2. Esercizi di Geometria 2

2. Esercizi di Geometria 2

(Semestre Estivo 2018)

Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. Siano date le rette di R³

r₁ : x = z = 0, r₂ : x = y = 0, r₃ : x = y = 1.

(1) Provare che la circonferenza γ :

(x² + y² = 1 z = 0,

`e un retratto per deformazione di R³r r1.

(2) Determinare un sottospazio di R² omotopicamente equivalente a R³ r {r2∪ r3}.

(3) Determinare un sottospazio di R² omotopicamente equivalente a R³ r {r₁∪ r₂}.

Esercizio 2. Dimostrare che

A = {(x, y) ∈ R²|y ≥ x²} e

B = {(x, y) ∈ R²|y ≤ x²} sono semplicemente connessi.

Esercizio 3. Provare che il toro T privato di un punto p `e omotopicamente equivalente a S<sup>1</sup>∪ S<sup>1</sup> (si provi che esiste un meridiano C<sub>1</sub> ed un parallelo C<sub>2</sub> tale che C<sub>1</sub>∪ C<sub>2</sub> `e un retratto forte di deformazione di T r {p})

Esercizio 4. Provare che il nastro di M¨obius M privato di un punto p `e omoto- picamente equivalente a S¹∪ S¹.

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