CAPITOLO 2
GEOMETRIA E SIGNAL MODELLING
Geometria del problema
Andiamo adesso ad analizzare il problema dal punto di vista geometrico e analitico.
Fig. 2.1 – Bersaglio soggetto a moto traslatorio e rotatorio osservato dal radar
Un corpo rigido è un oggetto di grandezza finita e senza nessuna deformazione (la distanza tra due generici punti del corpo non varia mai durante tutto il moto dell’oggetto stesso). In generale il moto di un corpo rigido è il risultato della combinazione di una traslazione (movimento parallelo di tutti i punti che costituiscono l’oggetto) e una rotazione
(movimento circolare dei punti dell’oggetto rispetto ad un’asse di rotazione). Per descrivere il moto di questo corpo di solito si usano due sistemi di riferimento cartesiani, uno fissato sul radar e uno solidale all’oggetto. Con riferimento alla figura 2.1, se consideriamo un generico punto P del corpo rigido la sua posizione nei confronti del sistema di riferimento solidale al radar (posizionato nel punto Q) è , dove è la distanza tra radar e centro di massa (distanza in figura) e è la distanza tra centro di massa e il punto considerato (distanza in figura). Il vettore velocità complessivo relativo sia al moto di traslazione che di rotazione è la derivata temporale della posizione del punto P:
(2.1)
è il vettore della velocità del moto traslatorio mentre è il vettore della velocità di rotazione.
Abbiamo utilizzato un radar ad onda continua (CW, continuos wave). Il segnale trasmesso è quindi di questo tipo ( è la frequenza dell’onda)
(2.2)
Supponiamo che l’ampiezza dell’onda sia unitaria e che la fase iniziale sia trascurabile, per semplicità di notazione. Il segnale d’interesse ricevuto, escluso il rumore, sarà dello stesso tipo affetto da un ritardo temporale pari a , dove è la posizione, al variare del tempo, del generico punto P del target rispetto al sistema di riferimento del radar , e quindi
= (2.3)
Dopo un’opportuna demodulazione, a noi interessa la fase istantanea del segnale in banda base
(2.4)
Facendo la derivata della fase otteniamo la frequenza istantanea del segnale
Riprendendo l’equazione 2.1 l’espressione della frequenza istantanea diventa la seguente:
(2.5)
e in particolare la frequenza doppler di nostro interesse è la seguente: (2.6)
dove è la LOS (Line Of Sight) del radar. Il radar misura l’ampiezza della frequenza istantanea al variare del tempo che dipenderà dal valore della velocità di rotazione (il suo modulo, che dovrà essere stimato attraverso un’opportuna analisi), la distanza centro di rotazione – scatteratore (che equivale alla dimensione del target da stimare) e anche dall’angolo tra i vettori velocità di rotazione e LOS: in particolare, se i due vettori sono ortogonali il radar riuscirà a vedere tutto il movimento circolare dell’oggetto e quindi l’ampiezza della frequenza istantanea sarà la massima possibile; mentre se i due vettori sono paralleli il radar non vedrà la rotazione del target e l’ampiezza della sarà pressoché nulla. Quindi, indicando con la distanza dello scatteratore più estremo dell’oggetto dal suo centro di rotazione, il modulo della velocità di rotazione e la lunghezza d’onda usata in trasmissione, il valore della frequenza doppler relativa a quel punto è la seguente
(2.7)
Il valore di , come detto, è misurato direttamente dal radar; le incognite sono: , e che è l’angolo tra i vettori e .
Short- time Fourier Transform
Adesso vediamo come può il radar andare a misurare la frequenza istantanea. Come è noto, dato un segnale nel dominio del tempo è possibile valutare il suo contenuto spettrale nel dominio della frequenza tramite la Trasformata di Fourier; in particolare se il segnale è a tempo continuo la sua trasformata sarà
(2.8)
( è lo spettro di ampiezza e è lo spettro di fase). Grazie a questo operatore matematico è possibile andare a trovare quali sono le frequenze caratteristiche di tutto il segnale. Purtroppo questo non è sufficiente per risolvere il nostro problema, ovvero andare a vedere come varia la frequenza nel tempo: infatti la semplice TF (Trasformata di Fourier) è utile per l’analisi frequenziale di quei segnali il cui contenuto spettrale rimane costante. Ma il segnale ricevuto dal nostro radar è non stazionario ed è quindi necessario trovare un altro modo per rappresentarlo in un dominio che non sia strettamente temporale o frequenziale, ma tempo-frequenziale. Ci vengono in nostro aiuto per questo le cosiddette Trasformate Tempo-Frequenza, che possono essere lineari o anche non lineari; noi ci concentreremo su una trasformata lineare in particolare, molto usata in ambito di signal processing: la STFT (Short-Time Fourier Transform) [3]. Dato il solito segnale a tempo continuo , la sua STFT è definita come segue
(2.9)
è una finestra temporale che ha la funzione di limitare (troncare) la durata del segnale di partenza , infatti la STFT altro non è che una TF locale (non globale) di un segnale: indicando con , possiamo scrivere
Come indica l’equazione 2.10, questo operatore divide il segnale in tanti suoi segmenti di durata più breve (attraverso lo scorrimento della finestra temporale) e di ognuno di essi ne calcola la Trasformata di Fourier; in questo modo si mettono in evidenza le caratteristiche frequenziali dei singoli pezzi del segnale che, messe insieme, definiscono come varia la frequenza complessiva di tutto il segnale al variare del tempo.
Fig. 2.2 – Localizzazione del segnale nel calcolo della STFT
Come esempio possiamo andare a vedere la STFT di un segnale chirp cosi definito
(2.11)
La sua frequenza istantanea è la seguente (la derivata temporale della fase del segnale)
Questo chirp è di tipo lineare perché la frequenza varia appunto linearmente nel tempo (è una retta) e la costante indica la deviazione di frequenza rispetto alla frequenza portante . In questo esempio il segnale ha una durata di 2 secondi e la sua frequenza passa da 0 a 300 Hz.
Fig. 2.4 – Short Time Fourier Transform del segnale chirp lineare
Un aspetto importante della STFT è la finestra temporale che come detto limita la durata del segnale nel calcolo della Trasformata di Fourier. La più semplice da usare è sicuramente quella rettangolare, ma questa forma altera significativamente lo spettro del segnale: infatti, poiché il segnale è moltiplicato nel tempo per la finestra rettangolare, per la proprietà della TF, in frequenza avremo la convoluzione dello spettro del segnale con quello proprio della finestra rettangolare. Le rapide transizioni di questa finestra producono forti ondulazioni nel suo spettro che a causa della convoluzione si sovrappongono allo spettro originario [4]. Si possono usare allora, per rimediare a questo inconveniente, delle finestre con dei contorni smussati e con uno spettro meno oscillante; esistono numerose tipologie di finestre, ognuna delle quali presenta sue specifiche caratteristiche, e tra cui si può scegliere in rapporto alla specifica applicazione. In figura 2.5 ne sono rappresentate alcune tra le più usate evidenziando sia l’andamento nel tempo (grafico blu) e sia il relativo spettro, in scala lineare e logaritmica (grafici rossi); andando in ordine abbiamo: la finestra rettangolare (prima riga), triangolare (seconda riga), finestra di Hanning (terza riga), finestra di Hamming (quarta riga) e infine quella di Blackman (quinta riga).
Fig. 2.5 – Esempi di finestre temporali usate nel calcolo della STFT
Come si vede in figura con la finestra rettangolare è più facile discriminare frequenze tra loro vicine rispetto alle altre tipologie di finestra perché il lobo principale risulta essere più stretto; tuttavia i lobi secondari sono più alti e questo è un problema quando si vanno appunto a sovrapporre tra di loro. Un altro aspetto molto importante è l’effetto che ha la durata della finestra temporale sulla STFT: come detto, questa fornisce lo spettro del segnale alterato dalla presenza della finestra; potrebbe non essere più possibile distinguere due componenti di frequenza vicine tra loro.
Fig. 2.6 – In alto,2 sinusoidi a frequenza 7 Hz (blu) e 10 Hz (rossa) In basso, il segnale risultante dalla loro somma
La figura 2.6 mostra come esempio due segnali sinusoidali a frequenza diversa ma vicine fra loro; applicando la STFT al segnale somma si dovrebbe ottenere due righe parallele all’asse dei tempi, una centrata a 7 Hz e l’altra a 10 Hz. Questo però non avviene perché la STFT non offre una risoluzione in frequenza tale da distinguere due armoniche molto vicine se non diminuendo in modo eccessivo la risoluzione temporale, rendendo praticamente inutile l’utilizzo di tale tecnica [5]. In figura 2.7 è mostrato infatti che la STFT produce in questo caso una riga unica tra le frequenze 7 e 10 Hz, non discriminandole.
Fig. 2.7 – STFT del segnale somma delle due sinusoidi
Se si vuole migliorare la risoluzione in frequenza, ovvero ridurre l’effetto di “mescolamento di armoniche” dovuto allo spettro della finestra temporale occorre aumentare la sua durata nel tempo, ma questo implica una diminuzione della capacità di localizzazione proprio nel dominio del tempo. Quindi scegliere la durata della finestra vuol dire fissare le quantità e (capacità di localizzazione nel tempo e nelle frequenze, rispettivamente): diminuendo la durata della finestra decresce (migliore risoluzione temporale) e cresce (peggiore risoluzione frequenziale), viceversa il contrario. Sussiste quindi una sorta di principio di indeterminazione: è impossibile ottenere da una sola finestra una buona risoluzione nel dominio del tempo e contemporaneamente nel dominio della frequenza per un generico segnale. Un altro esempio che dimostra questa indeterminazione è il seguente: prendiamo un segnale sinusoidale la cui frequenza aumenta nel tempo ma non necessariamente in modo lineare; in particolare questa oscillazione contiene 4 frequenze distinte (fig. 2.8). Applichiamo la tecnica STFT a questo segnale considerando prima una finestra temporale breve e successivamente una più lunga: è facile vedere una buona risoluzione nel tempo a discapito di quella in frequenza nel primo caso (gli intervalli di tempo caratteristici delle 4 frequenze sono ben
distinti tra loro, fig. 2.9) e al contrario una ottima risoluzione in frequenza e non nel tempo nel secondo caso (sono facilmente distinguibili le singole frequenze ma i rispettivi intervalli di tempo si sovrappongono tra loro, fig. 2.10).
Fig. 2.8 – Sinusoide composta da 4 frequenze diverse in altrettanti intervalli di tempo
Fig. 2.10 – STFT della sinusoide con finestra temporale lunga
Trasformate tempo-frequenza bilineari
Oltre alla STFT esistono anche altri tipi di distribuzioni tempo-frequenza, le cosiddette trasformate della classe di Cohen o trasformate bilineari (quadratiche). Sono distribuzioni che offrono maggiore risoluzione nel dominio tempo-frequenza rispetto alla semplice STFT ma, proprio perché non sono operatori lineari ma di ordine superiore, soffrono della contaminazioni di cross-termini quando devono analizzare segnali che presentano più componenti frequenziali [6]. Esistono comunque trasformate bilineari che attraverso un’opportuna scelta di finestre sia nel dominio del tempo che in quello della frequenza riescono a ridurre fortemente il disturbo di questi cross-termini a discapito però della risoluzione.
La definizione matematica di queste trasformate è la seguente:
dove è la funzione di ambiguità e è il kernel (nucleo) della trasformata. Un’altra rappresentazione matematica delle distribuzioni quadratiche è la seguente:
(2.14)
ovvero un prodotto di convoluzione tra la trasformata di Wigner-Ville (la più semplice delle distribuzioni quadratiche) e un altro tipo di nucleo definito nel dominio tempo-frequenza. La relazione tra i due nuclei che compaiono nelle equazioni 2.13 e 2.14 è una doppia trasformata di Fourier, nel dominio del tempo e della frequenza
(2.15)
Per un segnale non stazionario la funzione di autocorrelazione sarà dipendente dal tempo ed assume la seguente forma
la distribuzione di Wigner-Ville non è altro che la trasformata di Fourier rispetto alla variabile τ dell’autocorrelazione
(2.16)
Se a partire dall’autocorrelazione del segnale si fa la trasformata di Fourier rispetto a invece che rispetto a τ si ottiene la funzione di ambiguità
La seguente figura illustra le relazioni tra la distribuzione di Wigner-Ville, la funzione di autocorrelazione e la funzione di ambiguità.
Fig. 2.11 – Relazioni tra trasformata W-V, autocorrelazione e funzione di ambiguità.
Considerando la trasformata Wigner-Ville, il suo kernel è unitario nel dominio della funzione di ambiguità: . Se si utilizza una versione differente del kernel è possibile eliminare i cross-termini della distribuzione di Wigner. La seguente figura mostra come si distribuiscono gli auto-termini (componente utile) e i cross-termini di un segnale multi frequenziale sia nel dominio tempo-frequenza che in quello della funzione di ambiguità.
Fig. 2.12 – Auto-termini e cross-termini nel dominio e in quello
Come si vede nella parte sinistra della figura 2.12 gli auto-termini si distribuiscono intorno all’origine del piano mentre i cross-termini tendono a stare più lontani. Di conseguenza se si utilizza un filtro passa-basso in questo dominio è possibile eliminare del tutto questi elementi interferenti come è illustrato in figura 2.13.
Per realizzare questo è opportuno scegliere un kernel nel dominio che si comporti appunto da filtro passa-basso per la funzione di ambiguità. E’ possibile ottenere altri tipi di distribuzioni bilineari a partire da quella di Wigner-Ville (equazione 2.16); di seguito sono riportate le trasformate Pseudo Wigner-Ville e Smoothed Pseudo Wigner-Ville con i relativi kernel nel dominio tempo-frequenza [7].
Pseudo Wigner-Ville
dove è un’opportuna finestra nel dominio temporale. Smoothed Pseudo Wigner-Ville
dove è la trasformata di Fourier della finestra .
Nella Pseudo Wigner-Ville la finestra temporale ha il ruolo di “levigare” lungo l’asse delle frequenze, in questo modo si eliminano le interferenze proprio in questo dominio. Per realizzare la stessa cosa anche lungo l’asse del tempo è necessario implementare una convoluzione temporale con una funzione passa-basso .
