2. Esercizi di Geometria 2
(Semestre Estivo 2019)
Prof. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego
Esercizio 1. Siano X e Y due spazi topologici connessi per archi, x0 ∈ X e y0 ∈ Y dimostrare che
π1 X × Y, (x0, y0)= π∼ 1(X, x0) × π1(Y, y0).
Esercizio 2. Dimostrare che il complementare di un insieme finito in Rn`e sem- plicemente connesso per n ≥ 3.
Esercizio 3. Siano f, g : X −→ Y due applicazioni continue. Dimostrare che se f e g sono omotope, allora vale π0(f ) = π0(g) : π0(X) −→ π0(Y ). In particolare se f : X −→ Y `e un’equivalenza omotopica, allora π0(f ) `e bigettiva.
Esercizio 4. Siano date le rette di R3
r1 : x = z = 0, r2 : x = y = 0, r3 : x = y = 1.
(1) Provare che la circonferenza γ :
(x2 + y2 = 1 z = 0,
`e un retratto per deformazione di R3r r1.
(2) Determinare un sottospazio di R2 omotopicamente equivalente a R3 r {r2∪ r3}.
(3) Determinare un sottospazio di R2 omotopicamente equivalente a R3 r {r1∪ r2}.
Esercizio 5. Provare che il toro T privato di un punto p `e omotopicamente equivalente a S1∪ S1 (si provi che esiste un meridiano C1 ed un parallelo C2 tale che C1∪ C2 `e un retratto di deformazione di T r {p})
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