Matematica Discreta
Lezione del giorno 26 ottobre 2009 Funzioni
Data una relazione R dall’insieme A all’insieme B, può avvenire che un elemento aA non sia associato nella relazione R a nessun elemento di B oppure sia associato nella relazione R a più di un elemento di B.
Questa osservazione conduce al concetto di funzione.
Dati gli insiemi A,B, una funzione da A a B è una relazione da A a B tale che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
L’insieme A è detto dominio della funzione, l’insieme B codominio.
Utilizzando i simboli più comuni dell’insiemistica:
appartiene / tale che
qualunque sia, per ogni
esiste
! esiste un solo
allora possiamo affermare che una relazione R dall’insieme A all’insieme B è una funzione da A a B quando:
aA !bB / aRb
(qualunque sia l’elemento a appartenente all’insieme B, esiste un solo elemento b appartenente all’insieme B tale che l’elemento a sia associato nella relazione R all’elemento b).
Esempio: se A= {1,2,-2,3}, B={1,3,4,9}, e se la relazione da A a B è descritta dal predicato P(x,y)=”x2=y” (quindi in pratica un elemento di A è associato ad un elemento di B se il quadrato del primo è uguale al secondo) allora si ottiene una funzione da A a B in quanto il sottoinsieme R del prodotto cartesiano AxB è R={(1,1),(2,4),(-2,4),(3,9)} e si nota che ogni elemento di A è associato ad uno e un solo elemento di B.
Spesso una funzione da A a B è indicata col simbolo f: A B. Dato un elemento a del dominio A, l’unico elemento b del codominio B che è associato all’elemento a è detto corrispondente o immagine di a, ed è indicato con il simbolo f(a).
Nel caso di funzioni matematiche fra insiemi numerici, talvolta una funzione f: A B è definita scrivendo un’espressione del tipo f(x)=….. dove i puntini contengono una formula algebrica nella variabile x, intendendo con ciò che, dato un elemento aA, il corrispondente b=f(a)B si ottiene sostituendo nella formula la variabile con il valore a, e calcolando il risultato. Naturalmente non tutte le formule producono funzioni da A a B, come mostra il seguente esempio.
Esempio: se Z è l’insieme dei numeri interi relativi ed N quello dei numeri naturali (interi positivi), la formula f(x)=x2+1 definisce una funzione da Z a N (perché ad ogni intero relativo a, positivo, negativo o nullo, è associato un unico intero positivo f(a)=a2+1). Invece se Q è l’insieme dei numeri razionali relativi, f(x)=1/(x-2) non definisce una funzione da Z a Q (perché l’intero relativo 2 non ha corrispondente f(2) in Q).
Se la relazione è rappresentata graficamente (con le frecce e di diagrammi di Eulero-Venn), essa è una funzione quando da ogni elemento del dominio A parte una e una sola freccia verso il codominio B.
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che è una funzione da A a B R
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B (l’elemento 2A non ha corrispondente in B).
R
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una relazione che non è una funzione da A a B
(l’elemento 2A ha più di un corrispondente in B).
R
A B
Se la relazione è rappresentata con una matrice, essa è una funzione quando ogni riga contiene un solo valore=1 (e tutti gli altri =0).
La prima matrice rappresenta una relazione che è una funzione, la seconda e la terza no (nella seconda matrice la seconda riga non contiene valori =1, nella terza matrice la seconda riga contiene più di un valore =1):
0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0
1 0 0
1 2 6
2 3 5 6 7
1 2 6
2 5 7
1 2 6
2 3 5 6 7
0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0
Funzioni iniettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta iniettiva quando elementi diversi del dominio A hanno sempre corrispondenti diversi nel codominio B.
Quindi f sarà non iniettiva quando esistono almeno 2 elementi diversi del dominio A che hanno lo stesso corrispondente nel codominio B.
Se f è rappresentata graficamente, la f è iniettiva quando le frecce che partono dagli elementi del dominio A arrivano su elementi tutti diversi nel codominio B (cioè non devono esistere 2 frecce che hanno la “punta” sullo stesso elemento di B).
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione iniettiva
f
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non iniettiva (gli elementi diversi 1 f e 2 del dominio A hanno lo stesso corrispondente)
A B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è iniettiva quando ogni colonna non contiene più di un valore =1 (quindi in ogni colonna non vi sono valori =1 oppure vi è esattamente un solo valore=1).
1 2 6
2 3 5 6 7
1 2 6
2 5 7
In modo formale, per verificare se una funzione è iniettiva si deve dimostrare la seguente implicazione:
a,bA, ab f(a)f(b)
La dimostrazione si può effettuare “per assurdo”: si suppone vera l’ipotesi a,bA, ab, e falsa la tesi (quindi si suppone per assurdo che a,bA, ab ma f(a)=f(b)) e si cerca di pervenire ad una contraddizione logica (per lo più si perviene alla contraddizione a=b).
Esempio: Se f: N Z è la funzione definita da f(x)=3x-4 (notare che è effettivamente una funzione da N a Z….), allora f è iniettiva. Infatti se per assurdo supponiamo a,bA, ab, f(a)=f(b), si ha:
3a-4=3b-4
da cui, sommando 4 ad ambo i membri e dividendo ambo i membri per 3, si ottiene a=b (contraddizione).
Funzioni surgettive
Dati gli insiemi A,B una funzione f: A B è detta surgettiva quando ogni elemento b del codominio B é corrispondente di almeno un elemento a del dominio A.
Quindi f sarà non surgettiva quando esiste qualche elemento del codominio B che non è corrispondente di nessun elemento del dominio A.
Se f è rappresentata graficamente, la f è surgettiva quando ogni elemento di B è coperto da almeno una punta delle frecce che partono dagli elementi del dominio A.
Esempio:
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione surgettiva
f
A B
Esempio di rappresentazione grafica di una funzione non surgettiva (l’elemento 5 di B f non è corrispondente di nessun elemento di A) A B
Se f è rappresentata con una matrice, la f è surgettiva quando ogni colonna contiene almeno un valore =1 (quindi non vi sono colonne con tutte le caselle contenenti valori =0).
1 2 3 6
2 5 7
1 2 3 6
2 5 7
Per verificare formalmente se una funzione f: A B é surgettiva, fissato un generico elemento bB, si cerca almeno un elemento aA tale che si abbia f(a)=b: se un tale elemento aA esiste sempre (comunque sia preso bB) allora f é surgettiva; se invece per alcuni valori di bB un tale elemento aA non esiste, allora la f non è surgetttiva. Si tratta in pratica di risolvere un’equazione in cui b è noto, ed a è l’incognita di cui si cercano soluzioni nel dominio A.
Esempio: se A é l’insieme dei numeri interi >8, la funzione f: A N definita da f(x)=x-8 é surgettiva. Infatti, fissato un generico elemento bN (quindi b è un intero positivo), la ricerca di un valore aA tale che si abbia f(a)=b porta all’equazione a-8=b, che ha (nell’incognita a) la soluzione a=b+8 (soluzione il cui valore appartiene al dominio A, perché, essendo b un intero positivo, certamente a=b+8 è un intero >8).
Invece la funzione f: A N definita da f(x)=x-5 non é surgettiva. Infatti, fissato un generico elemento bN (quindi b è un intero positivo), la ricerca di un valore aA tale che si abbia f(a)=b porta all’equazione a-5=b, che ha (nell’incognita a) la soluzione a=b+5 (soluzione che però, per alcuni valori di b, può non appartenere al dominio A: per esempio per b=2 si ha a=7A)
Teorema. Se A,B sono insiemi finiti, se A=n, B=m, e se f: A B è una funzione surgettiva, allora nm.
Dimostrazione:
Elenchiamo esplicitamente gli m elementi distinti di B:
B={b1, b2, b3, …….., bm}
Poiché per ipotesi f è surgettiva, troviamo almeno un elemento c1A tale che f(c1)=b1; per lo stesso motivo troviamo almeno un elemento c2A tale che f(c2)=b2 e così procediamo fino a trovare almeno un elemento cmA tale che f(cm)=bm.
Gli elementi trovati c1, c2, …. ,cm sono tutti diversi fra loro (se 2 fra essi coincidessero, la f non sarebbe più una funzione) quindi il loro numero è esattamente m.
L’insieme A contiene dunque almeno questi m elementi, cioé la cardinalità di A è non inferiore ad m, ossia nm (tesi).
Una conseguenza immediata del teorema precedente è la seguente: se A,B sono insiemi finiti e se
A<B allora non è possibile costruire una funzione surgettiva f: A B.
Cardinalità di un insieme
Se A è un insieme finito, ossia che contiene un numero finito di elementi, si chiama cardinalità di A (e si indica con il simbolo A) il numero degli elementi distinti di A.
Per esempio se A={1,a,2,3,b} si ha A=5. Ovviamente =0.
Per il momento, se A è un insieme infinito (ossia non finito), ci limiteremo a dire che la sua cardinalità è infinita (in seguito approfondiremo l’argomento).
Teorema. Se A,B sono insiemi finiti, se A=n, B=m, e se f: A B è una funzione iniettiva, allora nm.
Dimostrazione:
Elenchiamo esplicitamente gli n elementi distinti di A:
A={a1, a2, a3, …….., an}
(dove a1 indica l’elemento al primo posto nell’elenco, a2 quello al secondo posto,….., an quello al posto n, ultimo nell’elenco).
Poiché per ipotesi f è iniettiva, i corrispondenti:
f(a1), f(a2), f(a3),……, f(an)
sono elementi tutti diversi nel codominio B, quindi tali corrispondenti sono esattamente in numero di n. L’insieme B contiene dunque almeno n elementi, e allora la cardinalità di B non è inferiore ad n, cioè nm (tesi).
Una conseguenza immediata del teorema precedente è la seguente: se A,B sono insiemi finiti e se
A=n >B=m allora non esiste nessuna funzione iniettiva f: A B.
Teorema. Se A,B sono insiemi finiti, se A=n, B=m, e se f: A B è una funzione surgettiva, allora nm.
Dimostrazione:
Elenchiamo esplicitamente gli m elementi distinti di B:
B={b1, b2, b3, …….., bm}
Poiché per ipotesi f è surgettiva, troviamo almeno un elemento a1A tale che f(a1)=b1; per lo stesso motivo troviamo almeno un elemento a2A tale che f(a2)=b2 e così procediamo fino a trovare almeno un elemento amA tale che f(am)=bm.
Gli elementi trovati c1, c2, …. ,cm sono tutti diversi fra loro (se 2 fra essi coincidessero, la f non sarebbe più una funzione) quindi il loro numero è esattamente m.
L’insieme A contiene dunque almeno questi m elementi, cioé la cardinalità di A è non inferiore ad m, ossia nm (tesi).
Una conseguenza immediata del teorema precedente è la seguente: se A,B sono insiemi finiti e se
A<B allora non è possibile costruire una funzione surgettiva f: A B.
