a c i t u r a p r i n c i p a t e ; m e n t r e fissata u n a 2 - g i a c i t u r a , % t a n g e n t e alle due ealotte della (%h,2 ed u n a 3 - g i a c i t u r a per essa, per ogui ~ s ~ a t a n g e n t e ~ a n, esiste u n a ~ ~ ~ avente con la a~ la stessa ealotta det 2 ° ordine e tale
2 t *
c h e l a loro g i a c i t u r a prineipale sia la 3 - g i a c i t u r a fissata.
R i a s s u m e n d o si h a :
Date d u e calotte t r i d i m e n s i o n a l i del 3 ° o r d i n e a e ~ a v e n t i i n c o m u n e
t 2
u n a calotta del 2 ° o r d i n e e con 4 - g i a c i t u r a p r i n ~ i p a l e , u n a g e n e r i c a coppia d i calotte s u p e r f i c i a l i del 3 0 o r d i n e a v e n t i la stessa calotta del 2 ° o r d i n e ed a p p a r t e n e n t i r i s p e t t i v a m e n t e a ~ e a, a m m e t t o n o u n a 4 - g i a c i t u r a p r i n v i p a l e
t 2
ooincideate oon la 4 - g i a o i t u r a p r i n e i p a l e della voppia (~)~,~.
116 O. ViCCaRO: Uo~ttribt¢ti alht topologit~ dif]ercnzi~tle deitc coppic, ccc.
F i s s a t a u n a ~ ~ ~ tangente a d u n a 2 - g g a c i t u r a ~:, r i s u l l a n o d e t e r m i n a t e la stessa calotta del 2 ° ordine, tall che c~ ~ ealotte ~ ~ ~ a v e n t i con la %
2 2 1
ciaseu~m di esse con l a d ~ fissata a m m e t t e u n a 3 - g i a c i t ~ r a p r i n c i p a l e . Queste 3 - g i a c i t u r e v a r i a n o i n u n fasci~ p e r la 2 - g i a c i t u r a ~: entro la 4 - g i a c i t u r a p r i n c i p a l e della coppi~ ( ~)~,~ ~
Vieeversa o g n i 3-gi~ci~u~'(,, p~r "~ d e t e r m i n a u n a eorrisponde~!za ira le c~ ~
~ ~ e le c~ ~ ~ ~ tttlte t a n g e n l i a =, tali che a eoppie abbiano come giaci.
2 2 12 2
t u r a p r i n c i p a l e , la 3 - g i a c i t u r a fissata.
13. C a l o t t e s u p e r f i c i a l i del 3 ° o r d i n e c o m u n i a d u e c a l o t t e t r i d i m e n s i o - n a l i di una (z~)~,~ c o n ~ - g i a c i t u r a p r i n c i p a l e . - Supposto sempre t h e le due calotte ~ e ~ della eoppia (a~),~,~ siano r a p p r e s e n t a t e dalle (12.1), esaminiamo
2
sotto quaii condizioni esse ammettono calotte superficiali del 3 ° ordine in eomune.
U n a calotta s u p e r f i c i a l e del 3 ° ordine :
(13.1)
x 3 - - l~w~xr ~ v ~ v ~ x ~ ~ ~ [4]
= t ~ x ~ r -k" ~ r ~ x ~ r $ ~ "k- [4]
• i
a p p a r t i e n e alle due ealotte (12.1) s e :
(13.2)
i = + a b .
Dal seeondo g r u p p o delle p r e c e d e n t i relazioni si r i e a v a :
(13.3) a~r~ - - a ~ .
dire ehe il eono delle direzioni d' osculazione, spezza nella 2 - g i a e i t u r a a~ 8 - - 0 tangente alla Se cib a e c a d e vuol
(?plp, p. - aplp0 xp, p,x 3 si
calotta (13.1) ed in un cono del 2 ° ordine.
Si ha quindi :
Condiztone necessaria e sufficiente pervh~ d u e calotte t r i d i m e n s i o n a l i del 3 ° o r d i n e a v e n t i i n c o m u n e u n a calotta del 2 ° o r d i n e e oon 4--giacitura p r i n .
~ipale abbiano calotte superfieiali del 3 ° ordine, ~ , i n c o m u n e , ~ t h e i t cono F delle d i r e z i o n i d ' o s c u l a z i o n e r i s u t t i spezzato. Se eib avviene, detto ~: u n o dei p i a n i i n eui si spezza D, le due calotte date h a n n o i n c o m u n e c~ 7 calotte superfi~iali a~ tangenLi a ~.
G. "VACC,~RO : C o ~ t r i b u t i alt, a topologia differenziale delle coppie, eev. 117
14. Calotte t r i d i m e n s i e n a l i del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i ed a p p a r t e n e n t i ad una V , . - S u p p o n i a m o ora date in X , due calotte t r i d i m e n s i o n a l i ¢~ e
t 2
t a n g e n t i net loro eentro e o m u n e O. I n d i c h e r e m o con (z~)~,2 u n a siffatta eoppia di ealotte.
Con dimostrazione del tutto a n a l o g a a q u e l l a f a t t a nel n. 9 per il easo di u n a (a~)l, 2 si ha e h e :
C o n d i z i o n e n e c e s s a r i a e s u f f i c i e n t e a f f i n c h d i n X n d u e calorie t r i d i m e n s i o . n a l i del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i nel loro centro v o m u n e O, a p p a r t e n g a n o a d u n a V~ p e r c u i il p u n t o 0 s i a regolare, ~ ehe esse abbiano i n c o m u n e c~z ~ p e n n e l l i di d i m e n s i o n e I d i e l e m e n t i c u r v i l i n e i del 2 ° o r d i n e E2 le c u i d i r e z i o n i t a n . g e n t i f o r m i n o u n cono q u a d r i v o , e p e r e i a s e u n o E2 u n s i s t e m a di c ¢ 2 ] ~ .
In base a eib, b subito visto ehe le due calotte ¢~ e z tangenti ed appar.
t z
tenenti ad u n a V~, si possono r a p p r e s e n t a r e con le e q u a z i o n i :
(14.1)
= av, wzP'xp~ + %,~,,wxp,zw~ + [4]
z' = a~,p,a:p,xp. + ap,p,p.zp,zv,x~. + [4], i
dove al solito , ¢ = 1 per la ealotta a, a = 2 per la ealotta ~2, P~, P2, P3 = 1, 2, 3;
i = 1, 2, ..., n - 4 e [4] indiea t e r m i n i d ' o r d i n e > 3 in ~t, ~2, x~.
I1 zone di direzioni asintotiche eomuni alle due calotte b date d a : (14.2)
Chiamiamo direziorti d ' o s c u l a z i o n e le sei direzioni e o m u n i al cone (14.2) ed al c o n e :
(14.3)
AI teorema preeedente, ~ i m m e d i a t e che si pub sostituire il s e g u e n t e : C o n d i z i o n e n e c e s s a r i a e s u f f i c i e n l e perch~ i n X,~ d u e calotte t r i d i m e n s i o n a l i del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i a p p a r t e n g a n o a d u n a V4, ~ che esse abbiano i n c o m u n e sei d i r e z i o n i d ' o s c u l a z i o n e e p e r c i a s e u n a d i esse u n s i s t e m a d i c,c ~ E s .
S e i l cone delle direzioni asintotiche (14.2) non ~ degenere, esso si pub r a p p r e s e n t a r e con l ' e q u a z i o n e :
(14.4) A x ~ z ~ - - B ( ~ ) ~ = O,
con A " - ( a ~ 2 - al~), B " - ( a 3 ~ - a~:~), e cib porta che nella (4.2) sin:
(14.5) a ~ 1 - - a n ( - - a u ) ; a~2 ~- a~2('-- a2~) ; al, --- a~8( = ala) ; a23 --" a~a(-- a~s),
£ ~ 1 2 I 2 1 2
~( ° ,
118 G. ~ ' , u . ' ( ' , ~ R o : ( ~t~'~b~t~ ullu topoloqiu di.ff('renzi(~h~ ,lull¢~ ~.oppiu, u('('.
e q u i n d i p e r l e d u e calotte pub a s s u m e r s i la r a p p r e s e n t a z i o n e :
_ _ / 1 2 1 2 2 2 1 3 2 3 3 2 ~
(14.6) ~--al~,~ ~ + 2a~2~ x -ba~,(~ ) q - 2 a ~ x + 2a2~x x + a ~ ( ~ ) + % ~ , v , x V , x 2 x2 ,
m e n t r e p e r le z ~ r i m a n g o n o le e s p r e s s i o n i (14.1).
C o n s i d e r i a m o e r a d u e calotte s u p e r f i c i a l i del 3 ° ordine, ~s t a n g e n t i ad 2Y
u n o stesso p i a n o ed a p p a r t e n e n f i r i s p e t t i v a m e n t e a o e ~ e e e r e h i a m o la d i m e n s i o n e m i n i m a di u n a v a r i e t ~ ehe le e o n t e n g a .
Con u n a o p p o r ~ a n a s e e l t a delle v a r i a b i l i , le d u e e a l o t t e s u p e r f i e i a l i o~
possono r a p p r e s e n S a r s i con le e q u a z i o n i :
~
= ~ v ~ -[- v p ~ + (4)
(14.7) ~
- - p ~ m ~ -~~rsx~xr~v~ + [4]
z * = l~rx xr -k -F [4],
65
d o v e a, ~, y, 8 = 1 , 2 ; i = l , 2 , . . . , n - - 4 .
alla e a l o t t a (14.6) con io P e r l ' a p p a r t e n e n z a di u n a d e l l e p r e c e d e n t i a s
stesso i n d i e e a, d e v e e s s e r e :
(14.8)
" i " a i i
D a q u e s t e s e g u e i n t a n t o t h e le l~r n o n d i p e n d o n o d a l l ' i n d i c e a e pub
_ _ •
porsi l~r l ~ . ]~ poi e v i d e n t e e h e l a g i a e i t u r a p r i n e i p a l e delle d u e c a l o t t e
65
(14.7) ~ u n a 4 - g i a c i t u r a , eio~ le d u e e a l o t t e (1.7) a e a u s a delle (14.8) a p p a r . t e n g o n o a d u n a V~. E s a m i n i a m o sotto q u a l i c o n d i z i o n i esse a p p a r t e n g o n o a d u n a V 3. P e r e i b sia possibile (n. 8) esse d e b b o n o a v e r e d u e E2 in e o m u n e e p e r e i a s e u n o di essi u n s i s t e m a di ¢x) ~ E 3.
P o i c h ~ a e a u s a d e l l e (14.6) i~ solo a~2 ~ a ~ , i n t a n t o le d u e e a t o t t e (14.7), s e m p r e t e n e n d o p r e s e n t i le (14.8), h a n n o in c o m u n e d u e d i r e z i o n i a s i n t o t i e h e se t~1~ = IL~ e V22= ~ 2 . S o d d i s f a t t e q u e s t e eondizioni, u n s e m p l i e e calcolo
i 2 J 2
m o s t r a che le d u e calorie in e s a m e h a n n o d u e E2 in e o m u n e s e :
(14.9)
G. VA('C.tRO: Co~trit)~ti alla to'pologia ,li/]crc~ziale dcllc coppic, ecc. 119 R i a s s u m e n d o si ha q u i n d i :
Se d u e calotte t r i d i m e n s i o n a l i del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i o e o a p p a r t e n g o n o
i 2
a d u n a V~, u n a g e n e r i c a coppia d i oalotte s u p e r f i c i a l i del 3 ° o r d i n e t a n g e n t i ed a p p a r t e n e n t i r i s p e t t i v a m e n t e a a e ~ a p p a r t i e n e a d u n a V~.
F i s s a t a u n a 2 - g i a c i t u r a t a n g e n t e 7: ed u n a calotta superfioiale del 8 ° o r d i n e ~ c o t a n g e n t e a ~:, r i s u l t a n o d e t e r m i n a t e ~ calotte superfi~iali
~!I c o, tall che c i a s e u n a di esse con la ~ fissata a p p a r t e n g o n o a d u n a Va.
15. Calotte superfleiali del 3 ° o r d i n e eomuni a due e a l o t t e di una (a~)],..
a p p a r t e n e n t e ad . h a V ~ . - E s a m i n i a m o ora sotto quali eondizioni due ealotte tridimensionali di una (o~)~,2 a p p a r t e n e n t e ad una V~, possono a v e r e ealotte superfieiMi del 3 ° ordine in comune.
Nella memoria [6] he dimostrato ehe condizione necessaria e s u f f i e i e n t e perch4 due ealotte tridimensionali del 2 °~ ordine tangenti ed a p p a r t e n e n t i ad una V~ abbiano ealotte superfieiali del 2 ° ordine in eomune. ~ ehe il cone F delle direzioni asintotiehe Comuni alle due ealotte sia spezzato, e se eib avviene, detti 7:~ e 7~ i piani (distinti o eoineidenti) in eui si spezza r, le due calotte date hanno in comune i due (oppure uno) sistemi c~ ~ di calotte superfieiaii del 2 ° ordine r i s p e t t i v a m e n t e a 7:1 a ~:~.
S u p p o n i a m 0 quindi ehe il cone F delle direzioni asintotiehe eomuni alle due calorie (14.1) sia spezzato in d u e piani. Indicati, come ~ sempre possi- bile, tali due piani con ~c ~ = ~ - z i - - 0 e w ~ - - ~ = z ~ - ' 0 , si ha ehe oltre alle (I4.5) deve a v e r s i :
(15.1) as~ = aaa -
2
In queste ipotesi, una ealotta s u p e r f i e i a l e del 3 ° ordine tangente p e r e s .
alia 2 - g i a e i t u r a ~ -- ~ --- z i = O, del tipo :
(15.2)
~1 = ~W~z~ -b v ~ , $ ~ -{- [4]
= pCr~x~ + z~x~xrx~ + [4]
con ~, 7, 8 = 2, 3, a p p a r t i e n e c o n t e m p o r a n e a m e n t e alle con la condizione (15.1), se
(15.3) p~r = a~r ; ":~r~ -- a l , ~ r s -b a~r~
d u e ealotte (14.6),
(15.4) p~r = a~r; ":~,~ -- a l , ~ r ~ -b a ~ .
