per i flussi turbolenti infine, il codice di calcolo risolve anche le equazioni di trasporto

2 Codice di calcolo Fluent e settaggio delle impostazioni

2.1 Equazioni risolte da Fluent

Il software Fluent [1] risolve, per ogni tipo di fluido,le equazioni di conservazione della massa e del momento e per i fluidi comprimibili, o che coinvolgono scambi termici, anche l’equazione dell’energia; per i flussi turbolenti infine, il codice di calcolo risolve anche le equazioni di trasporto. Tutte le equazioni che presenteremo successivamente descrivono fenomeni non stazionari; nel caso di simulazioni stazionarie vengono risolte le equazioni senza i termini contenenti la derivata parziale rispetto al tempo.

2.1.1 Equazione di continuità

Sm

t +Ñ× v =

¶

¶ ( r) r r

(2.1)

Questa equazione è valida sia per fluidi comprimibili che incomprimibili. Il termine Sm rappresenta la sorgente di massa che, prodotta dalla fase dispersa, va ad aggiungersi alla fase continua (es. vaporizzazione di gocce di liquido), altrimenti può essere definita tramite funzioni definite dall’operatore stesso.

2.1.2 Equazione di conservazione della quantità di moto

F g p

v v t v

r r r

r

r ÷+ +

ø çö è

×æ Ñ + -Ñ

= Ñ

¶ +

¶(r) (r ) t r (2.2)

dove p è la pressione statica, è il tensore degli sforzi, rog la forza di massa, F le forze esterne compresi i termini di sorgente.

Il tensore degli sforzi è definito come segue:

( ) ^ù

é r r 2 r

essendo la viscosità ed I il tensore unitario.

2.1.3 Equazione di conservazione dell’energia

( ) [( )] h

j

eff j

j

eff T h J v S

k p

E v

t E ÷÷+

ø ö çç

è

æ ÷

ø ç ö

è æ × + -

Ñ

× Ñ

= +

× Ñ

¶ +

¶^{r r r} å ^{' ' t r (2.4)}

con Keff conducibilità effettiva, Jj’ flusso di diffusione della specie j.

Il trasferimento di energia dovuto alla conduzione, alla diffusione della specie ed alla dissipazione viscosa sono rappresentati dai primi tre termini del secondo membro sotto l’operatore gradiente.

Nell’equazione precedente (2.4) risulta essere:

2 v2

h p

E= - +

r (2.5)

dove l’entalpia sensibile per un gas ideale è così definita:

' '

' j

j jh Y

h⁼å (2.6)

mentre per un fluido incomprimibile:

r h p Y h

j j

j +

=å

' '

' (2.7)

Nelle equazioni (2.6), (2.7), il termine Yj rappresenta la frazione di massa della specie j ed inoltre:

dT c h

T

T pj j

ref

ò

= _'

' dove Tref=298.15 K (2.8)

2.2 Modelli di turbolenza

I flussi turbolenti sono caratterizzati da campi di velocità di tipo fluttuante.

Queste fluttuazioni producono un miscelamento delle quantità trasportate quali il momento, l’energia e la concentrazione delle specie provocando, di conseguenza, una fluttuazione delle stesse. L’entità di tali fluttuazioni può essere su piccola scala ed elevata frequenza, e di conseguenza la simulazione diretta di tali fluttuazioni è troppo onerosa dal punto di vista computazionale.

Si mediano quindi le equazioni nel tempo per rimuovere le fluttuazioni su piccola scala, ottenendo così una serie di equazioni modificate meno onerose delle precedenti.

Tuttavia le equazioni modificate contengono nuove grandezze incognite che possono essere calcolate, in funzione di quelle note, per mezzo di modelli di turbolenza.

I modelli di turbolenza implementati nel codice di calcolo Fluent sono:

§ Spalart-Allmaras

§ Standard k-epsilon

§ Renormalization-group k-epsilon (RNG)

§ Realizable k-epsilon (RK )

§ k-omega

§ Reynolds Stress (RSM)

§ Detached Eddy Simulation (DES)

§ Large Eddy Simulation (LES)

2.2.1 L’approccio Reynolds Averaging Navier Stokes (RANS)

Questo approccio viene utilizzato per i calcoli ingegneristici ed utilizza i modelli k- e relative varianti, il modello k- , il modello Spalart-Allmaras ed il modello RSM.

In questo approccio le variabili che compaiono nelle equazioni di Navier-Stokes vengono decomposte in due componenti: una media e una fluttuante.

Ad esempio per le componenti della velocità si può scrivere:

i'

i

i u u

u = + (2.9)

Per una generica quantità scalare :

i'

i f

f

f= + (2.10)

Sostituendo espressioni di questo tipo nelle equazioni esatte di continuità e momento e facendo una media sul tempo si ottengono le equazioni mediate di conservazione del momento che possono essere scritte nella seguente forma:

( )⁼⁰

¶ +¶

¶

¶

i i

x u

t r

r (2.11)

( ) ( ) ( ^{' '})

3 2

j i j l

l ij i

j j i j

i j

i j

i u u

x x

u x

u x u x

x u p

x u

t ru r m d -r

¶ +¶ ú ú û ù ê

ê ë é

÷÷ ø ö çç

è æ

¶ - ¶

¶ +¶

¶

¶

¶ +¶

¶ -¶

¶ = +¶

¶

¶ (2.12)

Le equazioni (3.11) e (3.12) sono dette equazioni RANS e presentano la stessa forma generale delle equazioni esatte di Navier-Stokes, la differenza sta nel fatto che adesso le variabili rappresentano i valori mediati nel tempo.

I termini aggiuntivi -ru_i^'u^'_j, che compaiono nelle equazioni, rappresentano l’effetto della turbolenza e devono essere modellati in modo da chiudere l’equazione (3.12) [1].

2.2.2 Modello Standard k-epsilon

Questo modello appartiene alla classe dei più semplici modelli di turbolenza, ovvero quelli a due equazioni nei quali la soluzione di due equazioni di trasporto separate permette il calcolo della velocità turbolenta e del fattore di scala indipendente l’uno dall’altro.Questo modello, proposto da Launder e Spalding [2] è stato, ed è ancora oggi, il modello che garantisce un ottimo compromesso tra affidabilità, costo ed accuratezza della soluzione in un ampio campo di problemi ingegneristici.

Le equazioni del modello Standard k-epsilon sono derivate dall’assunzione che il flusso sia completamente turbolento e che l’effetto della viscosità molecolare sia trascurabile;

il modello quindi è valido solo per flussi completamente turbolenti.Infatti le componenti del tensore di Reynolds (u_i^'u^'_j) dipendono dalla viscosità turbolenta calcolata a partire da k, energia turbolenta cinetica, e da tasso di dissipazione (viscosa) di energia.

Nel tempo sono state apportate comunque modifiche a tale modello al fine di migliorare le sue prestazioni e sono state implementate due varianti al modello di seguito descritte.

2.2.3 Modello Renormalization-group k-epsilon (RNG)

Questo modello è derivato dalle equazioni istantanee di Navier-Stokes, usando una tecnica matematica denominata “renormalization group”. Tramite uno studio analitico si possono determinare le costanti da utilizzare nel modello ed i termini e le funzioni aggiuntive da utilizzare nell’equazione di trasporto per k ed [3].

Fornisce previsioni migliori per flussi ad elevata curvatura di linee di corrente, bassi numeri di Reynolds e pareti con scambio termico. A causa dei termini aggiuntivi nelle equazioni e del maggior grado di non linearità questo modello comporta un maggior costo, in termini di tempo, rispetto al modello standard. Presenta inoltre caratteristiche di minore affidabilità e stabilità rispetto al metodo standard per risultati che per la maggior parte non sono significativamente migliori.

2.2.4 Modello Realizable k-epsilon (Rk )

Questo modello, Realizable k- [4], differisce dallo standard k- per due importanti elementi : contiene una nuova formulazione per la viscosità turbolenta ed è

caratterizzato da una nuova equazione di trasporto per il tasso di dissipazione basata sull’equazione dinamica della fluttuazione quadratica media della vorticità.

Il modello Rk offre prestazioni superiori rispetto al modello standard nel caso di flussi rotazionali, strato limite sotto forti gradienti avversi di pressione, separazione e bolle di ricircolo.

2.2.5 Modello k-omega

Questo modello risulta essere molto simile al modello k-epsilon, differenziandosi da questo per la definizione del parametro /k che funziona da vincolo per il rapporto tra le due grandezze e dipende dalla forma scelta dell'equazione della conservazione della quantità di moto.

2.2.6 Modello Reynolds Stress (RSM)

Il modello Reynolds Stress (RSM) [5] [6] [7] è il modello di turbolenza più raffinato

chiude il sistema di equazioni di Navier-Stokes risolvendo le equazioni di trasporto per gli sforzi di Reynolds, insieme ad un’equazione relativa al tasso di dissipazione. Ciò significa che sono richieste sette equazioni di trasporto nel caso di flussi 3D e un aumento del tempo computazionale rispetto al modello k- del 50-60%.

2.3 Caratterizzazione dei flussi turbolenti in prossimità di parete Una modellazione adeguata del flusso in prossimità della parete ha importanti

conseguenze sull’affidabilità della soluzione numerica, dal momento che le pareti sono la principale sorgente di vorticità e turbolenza (condizione di non scorrimento sulla parete).

Esistono due diversi metodi per la modellazione del flusso in prossimità della parete:

§ “Wall functions”, nel quale il substrato laminare e la zona intermedia dello strato limite non sono risolti, ma in quelle zone vengono usate formule semi-empiriche dette “wall functions;

§ “Near-wall functions”, nel quale vengono risolte anche la zona intermedia e il substrato laminare fino alla parete.

Il “wall functions” per flussi ad elevato numero di Reynolds permette la riduzione dei tempi di calcolo e risulta essere anche abbastanza accurato.

L’altro modello è usato maggiormente per flussi caratterizzati da un basso numero di Reynolds.

In Fluent le “wall functions” disponibili sono due:

§ “standard wall functions”

§ “non equilibrium wall functions”

Il modello “non equilibrium wall functions” è raccomandato nel caso di flussi separati e gradienti di pressione molto elevati, in quanto tiene in considerazione gli effetti dei gradienti di pressione. Il modello “standard wall functions” fornisce risultati accurati per la maggior parte dei flussi ad elevato numero di Reynolds quando nel flusso non siano presenti elevati gradienti di pressione.

2.4 Settaggi delle impostazioni nelle simulazioni effettuate

Una volta importato in Fluent il file della geometria del modello e della mesh di volume generata, di cui si è parlato nel Capitolo 1, la prima cosa da fare è definire la tipologia di ogni superficie a seconda della funzione svolta da questa nel dominio di calcolo.

Nel caso in esame tutte le superfici costituenti l’auto e il suolo sono state definite come

“wall”, le superfici di separazione tra un box e l’altro come “interior”, le superfici di ingresso e uscita del flusso dal dominio sono state impostate rispettivamente come

“velocity inlet” e “pressure outlet”, le altre superfici del box più esterno come

“simmetry” per simulare l’infinitezza del campo aerodinamico, le superfici sul piano longitudinale come “interface” nel caso del modello intero e “simmetry” per il caso di metà modello (Figura 1).

Dovendo effettuare simulazioni sia stazionarie che non stazionarie selezioniamo dall’apposita finestra l’opzione desiderata (Figura 2).

Figura 1 : Definizione delle tipologie di superfici

Figura 2 : Finestra per la scelta del tipo di solutore della simulazione

Nell’impostazione del caso da lanciare è necessario selezionare il modello viscoso scelto per la chiusura delle RANS; per le nostre simulazioni scegliamo il modello

“Standard k- ” (Figura 3). Come modello per il trattamento del flusso nei pressi della parete useremo il “non equilibrium wall functions”.

Figura 3 : Impostazione modello viscoso

Per tutte le simulazioni effettuate abbiamo proceduto, seguendo la tipica procedura di convergenza, eseguendo inizialmente 100 iterazioni con la discretizzazione delle

equazioni al primo ordine per poi successivamente passare al secondo ordine (Figura 4).

In queste nostre simulazioni non è stata mai attivata l’equazione dell’energia in quanto non vi era l’obiettivo di studiare nessun tipo di scambio termico.

Per concludere la disamina delle impostazioni, vediamo quali sono i valori di

riferimento definiti. L’unica variazione è nel caso di simulazione metà modello per il quale è necessario imporre un superficie di riferimento con valore dimezzato(Figura 5).

Figura 4 :Fattori di sottorilassamento e discretizzazione equazioni