Geometria 2

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ROBERTO VACCA - BRUNO ARTUSO - CLAUDIA BEZZI

Geometria 2

Edizione

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2011 2012 2013 2014 2015 Direzione Editoriale: Roberto Invernici

Coordinamento Editoriale: Progetti di Editoria s.r.l.

Redazione: Domenico Gesmundo, Mario Scalvini Progetto grafico: Ufficio Tecnico Atlas

Fotocomposizione, impaginazione e disegni: GIERRE, Bergamo Copertina: Vavassori & Vavassori

Illustrazioni: Bruno Dolif Stampa: Vincenzo Bona - Torino

Con la collaborazione della Redazione e dei Consulenti dell'I.I.E.A.

L'editore si impegna a mantenere invariato il contenuto di questo volume, secondo le norme vigenti.

Si ringraziano le prof.sse Barbara Vanzani ed Elisabetta Zampiceni per la collaborazione editoriale.

Il materiale illustrativo proviene dall'archivio iconografico Atlas.

L'editore eÁ a disposizione degli aventi diritto non potuti reperire.

Ilpresente volume eÁ conforme alle disposizioni ministeriali in merito alle caratteristiche tecniche e tecnologiche dei libri di testo.

Ogni riproduzione delpresente volume eÁ vietata.

Le fotocopie per uso personale del lettore possono essere effettuate nei limiti del 15% di ciascun volume die- tro pagamento alla SIAE del compenso previsto dall'art. 68, commi 4 e 5, della legge 22 aprile 1941 n. 633.

Le riproduzioni effettuate per finalitaÁ di carattere professionale, economico o commerciale o comunque per uso diverso da quello personale possono essere effettuate a seguito di specifica autorizzazione rilasciata da AIDRO, Corso di Porta Romana n. 108, Milano 20122, e-mail segreteria@aidro.org e sito web www.aidro.org Il peso di questo volume rientra nei limiti suggeriti dall'Associazione Italiana Editori.

Q 2011 by ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS

24123 Bergamo - Via Crescenzi, 88 - Tel. (035) 249711 - Fax (035) 216047 - www.edatlas.it

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Matematica per obiettivi e competenze

Questo nuovo corso di matematica eÁ un libro misto che nasce da una pluriennale esperienza nella scuola, sia sotto il profilo dell'insegnamento che sotto quello della ricerca e dell'aggiornamento. Esso accoglie tutte le esigenze didattiche ed editoriali che il nuovo scenario della Scuola italiana esige dall'insegnamento della matematica, che ha assunto oggi ampie finalitaÁ educative e costituisce un momento importante nella forma- zione di ogni ragazzo.

La scuola dell'autonomia e l a didattica per competenze valorizzano sempre di piuÁ il ruolo culturale e for- mativo della matematica, ponendola al centro del curriculum dello studente.

Oggi e nelfuturo prossimo, infatti, la societaÁ avraÁ sempre piuÁ bisogno di cittadini che siano "competenti" sot- to ilprofilo matematico in termini di capacitaÁ di matematizzare, per affrontare in modo consapevole una so- cietaÁ molto complessa e in rapido cambiamento. L'informazione disponibile, soprattutto in questi ultimi anni, eÁ cresciuta in maniera esponenziale e i cittadini devono essere in grado di decidere come affrontare queste informazioni.

In tale contesto, secondo le indicazioni ministeriali e le attese generali, un corso di matematica deve avere alcune caratteristiche indispensabili:

l

stimolare la comprensione e per questo deve essere scritto in un linguaggio chiaro, accattivante e soprat- tutto comprensibile per uno studente di etaÁ tra gli 11 - 14 anni;

l

far capire percheÂ le competenze matematiche sono indispensabili nell'affrontare e risolvere problemi del mondo reale;

l

essere ricco di esempi, dai piuÁ semplici, che servono per imparare le formule e i concetti, a quelli piuÁ com- plessi, nei quali le formule e i concetti "si applicano" a problemi reali;

l

proporre un abbondante repertorio di esercizi, opportunamente graduati e non banali, che stimolino il ra- gionamento e la riflessione;

l

utilizzare gli strumenti che la tecnologia informatica mette a disposizione della didattica: le risorse on line e l a Lavagna Interattiva Multimediale;

l

mettere in grado lo studente di auto valutare la propria preparazione, di capire gli errori che commette, in modo da renderlo consapevole delle proprie abilitaÁ e conoscenze.

Struttura dell'opera

In tale prospettiva, il corso Matematica per obiettivi e competenze eÁ un progetto didattico che favorisce le esigenze legate alla programmazione del Docente, soprattutto alla luce delle nuove disposizioni sulla certi- ficazione delle competenze. Ilcorso tiene inoltre conto delpeso e deltetto di spesa, secondo le norme vi- genti. Si compone di due volumi di Aritmetica, tre di Geometria, uno di Algebra e un volume di Informatica.

Ai testi delprimo anno eÁ allegato il volume relativo alle prove Invalsi che contiene 19 prove, divise per anno di corso, che possono essere svolte a fine anno oppure all'inizio dell'anno successivo come test d'ingresso. A queste si aggiungono i testi assegnati come prova d'esame a partire dall'anno scolastico 2007/2008.

Ogni volume si articola in piuÁ aree ognuna delle quali eÁ suddivisa in capitoli. In ogni area sono espressamen- te dichiarate le Competenze che ciascun alunno deve padroneggiare per affrontare in modo consapevole situazioni reali che a quest'etaÁ possono incontrare sia nella loro vita di studenti, sia al di fuori dell'ambito scolastico; i capitoli si aprono con la formulazione dei Prerequisiti necessari per analizzare consapevolmen-

P resentazione

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te e con successo gli argomenti contenuti e gli Obiettivi che si vogliono raggiungere, suddivisi in Conoscen- ze e AbilitaÁ.

Ogni capitolo si apre con la rubrica "PercheÂ studiare..." che, attraverso aneddoti e informazioni tratti dalla realtaÁ di tutti i giorni, ha lo scopo di trovare un collegamento tra i contenuti del capitolo e l'esperienza per- sonale degli alunni. EÁ in questo contesto che si colloca la rubrica Matematica e realtaÁ, che mira a visualiz- zare come il linguaggio e i concetti della matematica si trovano nella realtaÁ che ci circonda: sono, come diceva Galileo "la lingua dell'universo e del reale". La parte di teoria di ogni capitolo si chiude con la pre- senza di una scheda di ripasso che riprende i "Concetti chiave" studiati.

Contenuti e impostazione didattica

Nella trattazione teorica si evidenzia la presenza di numerosi Esempi svolti ed esercizi di Controllo imme- diato che, inseriti al termine di ogni paragrafo, sono volutamente di facile comprensione e soluzione. Il Do- cente puoÁ presentarli agli alunni subito dopo la spiegazione per l'accertamento delle conoscenze man mano acquisite.

Ogni capitolo eÁ corredato da un vastissimo repertorio di esercizi suddivisi in relazione alla scansione dei paragrafi della teoria e, per ciascun paragrafo, in due ulteriori categorie:

l

Esercizi di Comprensione della teoria, spesso in forma di test a risposta multipla, di domande a risposta chiusa o di frasi di completamento: servono per verificare le conoscenze teoriche senza le quali non eÁ possibile applicare i concetti studiati.

l

Esercizi di Applicazione, inseriti dopo quelli di comprensione, sotto forma di esercizi e problemi da svol- gere: mirano a sviluppare le capacitaÁ logiche-deduttive, ad acquisire nuove abilitaÁ di calcolo e ad appli- care le procedure piuÁ adatte a risolvere un problema. Sono esercizi che normalmente vengono svolti a casa come studio individuale.

Gli esercizi sono stati suddivisi in tre livelli di difficoltaÁ (ben riconoscibili dalla grafica) e comunque gra- duati all'interno di ciascun livello.

Allo scopo di facilitare il processo di apprendimento sono presenti numerosi Esercizi guida, che permet- tono agli alunni di acquisire le principali tecniche risolutive e sono finalizzati alla comprensione e alla risoluzione delle diverse problematiche presenti.

All'interno di questa sezione, per ciascun capitolo, eÁ sempre stato inserito un esercizio di Matematica ap- plicata alle scienze, che mira a favorire i processi di matematizzazione della realtaÁ che ci circonda.

Ogni capitolo si conclude con la proposta di una serie di:

l

Esercizi sulle Competenze di base: sono esercizi che tendono a verificare le competenze di riproduzione (secondo la terminologia OCSE-PISA), che prevedono l'esecuzione di procedure di routine, l'applicazione di algoritmi standard e di abilitaÁ di calcolo e la manipolazione di espressioni e formule.

l

Test Invalsi: sono esercizi selezionati dalle prove Invalsi somministrate negli anni precedenti all'anno sco- lastico 2007/2008. Possono essere utilizzati per verificare il livello di preparazione raggiunto dagli alunni in vista della prova Invalsi di fine ciclo della scuola secondaria di primo grado che sta assumendo sempre piuÁ importanza ai fini della valutazione finale.

l

Esercizi di Autovalutazione suddivisi in due livelli: Verifica delle conoscenze e Verifica delle abilitaÁ. Tali esercizi possono essere utilizzati dallo studente per testare il proprio livello di apprendimento e diventano un valido strumento per la preparazione delle prove di verifica.

l

AttivitaÁ di Recupero, sono esercizi che servono per puntualizzare e chiarire le nozioni minime di base che devono essere possedute da tutti gli alunni, anche quelli che presentano maggiori difficoltaÁ nell'apprendi- mento dei contenuti. A conclusione dell'attivitaÁ di recupero eÁ poi presente una scheda di Valutazione del recupero per l'accertamento delle conoscenze e delle abilitaÁ.

l

AttivitaÁ di Consolidamento, sono esercizi volti a consolidare le conoscenze in precedenza acquisite e, suddivisi per livello di difficoltaÁ, rappresentano un utile banco di prova per verificare la propria prepara- zione.

l

AttivitaÁ di Potenziamento, sono esercizi destinati agli studenti piuÁ capaci che vogliono mettersi alla prova con esercizi piuÁ complessi e con proposte piuÁ creative.

Q I^STITUTOI^TALIANOE^DIZIONIA^TLAS PRESENTAZIONE

3

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l

Gare di matematica, sono esercizi assegnati nelle varie competizioni nazionali ed internazionali di mate- matica e, suddivisi in relazione alle scansioni dei contenuti dei testi, rappresentano un valido strumento per la valorizzazione delle eccellenze.

Al termine di ogni area sono stati inseriti esercizi proposti nei testi di valutazione elaborati dall'OCSE (Orga- nizzazione per la cooperazione e lo sviluppo economico) all'interno del progetto PISA (Programme for In- ternational Student Assessment), che intende valutare il livello di competenze matematiche in piuÁ di 60 Na- zioni. Gli esercizi proposti richiedono la capacitaÁ dello studente di pianificare strategie di soluzione e di ap- plicarle in ambiti matematici piuÁ complessi e meno familiari.

Tali esercizi possono essere un valido aiuto per la verifica delle competenze di Connessione e di Riflessione.

Ogni area si chiude con la rubrica Math in English con esercizi di matematica in lingua inglese.

Informatica per la matematica

Alla luce delle moderne tecniche d'insegnamento, un corso di matematica non puoÁ fare a meno della pre- senza parallela, teorica ed applicativa dell'informatica.

Per questo il corso si completa con un volume di informatica che tratta in modo completo ed articolato soft- ware quali Geogebra ed EXCEL, che applicati ai capitoli di geometria e aritmetica, portano progressivamente gli alunni ad integrare e completare i processi di apprendimento. All'interno delle esercitazioni con Excel eÁ inoltre prevista una parte dedicata al linguaggio di programmazione Visual Basic, che consente di creare semplici procedure software ed algoritmi di calcolo, dalla fase di scrittura del testo sorgente (editing) fino all'esecuzione del programma.

Un'opera mista: Matematica on line e libro LIM

In piena aderenza con le disposizioni ministeriali, Matematica per obiettivi e competenze eÁ un'opera mista in quanto propone partendo dal sito www.edatlas.it molti materiali on line ad integrazione e completamento dei volumi a stampa. In particolare, per ogni capitolo sono disponibili in rete:

l

ulteriori esercizi suddivisi per conoscenze e abilitaÁ; questi ultimi sono a loro volta suddivisi per livello di difficoltaÁ;

l

verifica interattiva dei contenuti per ciascun capitolo;

l

ulteriori schede storiche sui principali protagonisti della storia della Matematica e su alcuni temi affasci- nanti e interessanti. Non mancheranno, inoltre, curiositaÁ e aneddoti che servono a rendere piuÁ accattivan- te l'approccio al sapere matematico;

l

simulazione di altre prove Invalsi per ilterzo anno;

l

esercitazioni di Informatica con Cabri GeÂomeÁtre.

Tutti questi materiali on line saranno via via aggiornati e potenziati in modo continuativo.

Oltre ai materiali on line eÁ disponibile la versione sfogliabile con la Lavagna Interattiva Multimediale dei volumi base, con le funzioni di ingrandimento di figure e definizioni, di scrittura e cancellazione.

Per il Docente sono disponibili anche le animazioni in Power Point che illustrano le principali definizioni, proprietaÁ e regole, percheÂ il Docente le possa utilizzare durante le lezioni.

I testi dei Giochi Matematici che compaiono alla fine di ogni capitolo sotto la rubrica "Gare di Matema- tica" sono stati gentilmente forniti dal Centro Pristem-Eleusi dell'UniversitaÁ Bocconi di Milano e si riferi- scono alle competizioni matematiche organizzate dallo stesso Centro.

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AREA 1: L'equivalenza delle figure

1. L'area delle figure piane

1. L'equivalenza delle figure piane 10

1.1 Figure equicomposte 11

å Approfondimenti

Un altro modo per verificare l'equivalenza 12

2. L'area delrettangolo 13

3. L'area delquadrato 14

4. L'area del parallelogrammo 15

5. L'area deltriangolo 16

5.1 La formula di Erone 17

6. L'area delrombo e deldeltoide 19

7. L'area deltrapezio 21

8. L'area di un poligono circoscritto

ad una circonferenza 22

8.1 L'area di un poligono regolare 23 8.2 L'area di un poligono regolare

e i numeri fissi 24

9. L'area di un poligono irregolare 25 å Approfondimenti

L'area di una figura a contorno curvilineo 27

å Concetti Chiave 29

Esercizi 30

Esercizi sulle competenze di base 74

Esercizi INVALSI 76

Verifica delle conoscenze 78

Verifica delle abilitaÁ 79

AttivitaÁdi recupero 80

Scheda di valutazione del recupero 83

AttivitaÁdi consolidamento 84

AttivitaÁdi potenziamento 87

Gare di matematica 90

2. Il teorema di Pitagora

1. Ilteorema di Pitagora 94

2. Ilteorema di Pitagora nei poligoni 96 3. Ilteorema di Pitagora e la circonferenza 102 å Matematica e storia

Le terne pitagoriche 104

å Concetti Chiave 107

Esercizi 108

Esercizi sulle competenze di base 137

Esercizi INVALSI 139

Verifica delle conoscenze 141

Verifica delle abilitaÁ 142

AttivitaÁdi recupero 143

Scheda di valutazione del recupero 146

AttivitaÁdi consolidamento 147

AttivitaÁdi potenziamento 149

Gare di matematica 150

ESERCIZI OCSE PISA - AREA 1

Competenze di livello avanzato

152

Math in English

154

Materiali on line

Esercizi di conoscenza Esercizi di abilitaÁ Verifica interattiva

Scheda di approfondimento Prove Invalsi

Materiali on line

Esercizi di conoscenza Esercizi di abilitaÁ Verifica interattiva

Scheda di approfondimento

Materiali on line

Laboratorio: attivitaÁ sulle competenze

Q I^STITUTOI^TALIANOE^DIZIONIA^TLAS INDICE

5 I ndice generale

(7)

AREA 2: Trasformazioni geometriche

1. Le trasformazioni isometriche

1. Congruenza diretta e inversa 158

2. La traslazione 159

å Approfondimenti

La composizione di traslazioni 160

3. La rotazione 161

å Approfondimenti

La composizione di rotazioni concentriche 162

4. La simmetria assiale 163

5. La simmetria centrale 164

å Approfondimenti

La composizione di simmetrie assiali 165

6. La simmetria e i poligoni 167

å Matematica e arte

Le trasformazioni isometriche nell'arte 169

å Concetti Chiave 170

Esercizi 171

Esercizi sulle competenze di base 194

Esercizi INVALSI 197

Verifica delle conoscenze 199

Verifica delle abilitaÁ 200

AttivitaÁdi recupero 201

Scheda di valutazione del recupero 204

AttivitaÁdi consolidamento 205

AttivitaÁdi potenziamento 207

Gare di matematica 209

2. Le trasformazioni non isometriche

1. L'omotetia 214

1.1 Le proprietaÁ delle figure omotetiche 214

2. La similitudine 217

2.1 I poligoni simili 218

2.2 I criteri di similitudine nei triangoli 219 å Approfondimenti

Altre trasformazioni non isometriche 221 3. I teoremi della similitudine 222

3.1 Il teorema della parallela al lato

di un triangolo 222

3.2 Il teorema delle altezze corrispondenti

di due triangoli simili 222

3.3 Ilteorema dei perimetri di due

poligoni simili 223

3.4 Il teorema delle aree di due

poligoni simili 224

4. I teoremi di Euclide 225

4.1 Ilprimo teorema di Euclide 225 4.2 Ilsecondo teorema di Euclide 226 4.3 Interpretazione geometrica dei teoremi

di Euclide 227

å Approfondimenti

I frattali 228

å Concetti Chiave 230

Esercizi 231

Esercizi sulle competenze di base 252

Esercizi INVALSI 254

Verifica delle conoscenze 255

Verifica delle abilitaÁ 256

AttivitaÁdi recupero 257

Scheda di valutazione del recupero 262

AttivitaÁdi consolidamento 263

AttivitaÁdi potenziamento 265

Gare di matematica 266

ESERCIZI OCSE PISA - AREA 2

Competenze di livello avanzato

267

Math in English

268 å Soluzioni prove Invalsi 269

å Soluzioni schede di verifica 269 å Soluzioni schede di valutazione

delrecupero 271

å Soluzioni gare di matematica 272

å Tavole numeriche 274

å Glossario 286

å Tabella dei simboli 287

å Formulario 288

Materiali on line

Esercizi di conoscenza Esercizi di abilitaÁ Verifica interattiva

Scheda di approfondimento

Materiali on line

Esercizi di conoscenza Esercizi di abilitaÁ Verifica interattiva

Scheda di approfondimento

Materiali on line

Laboratorio: attivitaÁ sulle competenze

(8)

Area 1

L'equivalenza delle figure

Competenze

n

Saper studiare una situazione pro- blematica sintetizzando le informa- zioni in un disegno.

n

Saper dedurre da un problema di di- versa natura le informazioni richie- ste, applicare le formule studiate (an- che inerenti alteorema di Pitagora) e giustificare le proprie risposte.

Capitoli

L'area delle figure piane

Ilteorema di Pitagora

QISTITUTOITALIANOEDIZIONIATLAS

(9)

3

Operare con le quattro operazioni

3

Elevare un numero al quadrato

3

Estrarre la radice quadrata di un nume- ro

3

Conoscere il sistema internazionale di misura

3

Trasformare una grandezza in un'altra con diversa unitaÁ di misura

3

Conoscere le figure piane, i loro ele- menti e le loro proprietaÁ

CONOSCENZE

3

Il concetto di equivalenza

3

Il concetto di equiscomponibilitaÁ

3

Le formule per calcolare l'area di un

poligono

3

Le formule inverse dell'area ABILITAÁ

3

Rappresentare figure equivalenti

3

Applicare le formule dirette per il calco-

lo delle aree dei poligoni

3

Applicare le formule inverse delle aree dei poligoni

3

Calcolare l'area di un poligono qual- siasi

Obiettivi Prerequisiti

PercheÂstudiare l'area delle figure piane

Proviamo a realizzare una semplice costruzione geometrica:

l

prendiamo un cartoncino a forma quadrata e su di esso tracciamo una delle due diago- nali; in uno dei due triangoli rettangoli ottenuti, tracciamo quindi l'altezza relativa all'i- potenusa, otteniamo, cosõÁ, i triangoli rettangoli isosceli 1 e 2;

l

consideriamo ora i punti medi dei cateti del secondo triangolo rettangolo ed uniamoli con un segmento; otteniamo in questo modo un trapezio isoscele ed un triangolo rettangolo isoscele 3;

l

nel triangolo rettangolo isoscele 3 consideriamo il punto medio dell'ipotenusa e nel trian- golo rettangolo isoscele 1 il punto medio del cateto; uniamoli con un segmento in modo da ottenere il parallelogrammo 4ed un trapezio isoscele;

l

nel trapezio isoscele che eÁ rimasto tracciamo le due altezze dai vertici della base minore in modo da ottenere altri due triangoli rettangoli isosceli 5 e 7 ed un quadrato 6.

L'AREA DELLE FIGURE PIANE

Nell'opera Omaggio al quadrato di Josef Alberts, le linee diagonali che congiungono i vertici dei quadrati si incontrano in un punto coincidente con il centro di un rettangolo la cui area corrisponde a metaÁ di quella complessiva.

(10)

Questa costruzione "apparentemente senza senso" eÁ la base di un gioco millenario inventato nella lontana Cina che nella denominazione originale si chiama "Le sette pietre della saggez- za" e che in Occidente eÁ conosciuto con il piuÁ famoso nome di Tangram.

Combinando opportunamente tutti i sette pezzi del Tangram, eÁ possibile ottenere un nume- ro pressocheÂ infinito di figure, alcune geometriche, altre che ricordano oggetti d'uso comu- ne. La caratteristica di tutte queste figure eÁ l'equiscomponibilitaÁ, concetto che approfondi- remo in questo capitolo. Volete mettervi alla prova con tale gioco? Provate a costruire con tutti i sette pezzi un triangolo rettangolo isoscele, un rettangolo con le dimensioni una dop- pia dell'altra, un trapezio isoscele con la base maggiore pari a tre volte l'altezza (a sua volta congruente alla base minore), un esagono schiacciato, un pentagono irregolare. Se ci siete riusciti potete provare a costruire oggetti ed animali come ad esempio un cigno o un gatto (alcune soluzioni le trovi nel paragrafo 1.1).

Q I^STITUTOI^TALIANOE^DIZIONIA^TLAS L'AREA DELLE FIGURE PIANE -AREA 1 -CAPITOLO 1

9

La tecnica del mosaico consiste nel coprire la superficie a disposizione con tessere poligonali di area ridotta. Quanto piuÁ l'area di ciascuna tessera eÁ minore tanto maggiore saraÁ il dettaglio della rea- lizzazione finale.

Il gioco del Tangram prevede solamente una regola: utilizzare tutte le tessere senza alcuna sovrapposizione. Componendo in diverso modo le tessere eÁ possibile realizzare un'infinitaÁ di figure.

1

(11)

1 L'equivalenza delle figure piane

Lo scorso anno scolastico abbiamo studiato i poligoni e li abbiamo classificati in base al numero dei lati esaminandone le relative proprietaÁ (figura 1a). Inol- tre, abbiamo considerato figure piane a contorno curvilineo (cioeÁ composte interamente da linee curve, figura 1b) o a contorno mistilineo (cioeÁ composte da linee rette e linee curve, figura 1c).

In tutti i casi, qualunque sia il contorno, le figure piane occupano sempre una parte di piano; possiamo quindi dire che hanno una superficie (o estensione).

Tale superficie eÁ una grandezza misurabile, pertanto:

Per misurare la superficie di una figura occorre confrontarla con un'unitaÁ di misura, in modo da stabilire quante volte quest'ultima eÁ contenuta in quella da misurare. Ricordiamo allora che l'unitaÁ di misura delle superfici eÁ il metro quadrato (m

²

) con i suoi multipli e sottomultipli:

km

²

hm

²

dam

² m²

dm

²

cm

²

mm

²

e che per trasformare una unitaÁ in un'altra, multipla della prima, occorre divi- dere per 100, 10 000, 1 000 000 etc., mentre per trasformare una unitaÁ in un'altra, sottomultipla della prima, occorre moltiplicare per 100, 10 000, 1 000 000 etc.

Chiarito il concetto di area, vogliamo adesso esaminare un altro fondamentale concetto della geometria piana: l'equivalenza delle superfici.

Consideriamo due poligoni congruenti, ad esempio i rettangoli della figura 2.

EÁ evidente che, avendo i lati congruenti, essi occupano la stessa superficie, cioeÁ hanno la stessa area.

Consideriamo adesso piuÁ poligoni, ad esempio, un triangolo, un quadrato e un rettangolo (in alto nella figura 3). Disponiamo le tre figure in modo da ottenere composizioni aventi forme diverse (figura 3a e 3b). Notiamo che le figure ot- tenute, pur non avendo la stessa forma, sono peroÁ composte dagli stessi poli-

DEFINIZIONE.

Per area di una figura piana si intende la misura della sua su- perficie.

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 30

Figura 1

a. b. c.

Figura 2

Figura 3

a. b.

il ^linguaggio della matem atica

La parola area (come pure la parola perimetro) indica una misura.

Quindi si dice «l'area della figura eÁ (di) 10 cm²», e non;«l'area della figura misura 10 cm²», percheÂ sarebbe una ripetizione.

Ricordiamo invece che i termini lato, altezza, apotema indicano dei segmenti e non le loro misure. Quando ci rife- riamo ad essi dobbiamo quindi dire «il lato AB misura 5 cm», oppure

«il lato AB eÁ lungo 5 cm», e non «il lato AB eÁ (di) 5 cm».

(12)

goni e occupano quindi la stessa superficie. Possiamo esprimere questo fatto dicendo che le due composizioni di figure sono equivalenti (o equiestese);

pertanto:

Dalle considerazioni fatte possiamo dunque concludere:

Diremo infine che:

1.1 Figure equicomposte

Per stabilire se due figure piane sono equivalenti ci basiamo sul principio della equiscomponibilitaÁ, ovvero sulla possibilitaÁ di scomporre le due figure in altre figure tra loro congruenti a due a due. Ricordando allora quanto detto nel pa- ragrafo precedente eÁ facile affermare che:

Per spiegare meglio questa proprietaÁ esaminiamo i casi che si possono presen- tare.

Primo caso

EquiscomponibilitaÁ mediante somma di figure

Consideriamo la figura 4 in cui abbiamo rappresentato alcune delle costruzio- ni che si possono ottenere con tutti i pezzi delTangram.

EÁ evidente che le diverse figure sono equivalenti percheÂ ottenute mediante la somma degli stessi poligoni. Possiamo quindi dire che:

DEFINIZIONE.

Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono equivalenti. In simboli:

A:B e si legge: «A equivalente a B»

PROPRIETAÁ.

n

Due figure congruenti sono sempre equivalenti (vedi figura 2)

n

due figure equivalenti non sono, in generale, congruenti (vedi figura 3).

DEFINIZIONE.

Tra due poligoni con diversa superficie, il poligono con l'e- stensione maggiore prende ilnome di prevalente, quello con l'estensione ilminore di suvvalente.

PROPRIETAÁ.

Due figure equicomposte sono necessariamente equivalenti.

PROPRIETAÁ.

Figure che sono state ottenute mediante somma di parti rispet- tivamente congruenti sono equivalenti.

11

Figura 4

a. b. c. d.

La proprietaÁ enunciata non eÁ invertibile cioeÁ due figure equivalenti non sono necessariamente equicomposte.

(13)

Secondo caso

EquiscomponibilitaÁ mediante differenza di figure

I poligoni della figura 5 ottenuti, a partire dal quadrato iniziale, eliminando quattro quadrati congruenti sono a loro volta equivalenti. Pertanto:

oroo

o

1

Due figure sono equivalenti quando hanno:

a. lo stesso perimetro; b. la stessa area; c. lo stesso numero di lati.

2

Indica quale delle seguenti affermazioni eÁ vera:

a. per misurare l'estensione di una superficie occorre confrontarla con un'unitaÁ di misura in modo da stabilire quante volte quest'ultima eÁ contenuta in quella da misurare;

PROPRIETAÁ.

Figure che sono state ottenute mediante differenza di parti ri- spettivamente congruenti sono equivalenti.

Figura 5

a. b. c.

Approfondimenti

Un altro modo

per verificare l'equivalenza

Esaminiamo il quadrato e il cerchio della figura 6.

Ci accorgiamo immediatamente che non eÁ possi- bile stabilire con esattezza se le due figure sono equivalenti utilizzando uno dei due procedimenti geometrici analizzati in precedenza. Ricorriamo quindi ad un metodo indiretto, che consiste nella pesatura delle due figure. Ritagliamo da uno stes- so foglio di cartone le due figure da confrontare e, dopo averle appese ai bracci di una bilancia di precisione (figura 7), controlliamo se hanno lo stesso peso. Se i bracci restano in equilibrio, allora

abbiamo utilizzato la stessa quantitaÁ di cartone e quindi le due figure sono equivalenti. Se invece non restano in equilibrio, allora la figura che pesa di piuÁ saraÁ quella di maggiore estensione.

Figura 6

Figura 7

(14)

b. per misurare l'estensione di una superficie occorre confrontarla con un'altra superficie, fissata come unitaÁ di misura, per stabilire quante volte la superficie da misurare eÁ contenuta nella superficie fissata come unitaÁ di misura;

c. per misurare l'estensione di una superficie occorre confrontarla con un'altra superficie.

3

Tra le seguenti figure determina quelle tra loro congruenti e quelle tra loro equivalenti:

4

Quali fra i seguenti poligoni sono equicomposti?

2 L'area del rettangolo

Nella figura 8 eÁ rappresentato un rettangolo con la base lunga 4 cm e l'altezza che misura 5 cm.

Per calcolare la sua area dovremo contare quante volte l'unitaÁ di misura eÁ contenuta in esso. Se prendiamo come riferimento ilcm

²

osserviamo che nel rettangolo ci sono 20 quadratini, ciascuno dei quali ha un'area di 1 cm

²

; possiamo dunque dire che ilrettangolo ha area di 20 cm

²

. EÁ possibile ottenere lo stesso risultato moltiplicando fra loro la misura della base e dell'al- tezza (in cm):

5 cm 4 cm 20 cm

²

. Pertanto possiamo affermare che:

Da questa formula ricaviamo le seguenti formule inverse che ci permettono di risalire alle misure della base o dell'altezza, note le altre due grandezze:

b A : h h A : b

REGOLA.

L'area del rettangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza. In simboli:

A b h

13

Figura 8

Gli esercizi di questo paragrafo sono a pag. 34

(15)

CONCETTI

CHIAVE 1

Somma di figure Differenza di figure si ottiene mediante la somma

di parti rispettivamente congruenti

si ottiene mediante la differenza di parti rispettivamente congruenti

Rettangolo

l'area si ottiene moltiplicando la misura della base per quella del- l'altezza: A b h

Quadrato

l'area si ottiene moltiplicando la misura dellato per se stessa:

A `²

Parallelogrammo l'area si ottiene moltiplicando la misura della base per quella del- l'altezza: A b h

Triangolo

l'area si ottiene moltiplicando la misura della base per quella del- l'altezza e dividendo il prodotto ottenuto per due: A b h : 2

Rombo e deltoide l'area si ottiene moltiplicando le misure delle diagonali e dividendo ilprodotto ottenuto per due:

A d D : 2 Trapezio

l'area si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle basi per quella dell'altezza e dividendo ilprodotto ottenuto per due:

A b B h : 2 Poligono regolare l'area si ottiene moltiplicando il semiperimetro per la misura del- l'apotema A p a oppure la misura dellato alquadrato per ilnumero fisso A `² '

Poligono irregolare l'area si ottiene scomponendo il poligono dato in figure note di cui si conosce la formula per calcolare l'area.

Il concetto di equivalenza quando due superfici A e B di forma diversa, occupano la stessa parte di piano

Figure equicomposte

la misura della superficie da es- se occupata

(16)

30

L'AREA DELLE FIGURE PIANE -AREA 1 -CAPITOLO 1 Q I^STITUTOI^TALIANOE^DIZIONIA^TLAS

1 L'equivalenza delle figure piane

teoria a pag. 10

COMPRENSIONE DELLA TEORIA 1 Completa la seguente affermazione:

l'area di una figura piana eÁ la ... della ... occupata dalla figura stessa.

2 Due figure si dicono equivalenti se hanno:

a. lo stesso perimetro; b. la stessa area; c. gli angoli congruenti; d. i lati congruenti.

3 QualeÁ il simbolo di equivalenza? a. ; b. :; c. '.

4 Due figure equivalenti:

a. sono sempre fra loro congruenti;

b. non sono, in generale, congruenti;

c. sono sempre equicomposte.

5 Due figure equiscomponibili hanno necessariamente:

a. lo stesso perimetro; b. la stessa area; c. gli angoli congruenti; d. i lati congruenti.

6 Quali delle seguenti figure sono equivalenti?

a. b. c. d.

7 Delle seguenti affermazioni indica quali sono vere e quali false:

a. somme di figure equivalenti sono equivalenti fra loro ^V ^F

b. differenze di figure equivalenti non sono equivalenti fra loro ^V ^F

c. due figure equicomposte sono sempre equivalenti ^V ^F

d. due figure equivalenti non sempre sono equicomposte. ^V ^F

richiami della teoria

n L'area di una figura piana eÁ la misura della sua superficie espressa in una certa unitaÁ di misura;

n per misurare una superficie occorre confrontarla con un'unitaÁ di misura, cosõÁ da stabilire quante volte quest'ultima eÁ contenuta in quella da misurare;

n due superfici A e B, anche di forma diversa, si dicono equivalenti se occupano la stessa parte di piano, si indicano con A : B;

n figure che sono state ottenute mediante la somma di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti;

n figure che sono state ottenute mediante la differenza di parti rispettivamente congruenti sono equivalenti.

Esercizi

L'AREA DELLE FIGURE PIANE

1

(17)

8 Completa le seguenti affermazioni:

a. se due figure hanno la stessa forma e la stessa estensione, sono ... e quindi anche ...;

b. se due figure hanno forma diversa ma uguale estensione allora sono ...;

c. se due figure sono state ottenute mediante la somma di parti rispettivamente congruenti allora sono ...;

d. se due figure sono state ottenute mediante la differenza di parti rispettivamente ... allora sono equivalenti.

9 Indica quali delle seguenti figure sono congruenti e quali equivalenti.

10 Tra le seguenti figure individua quella prevalente.

a. b.

11 Tra le seguenti figure individua quella suvvalente.

a. b.

APPLICAZIONE

12

Esercizio guida

13 Disegna un rettangolo equivalente alla seguente figura:

Stabilisci se le seguenti figure sono tra loro equivalenti.

a. b.

a. Iltriangolo ABC eÁ equivalente al rettangolo A⁰B⁰C⁰D⁰in quanto ottenuto mediante equiscomponibilitaÁ.

b. Iltriangolo EFG eÁ equivalente al parallelogrammo E⁰F⁰H⁰I⁰ in quanto ottenuto mediante equiscomponi- bilitaÁ.

(18)

32

14

Esercizio guida

15 Dopo aver ricopiato le seguenti figure sul tuo quaderno, ricava da ogni figura un'altra equivalente mediante equiscomponibilitaÁ.

16 Per ciascuna delle seguenti figure disegnane un'altra equivalente.

17 Le parti colorate delle due figure sono equivalenti. Spiega percheÂ.

18 Colora con lo stesso colore le parti tra loro equivalenti delle seguenti figure. Come risultano le figure tra di loro?

Determina una figura equivalente al trapezio ABCD.

Consideriamo iltriangolo AED ottenuto prolungando la base DC di un segmento CE congruente alla base minore AB e congiungendo ilvertice A con E. Ilpunto O determina due triangoli ABO e COE che sono fra loro congruenti. Il trapezio ABCD e iltriangolo AED sono dunque equivalenti per- cheÂ equicomposti.

(19)

19 Fai in modo che le seguenti coppie di figure siano equivalenti aggiungendo o sottraendo parti di piano.

20 Sul lato di un parallelogrammo HKLM prendi un punto A a piacere e uniscilo agli estremi del lato opposto. Come sono tra loro le superfici del quadrilatero HKLM e deltriangolo AKL? Sai spiegare percheÂ?

(Suggerimento: traccia ilsegmento AB parallelo ai lati HK e LM del parallelogrammo. Si ottengono cosõÁ quattro triangoli ...)

Disegna sul tuo quaderno tre poligoni equivalenti combinando tra loro le figure dei seguenti esercizi.

21

22

23

Per ciascuna delle seguenti figure, disegna sul tuo quaderno una figura equicomposta.

24

(20)

25

26

27 Utilizzando i quattro triangoli in cui eÁ stato scomposto ilseguente rettangolo, disegna almeno due figure ad esso equivalenti.

28 Utilizzando i due triangoli in cui eÁ stato scomposto ilseguente triangolo isoscele, disegna un rettangolo ed un parallelogrammo ad esso equivalenti.

29 Utilizzando i sei triangoli in cui eÁ stato scomposto ilseguente trapezio isoscele, disegna almeno due figure ad esso equivalenti.

30 Scomponi i seguenti poligoni in modo tale da formare, con le parti ricavate, un rettangolo equivalente a ciascuno di essi.

a. b. c. d.

2 L'area del rettangolo

teoria a pag. 13

COMPRENSIONE DELLA TEORIA

31 La formula per il calcolo dell'area di un rettangolo eÁ:

a. A b h2 ; b. A bh; c. A b h; d. `².

richiami della teoria

n L'area del rettangolo si ricava moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza: formula diretta: A b h; formule inverse: b A : h; h A : b.

34

(21)

43 b h 2p A

10 cm 13 cm

15 cm 68 cm

21 cm 210 cm²

14 cm 30 cm

24 cm 1584 cm²

44 Determina l'area di un rettangolo sapendo che la base misura 12 cm e l'altezza eÁ lunga 5 cm. 60 cm²

45 Calcola l'area di un rettangolo sapendo che le misure della base e dell'altezza sono rispettivamente 12 cm

e 20 cm. 240 cm²

46 Calcola l'area di un rettangolo avente la base lunga 18 cm mentre l'altezza misura 2,5 dm. 450 cm²

47 Calcola l'area di un rettangolo sapendo che la base e l'altezza sono lunghe rispettivamente 1,45 m e 32 cm.

4640 cm²

48 In un rettangolo la base misura 25 cm e l'area eÁ 400 cm². Calcola la misura dell'altezza. [16 cm]

49 In un rettangolo l'altezza misura 32 dm e l'area eÁ 448 dm². Calcola la misura della base. [14 dm]

50 In un rettangolo l'area eÁ di 1120 cm² e la base misura 28 cm. Calcola il suo perimetro. [136 cm]

51 In un rettangolo l'area eÁ di 2464 dm² e l'altezza misura 44 dm. Calcola il suo perimetro. [200 dm]

52 Calcola la misura dell'altezza di un rettangolo sapendo che la base misura 180 cm, mentre l'area eÁ 90 dm². [5 dm]

53 Determina la misura della base di un rettangolo avente l'altezza lunga 8 cm e l'area di 48 cm². [6 cm]

54 Calcola la misura della base di un rettangolo sapendo che l'altezza misura 160 cm e l'area eÁ 0,8 m². [50 cm]

55 Calcola l'area di un rettangolo sapendo che l'altezza misura 84 cm ed eÁ la metaÁ della base. 14112 cm²

56 Calcola l'area di un rettangolo sapendo che la base misura 100 m ed eÁ il doppio dell'altezza. 5000 m²

57 In un rettangolo l'altezza eÁ lunga 54 cm ed eÁ tripla della base. Calcola il perimetro e l'area del rettangolo.

144 cm; 972 cm²

58

Matematica ^& Scienze

59 Calcola l'area e il perimetro di un rettangolo sapendo che l'altezza misura 26 cm e che la lunghezza della base

supera di 5 cm il doppio di quella dell'altezza. [1482 cm²; 166 cm]

L

A PRESSIONE

La pressione P eÁ una grandezza fisica che si definisce come la forza F che agisce perpendicolarmente sull'unitaÁ di superficie S: pertanto eÁ data dalrapporto P FS.

Quindi, a paritaÁ di forza, maggiore eÁ la superficie, minore eÁ la pressione esercitata dalla forza.

Prova a confrontare la pressione esercitata da un uomo di 80 kg (forza peso) sulla neve fresca quando:

a. appoggia sui suoi piedi (approssima l'area occupata dai piedi a quella di due rettangoli di dimensioni 6 cm e 24 cm);

b. appoggia sugli sci (approssima l'area occupata dagli sci a quella di due rettangoli di dimensioni 8 cm e 1,6 m).

277,8 g/cm²; 31,25 g/cm²

(22)

esercizi sulle competenze di base

1 Disegna una figura equivalente per ciascuna di quelle date:

a. b.

2 In un rettangolo la base e l'altezza misurano rispettivamente 24 cm e 15 cm. Calcola il perimetro e l'area del

rettangolo. 78 cm; 360 cm²

3 Ilperimetro di un quadrato eÁ 72 cm. Calcola la sua area. 324 cm²

4 In un parallelogrammo la base e l'altezza misurano rispettivamente 32 cm e 22 cm. Calcola l'area e il perimetro del parallelogrammo sapendo che il lato obliquo eÁ 78 della base. 704 cm²; 120 cm

5 In un rombo la diagonale maggiore misura 65 cm e supera la minore di 27 cm. Calcola l'area del rombo.

1 235 cm²

6 Calcola il perimetro e l'area di un ottagono regolare il cui lato misura 18 cm. 144 cm; 1564,272 cm²

7 L'area di un quadrato eÁ 384,16 cm², calcola il perimetro. [78,4 cm]

8 Un rettangolo ha l'area di 2128 cm². Calcola il perimetro sapendo che l'altezza misura 38 cm. [188 cm]

9 L'area di un pentagono regolare eÁ 1 253,88 cm², calcola il suo perimetro. [135 cm]

10 Ilperimetro di un rettangolo eÁ 624 cm e una dimensione eÁ 57 dell'altra; calcola la sua area. [23 660 cm²]

11 In un trapezio rettangolo l'area eÁ di 108 m², la base maggiore supera la base minore di 8 m, l'altezza misura 6 m e il lato obliquo eÁ 57 della base minore. Calcola il perimetro del trapezio. [52 m]

12 L'area di un rettangolo eÁ 735 cm² e una dimensione eÁ 35 dell'altra. Calcola il perimetro del rettangolo.

[112 cm]

13 Un triangolo isoscele ha l'area di 192 cm² e l'altezza che misura 16 cm. Calcola il perimetro del triangolo sa-

pendo che il lato obliquo eÁ 56 della base. [64 cm]

14 In un triangolo rettangolo i due cateti misurano rispettivamente 60 cm e 45 cm. Calcola l'area e il perimetro del triangolo sapendo che il cateto minore supera di 9 cm l'altezza relativa all'ipotenusa. 1350 cm²; 180 cm

15 L'area di un rombo eÁ 864 dm²e una diagonale eÁ 34 dell'altra. Calcola il perimetro del rombo sapendo che la misura della diagonale minore supera di 6 dm la misura del lato. [120 dm]

16 I lati di un triangolo sono lunghi rispettivamente 34 cm, 18 cm e 20 cm. Calcola l'area del triangolo.

144 cm²

17 Il lato di un quadrato misura 28 cm. Calcola il perimetro di un rettangolo equivalente al quadrato la cui base

misura 56 cm. [140 cm]

18 In un rombo l'area eÁ di 480 cm², la diagonale minore misura 20 cm e il lato eÁ 1324 della diagonale maggiore.

Calcola l'area di un ottagono regolare isoperimetrico al rombo. 815,932 cm²

74

(23)

VERIFICHE

Prove INVALSI

1 (INVALSI, a.s. 2003/04) Osserva la seguente figura.

Le rette r ed s sono parallele e i parallelogrammi 1, 2 e 3 hanno la base di ugual misura sulla retta s. I lati opposti alle relative basi si trovano sulla retta r. Quale delle seguenti affermazioni eÁ vera?

o

a. Solo 1 e 2 hanno la stessa area;

o

b. nessuno dei tre ha la stessa area;

o

c. hanno tutti e tre la stessa area;

o

d. solo 1 e 3 hanno la stessa area.

2 (INVALSI, a.s. 2003/04) Osserva attentamente le seguenti figure formate da 12 quadratini.

Le due figure hanno:

o

a. diversa area e diverso perimetro;

o

b. stessa area e diverso perimetro;

o

c. diversa area e stesso perimetro;

o

d. stessa area e stesso perimetro.

3 (INVALSI, a.s. 2003/04) Quanto vale l'area della parte colorata in azzuro della figura?

o

^{a. 92 dm}²^;

o

^{b. 264 cm}²^;

o

^{c. 136 cm}²^;

o

^{d. 68 cm}²^.

4 (INVALSI, a.s. 2003/04) Ci sono due quadrati uguali di vertici ABCD e EFGF. Nelprimo quadrato si ottiene la figura T di vertici AMC e nelsecondo si ottiene la figura ENGO. I punti M, N e O sono i punti medi dei relativi lati dei quadrati, quindi i segmenti CM, EN e OG sono uguali tra loro.

(24)

Verifica

conoscenze delle

78 n I

L CONCETTO DI EQUIVALENZA

1

Due superfici A e B, anche di forma diversa, che occupano la stessa parte di piano, si dicono:

a. congruenti; b. equivalenti; c. isoperimetriche; d. equiscomponibili.

2

Completa le seguenti affermazioni:

a. due figure congruenti sono sempre ...;

b. due figure equivalenti non sono, in generale ...

n I

L CONCETTO DI EQUISCOMPONIBILITAÁ

3

Due figure che sono state ottenute mediante la somma o la differenza di parti rispettivamente congruenti:

a. non sempre sono congruenti; b. sono sempre congruenti;

c. sono equivalenti; c. possono essere equivalenti.

n L

E FORMULE PER CALCOLARE L'AREA DI UN POLIGONO

4

Indicando con A, b e h rispettivamente l'area, la base e l'altezza di un rettangolo, indica qual eÁ la formula per calcolare l'area

a. A b h : 2; b. A b h; c. A b h; d. A b : h.

5

Considera il triangolo della figura a lato dove AK, CH e BM rappresentano le tre altezze; l'area del triangolo si puoÁ ottenere conoscendo:

a. le misure di BC, AB e BM ^SI ^NO

b. ilperimetro e le misure di AC, BC e CH ^SI ^NO

c. le misure di AB e AK ^SI ^NO

d. le misure dei tre lati. ^SI ^NO

n L

E FORMULE INVERSE DELL'AREA

6

Facendo riferimento alla figura a lato, completa le seguenti relazioni:

a. AB A : :::::; b. DK ::::: : BC;

c. ::::: A : AB; d. BC A : :::::.

7

Indicando con A, b, B e h rispettivamente l'area, la base minore, quella maggiore e l'altezza di un trapezio indica quali delle seguenti formule sono vere e quali false:

a. h 2 A : b ^V ^F

b. b B 2 A : h ^V ^F

c. h A : b B ^V ^F

d. B 2 A : h b. ^V ^F

Verifica la tua preparazione eseguendo i seguenti esercizi relativiagli obiettivi di conoscenza. Controllaquindi l'esattezza delle soluzioni alla finedel volume ed assegnati un punto per ciascun esercizio svolto correttamente.

Autovalutazione ^P

UNTEGGIO CONSEGUITO

.../7

Da 0 a 2: Non conosci gli argomenti trattati nel capitolo. Devi ristudiarlo.

Da 3 a 5: Conosci solo superficialmente i contenuti del capitolo. Devi ripassare gli argomenti corrispondenti alle conoscenze non acquisite.

Da 6 a 7: Conosci in modo sufficientemente approfondito i contenuti delcapitolo. Puoi affrontare il prossimo capitolo.

(25)

Verifica abilità delle

Verifica la tua preparazione eseguendo i seguenti esercizi relativiagli obiettivi di abilitaÁ. Controlla quindil'esattezza delle soluzioni alla fine delvolume ed assegnati un punto per ciascunesercizio svolto

correttamente.

Autovalutazione ^P

UNTEGGIO CONSEGUITO

.../10

Da 0 a 3: Non hai sviluppato adeguate abilitaÁ. Devi studiare nuovamente il capitolo ed eseguire l'attivitaÁ di recupero.

Da 4 a 7: Non possiedi le abilitaÁ richieste. Prima di affrontare l'attivitaÁ di consolidamento devi svolgere l'attivitaÁ di recupero relativa alle abilitaÁ non ancora acquisite.

Da 8 a 10: Hai raggiunto pienamente le abilitaÁ specifiche del capitolo. Puoi affrontare l'attivitaÁ di potenziamento e l e gare di matematica.

n R

APPRESENTARE FIGURE EQUIVALENTI

1

Disegna una figura congruente ed una equivalente ma non congruente alla figura a lato.

n A

PPLICARE LE FORMULE DIRETTE PER IL CALCOLO DELLE AREE DEI POLIGONI

2

Calcola l'area di un quadrato avente il perimetro di 104 cm.

3

In un rombo la diagonale maggiore eÁ lunga 54 cm ed eÁ 3

2 della minore. Calcola l'area del rombo.

4

In un trapezio le basi sono una doppia dell'altra e la loro differenza misura 71 cm. Calcola l'area del trapezio sapendo che l'altezza eÁ lunga 50 cm.

5

Un trapezio isoscele eÁ formato da un quadrato e da due triangoli rettangoli isosceli. Calcola l'area del trapezio sapendo che ilperimetro delquadrato eÁ 336 cm.

n A

PPLICARE LE FORMULE INVERSE DELLE AREE DEI POLIGONI

6

Un quadrato eÁ equivalente ad un rettangolo avente le dimensioni una 94 dell'altra. Calcola il perimetro del rettangolo sapendo che il perimetro del quadrato eÁ 216 cm.

7

Calcola il perimetro di un ottagono regolare avente l'area di 14604,7 cm².

8

Un rombo ha ilperimetro di 256 cm ed eÁ equivalente ad un quadrato avente il perimetro di 224 cm. Calcola la misura dell'altezza del rombo.

n C

ALCOLARE L'AREA DI UN POLIGONO QUALSIASI

9

Un poligono ha il perimetro di 240 cm ed eÁ circoscritto ad una circonferenza ilcui diametro misura 16 cm. Cal- cola l'area del poligono.

10

In un esagono irregolare una diagonale eÁ lunga 64 cm e divide il poligono in un rettangolo e in un trapezio isoscele (la diagonale coincide con la base maggiore del trapezio). Sapendo che la base minore eÁ la metaÁ della diagonale, che l'altezza del trapezio eÁ 13 di quella del rettangolo e la loro somma misura 72 cm, calcola l'area del- l'esagono.

(26)

n R

APPRESENTARE FIGURE EQUIVALENTI

1 Vero o Falso?

Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono errate e correggi gli errori.

a. Due figure aventi la stessa estensione non sempre sono equivalenti. ^V ^F

b. Due figure congruenti sono sempre equivalenti. ^V ^F

c. Due figure equivalenti sono sempre congruenti. ^V ^F

d. Due figure ottenute sommando parti rispettivamente congruenti sono equivalenti. ^V ^F e. Due figure ottenute dalla differenza di parti rispettivamente congruenti non sempre sono equivalenti. ^V ^F

2

Utilizzando la scomponibilitaÁ dei poligoni disegna una figura equivalente ma non congruente per ognuna delle seguenti figure.

a. b. c. d.

3

QualeÁ l'unitaÁ di misura delle superfici?

n A

PPLICARE LE FORMULE DIRETTE PER IL CALCOLO DELLE AREE DEI POLIGONI

n A

PPLICARE LE FORMULE INVERSE DELLE AREE DEI POLIGONI

4 Vero o Falso?

Stabilisci quali delle seguenti affermazioni sono errate e correggi gli errori.

a. L'area di un rettangolo si ottiene moltiplicando fra loro le misure delle due dimensioni. ^V ^F b. L'area di un parallelogrammo si ottiene moltiplicando fra loro le misure dei suoi lati. ^V ^F c. L'area di un rombo si ottiene moltiplicando fra loro le misure delle due diagonali. ^V ^F d. L'area di un trapezio rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della somma delle due basi

per l'altezza. ^V ^F

e. L'area di un triangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza ad

essa relativa. ^V ^F

f. In un triangolo rettangolo l'area si puoÁ calcolare moltiplicando fra loro la misura dei cateti e

dividendo ilrisultato per due. ^V ^F

g. L'area di un poligono circoscritto ad una circonferenza si ottiene moltiplicando il semiperimetro

per l'apotema e dividendo il risultato per due. ^V ^F

5

Calcola l'area e il perimetro di un rettangolo sapendo che la base e l'altezza misurano rispettivamente 15 cm e

18 cm. 270 cm²; 66 cm

6

L'area di un rettangolo eÁ 1536 m² e l'altezza misura 32 m. Calcola il perimetro. [160 m]

Attività di recupero

L'area delle figure piane CAP. 1

80

(27)

Scheda di Valutazione del Recupero

1

Due superfici sono equivalenti se:

a. hanno lo stessa forma; b. hanno i lati congruenti; c. occupano la stessa parte di piano.

2

La misura della base di un rettangolo eÁ data dalla formula:

a. b 2 Ah ; b. b A h; c. b Ah.

3

Un parallelogrammo eÁ equivalente ad un rettangolo avente:

a. la stessa forma;

b. la stessa base e la stessa altezza;

c. la stessa base ma non la stessa altezza.

4

Un triangolo eÁ equivalente alla metaÁ di un parallelogrammo avente:

a. la stessa altezza;

b. la stessa base;

c. la stessa base e la stessa altezza.

5

La misura dell'altezza di un triangolo eÁ data dalla formula:

a. h A

b; b. h 2 A

b ; c. h a b.

6

L'area di un trapezio eÁ data dalla formula:

a. A b1 b2 h; b. A b¹ b₂

2 h; c. A b¹ b₁ h 2.

7

Un rombo eÁ equivalente alla metaÁ di un rettangolo avente le dimensioni:

a. congruenti alle due diagonali;

b. la metaÁ delle due diagonali;

c. il doppio delle due diagonali.

8

L'area di un rombo eÁ data dalla formula:

a. A d¹ d2

2 ; b. A d1 d2 : 2; c. A d1 d2.

9

In un rettangolo avente l'area di 1584 cm² l'altezza eÁ lunga 36 cm. Il perimetro del rettangolo eÁ:

a. 80 cm; b. 160 cm; c. 44 cm.

10

In un rombo la diagonale maggiore eÁ lunga 44 cm ed eÁ 117 della minore. L'area del rombo eÁ:

a. 28 cm²; b. 1232 cm²; c. 616 cm².

11

Un trapezio rettangolo eÁ formato da un quadrato di area 1296 cm²e da un triangolo rettangolo isoscele. L'area del trapezio eÁ:

a. 1944 cm²; b. 684 cm²; c. 2592 cm².

12

Ilperimetro di un pentagono regolare eÁ 90 cm; l'area eÁ:

a. 557,28 cm²; b. 527,28 cm²; c. 139,52 cm².

Dopo aver rivisto la teoria e svolto l'attivitaÁ di recupero, metti alla prova la tua preparazione rispondendo ai seguenti quesiti (scegli tra le soluzioni proposte), controlla l'esattezza delle risposte a pag. 271 e calcola il punteggio ottenuto in base alla griglia.

Se hai totalizzato almeno 12 punti puoi ritenere colmato il debito, altrimenti riguarda gli argomenti sui quali hai commesso errori.

(28)

1

Calcola l'area di un rettangolo avente le dimensioni lunghe 16 cm e 22 cm. 352 cm²

2

Calcola il perimetro e l'area di un rettangolo sapendo che la base e l'altezza sono lunghe rispettivamente 35 cm

e 32 cm. 134 cm; 1120 cm²

3

L'area di un quadrato eÁ 784 cm². Calcola la misura del lato. [28 cm]

4

In un parallelogrammo l'area eÁ 5 412 cm². Calcola la misura dell'altezza sapendo che la base ad essa relativa eÁ

lunga 82 cm. [66 cm]

5

Calcola la misura della base di un triangolo sapendo che l'area eÁ 6 324 cm²e l'altezza eÁ lunga 102 cm. [124 cm]

6

L'area di un rombo eÁ 1 904 cm². Calcola la misura della diagonale maggiore sapendo che la minore eÁ lunga

56 cm. [68 cm]

7

Un rettangolo ha l'area di 375 cm²e l'altezza eÁ 35 della base. Calcola il perimetro di un parallelogrammo avente i

due lati congruenti alle dimensioni del rettangolo. [80 cm]

8

Un triangolo isoscele ha il perimetro di 160 cm, ciascun lato obliquo lungo 50 cm e l'altezza 23 della base. Calcola la misura dell'altezza di un rettangolo equivalente al triangolo sapendo che la base misura 48 cm. [25 cm]

9

La misura dellato di un quadrato eÁ 30 cm. Calcola la misura della base di un rettangolo equivalente al quadrato

sapendo che l'altezza eÁ 38 delperimetro delquadrato. [20 cm]

10

In un trapezio la base minore misura 30 cm e la base maggiore e l'altezza sono rispettivamente 32 e 23 della base

minore. Calcola l'area del trapezio. _{750 cm}2

11

Ilquadrato ABCD della figura a lato eÁ suddiviso dai segmenti AK e KH nei due triangoli AKD e HCK e nelquadrilatero ABHK. Sapendo che illato delquadrato misura 10 m, che l'area del triangolo AKD eÁ 25 m²e che HB eÁ lungo 134 cm, calcola l'area

deltriangolo KHC. 21,65 m²

12

Un rombo ha le diagonali che misurano rispettivamente 22 cm e 15 cm, ed eÁ equivalente ai 45 di un trapezio isoscele. Calcola la misura dell'altezza del trapezio sapendo che la somma delle basi misura 12 cm. [34,375 cm]

13

Un deltoide ed un quadrato sono equivalenti. Calcola la misura della diagonale maggiore del deltoide sapendo che la lunghezza della diagonale minore eÁ 10 cm e che ilperimetro delquadrato eÁ 60 cm. [45 cm]

14

Un trapezio ha le basi che misurano rispettivamente 14 cm e 9 cm ed eÁ equivalente ad un rettangolo avente le dimensioni lunghe 5,75 cm e 16 cm. Calcola la misura dell'altezza del trapezio. [8 cm]

15

Un quadrato avente l'area di 1089 cm² eÁ equivalente ad un rettangolo la cui dimensione minore eÁ lunga 30,25 cm. Calcola il perimetro di un parallelogrammo con i lati consecutivi che misurano rispettivamente quanto illato delquadrato e la dimensione maggiore delrettangolo. [138 cm]

16

Un quadrato ha ilperimetro di 96 cm ed eÁ equivalente ad un trapezio rettangolo avente l'altezza lunga 19,2 cm.

Calcola l'area di un rettangolo sapendo che eÁ isoperimetrico alquadrato e con una dimensione che misura la metaÁ

della somma delle basi del trapezio. 540 cm²

17

Un rombo eÁ isoperimetrico ad un rettangolo e quest'ultimo eÁ equivalente ad un quadrato. Sapendo che il lato del rombo e la dimensione maggiore del rettangolo misurano rispettivamente 39 cm e 54 cm, calcola il perimetro del

quadrato. [144 cm]

84 Attività di consolidamento

L'area delle

figure piane

CAP. 1

(29)

Calcola l'area della parte colorata in giallo dei seguenti esercizi.

1

^{23,2655 cm}²

2

15,81435 cm²

3

AC BD 6,8 cm²; EF FG GH HE 3,4 cm

11,56 cm²

4

In un rombo la diagonale maggiore eÁ 65 della minore e la loro differenza misura 4 cm. Calcola:

a. l'area e il perimetro di un rettangolo equivalente ai 5

4 delrombo ed avente una dimensione lunga 25 cm;

b. ilperimetro di un quadrato equivalente ai 4

3 delrettangolo. 300 cm²; 74 cm; 80 cm

5

In un parallelogrammo la differenza fra la misura della base e l'altezza eÁ 3 cm e la loro somma eÁ 27 cm. Calcola:

a. l'area del parallelogrammo;

b. l'area e il perimetro di un quadrato avente il lato lungo 114 dell'altezza del parallelogrammo;

c. la misura della base minore di un trapezio equivalente alquadrato, sapendo che l'altezza misura 60,5 cm e le due basi del trapezio sono una 45 dell'altra. 180 cm²; 1089 cm²; 132 cm; 16 cm

Attività di potenziamento

L'area delle

figure piane

CAP. 1

(30)

gare di matematica

1

Il terreno di Tobia (1999, Semifinale italiana)

Messer Tobia, che non eÁ mai stato una spia, possiede un terreno rettangolare "quasi" quadrato: la sua lunghezza e la sua larghezza, che sono numeri interi espressi in metri, differiscono esattamente di 1 metro. L'area del terreno di Tobia, espresso in metri quadrati, eÁ un numero di 4 cifre: la cifra delle migliaia e quella delle centinaia sono uguali; lo stesso dicasi per la cifra delle decine e quella delle unitaÁ. QualeÁ la larghezza del terreno di Tobia?

Nota: il problema ammette tre soluzioni.

2

Le acque territoriali (2000, Finale internazionale)

L'arcipelago di Touamonmatou, rappresentato sulla carta qui accanto, com- prende 6 piccole isole che sono ciascuna uno stato indipendente. Ogni isola possiede le sue acque territoriali. In particolare, l'isola di Matoucetoa (in rosso neldisegno) possiede l'insieme di tutti i punti situati piuÁ vicino a lei che a un'isola vicina. Qual eÁ l'area della zona delle acque territoriali dell'i- sola di Matoucetoa, espressa in chilometri quadrati?

3

Ancora un terreno (2000, Giochi a squadre)

Un magnifico salice eÁ piantato all'interno di un terreno quadrato. La somma delle sue distanze da due lati del quadrato eÁ di 100 m, mentre la somma delle distanze dagli altri due lati eÁ uguale a 120 m. Qual eÁ l'area (in metri quadrati) delterreno?

4

Terribilmente difficile (2000, Finale internazionale)

Un pascolo ha la forma pentagonale VACHE. Contiene un laghetto MEU.

Quanto spazio resta alla mucca per brucare? Nota: il lato di ogni quadretto eÁ di 20 m. Si daraÁ la risposta in dam quadrati.

5

Le due strisce (2001, Semifinale italiana)

Due strisce di carta larghe 1 cm sono messe una sull'altra, come in figura. La parte in cui si sovrappongono (in grigio neldisegno) ha un perimetro di 8 cm.

QualeÁ la sua area, espressa in cm²?

6

Una buona piega (2002, Giochi di allenamento UniversitaÁ Bocconi)

La striscia di carta rappresentata nella figura a lato (i cui bordi sono paralleli) misura due centimetri di larghezza. Piegate questa striscia in due (vedi il disegno). QualeÁ l'area minima della regione in cui i due spessori di carta si sovrappongono?

(Dare la risposta in cm², arrotondata alcentesimo).

7

Un castello medioevale (2002, Giochi di allenamento UniversitaÁ Bocconi)

Il castello di Mathville eÁ circondato da una cinta di alte mura, che misurano 10 m, 20 m, 30 m, 40 m, 50 m, 60 m, 80 m e 110 m. Inoltre ogni muro eÁ perpendicolare a quello precedente e a quello seguente. Qual eÁ, almassimo, l'area (in dam?) della superficie racchiusa nel muro di cinta?

8

Il trapezio (2002, Giochi d'autunno)

Un trapezio ha un'area pari a 335 cm²e la base minore che misura 6 cm. Le misure della sua altezza e della base maggiore sono (entrambe) espresse da un numero intero di centimetri. Quanto misura la base maggiore del trapezio?

(N.B. Il problema ammette quattro soluzioni, tutte da indicare per ricevere il punteggio pieno).