Programma di TOPOLOGIA A.A. 2017-2018 Corso di Laurea in Matematica
A. Miranda
SPAZI TOPOLOGICI
Spazi topologici Topologia su un insieme. Aperti. Topologia naturale. Topologia di Sorgenfrey. Topologie delle semirette. Topologia cofinita. Confronto tra topologie. Basi. Chiusi. Chiusura e propriet`a. Interno e propriet`a. Intorni e propriet`a. Aderenza. Spazi metrici. Topologia indotta da una metrica.
Topologia indotta dalla metrica euclidea. Topologie metrizzabili. Basi lo- cali. Continuit`a puntuale. Continuit`a globale e caratterizzazioni. Continuit`a della composizione di applicazioni. Applicazioni aperte. Applicazioni chiuse.
Esempi. Omeomorfismi e caratterizzazioni. Classi di omeomorfismo degli intervalli di R. Omeomorfismo fra sfere e cubi euclidei. Omeomorfismo tra uno spazio euclideo ed un suo disco aperto. Omeomorfismo tra una corona circolare ed un cilindro. La proiezione stereografica.
Sottospazi Topologia relativa. Continuit`a dell’inclusione. Topologia naturale in- dotta.
Quozienti Topologia quoziente. Aperti saturi. Applicazioni quoziente. Teorema di rappresentazione. Esempi di applicazioni quoziente. La rappresentazione parametrica standard della circonferenza. La circonferenza `e il quoziente che si ottiene dal segmento [0, 1] identificando gli estremi. La rappresentazione parametrica standard del cilindro. Esempi di quozienti del quadrato chiuso:
il cilindro, il toro, il nastro di Moebius, il piano proiettivo reale. Riduzione di un chiuso ad un punto. Riduzione della circonferenza di bordo di un disco ad un punto. La sfera `e il quoziente che si ottiene dal disco chiuso mediante la riduzione ad un punto della circonferenza di bordo. Altri modelli topologici del piano proiettivo reale: modello di Klein, modello di Grassman, quoziente della sfera, quoziente della semisfera, quoziente del cerchio chiuso.
Prodotti Topologia prodotto. Continuit`a delle proiezioni. Continuit`a di una fun- zione a valori in un prodotto.
PROPRIETA’ TOPOLOGICHE
Propriet`a di separazione Propriet`a T0, T1, T2. Gerarchia. Spazi pseudometrici e propriet`a di separazione. Ereditariet`a, produttivit`a, delle propriet`a di sepa- razione. Comportamento di tali propriet`a nel passaggio al quoziente.
Propriet`a di numerabilit`a I e II assioma di numerabilit`a. Separabilit`a. Inter- dipendenze. Spazi metrici e propriet`a di numerabilit`a. Condizioni per la metrizzbilit`a.
Compattezza Caratterizzazioni. Sottospazi di spazi compatti. Compattezza e pro- priet`a di separazione. Compattezza e continuit`a. Quozienti di spazi compatti.
Il Teorema di Weierstrass. Il Teorema di Heine. Prodotti di spazi compatti. Il Teorema di Tychonoff. Compattezza negli spazi euclidei. Teorema di Heine- Pincherle-Borel.
Connessione Caratterizzazioni. Criteri di connessione. Sottospazi di spazi con- nessi. Connessione e continuit`a. Quozienti di spazi connessi. Prodotti di spazi connessi. Componenti connesse. Cammini. Prodotto di cammini. Con- nessione per cammini. Il seno del topologo. Caratterizzazione dei connessi dell’asse reale. Connessione negli spazi euclidei. Convessit`a. Convessit`a rispetto ad un punto. Connessione per poligonali. Equivalenza della connes- sione per poligonali, della connessione per cammini e della connessione in un aperto di uno spazio euclideo. Teorema degli zeri. Teorema del punto fisso di Brower.
GRUPPO FONDAMENTALE
Omotopia Omotopia tra funzioni. Propriet`a. Funzioni nullomotopiche. Funzioni a valori in una superficie sferica. Equivalenze omotopiche. Tipo di omo- topia di uno spazio topologico. Omotopia di funzioni relativamente ad un sottoinsieme. Omotopia di cammini. Lacci. Gruppo fondamentale in un punto. Gruppo fondamentale di uno spazio connesso per cammini. Gruppo fondamentale e continuit`a. Invarianza omotopica del gruppo fondamentale.
Retrazioni e retrazioni per deformazione. La circonferenza come retratto per deformazione delpiano Eucldeo privato di un punto, del cilindro, della corona circolare, del nastro di Moebius, di R2 − {0}. La figura otto come retratto per deformazioneR2− {P1, P2}.
Determinazione del gruppo fondamentale Determinazione del gruppo fondamentale della circonferenza. Lacci fondamentali e loro sollevamenti. Sollevamenti di lacci e di omotopie. Applicazione grado. Inva-rianza del grado per omo- topia. Isomorfismo tra il gruppo fondamentale della circonferenza e il gruppo additivo degli interi relativi.
Spazi semplicemente connessi. Indicazioni sul calcolo del gruppo fondamen- tale della sfera Sn con n ≥ 2. Ogni superficie compatta semplicemente con- nessa (n = 2) ´e omeomorfa a S2. I Teoremi di classificazione delle superfici connesse compatte mediante il gruppo fondamentale (enunciato). 3-variet´a compatte semplicemente connesse: la congettura di Poincar´e (n = 3).
TESTI CONSIGLIATI
• V. Checcucci, A. Tognoli, E. Vesentini, Lezioni di Topologia Generale, Ed. Zanichelli 1976.
• C. Kosniowski, Introduzione alla topologia algebrica, Ed. Zanichelli.
• M.Manetti, Topololgia, Ed. Springer-Verlag.
• W.S.Massey, Algebraic Topology: An Introduction , Ed. Springer-Verlag.
• G. Tallini, Strutture Geometriche, Ed. Liguori.
• S. Willard, General Topology , Ed. Dover 2004.
