Exercices de cours du chapitre II
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Exercice II-2 : Position d’équilibre, stabilité
Considérons une tige de masse m de longueur a. Cette tige articulée en O, est reliée au bâtit par un ressort de torsion de raideur C non contraint pour θ = 0 . Déterminer la (les) position(s) d’équilibre, et les conditions de stabilité de ces positions.
θ c
g G
Cette même tige est maintenant reliée au bâtit par un ressort linéaire de raideur k de longueur à vide A
o.
A l’équilibre θ = 0 la longueur du ressort est A
eÉcrivez l’équation des petits mouvements autour de cette position, en déduire la condition de stabilité de la position d’équilibre.
θ G
g k
Corrigé de l’exercice II-2 :
Mise en équations : Un paramètre : θ Î Liaisons respectée : δ T
L= 0
2
2 2
2 3
Ec = I θ = ma θ
2
(
0) cos
2 2
C a
Ep = θ θ − + mg θ + Cte
D
0
δ T = Pas d’autre effort donné
Équation de Lagrange :
2
sin 0
3 2
ma a
mg C
θ − θ + θ =
Cette équation est non linéaire en θ Î linéarisation par rapport à la position d’équilibre Position d’équilibre
θ = 0 dans l’équation du mouvement Î sin 0
2
éqmg a θ C θ
⎛ − + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠
La position d’équilibre peut être obtenue en écrivant 0
éq
Ep θ
⎛ ∂ ⎞ =
⎜ ∂ ⎟
⎝ ⎠
Étude graphique : Pour 2C ≥ mga
une seule position d’équilibre θ
éq= 0
Pour 2C < mga
3 positions d’équilibre ( − θ
éq, 0, θ
éq)
2 cas doivent être envisagés :
sin θ
e
θ
θ
2 / C mga ≥ 1
e π
θ
−
2 / C mga < 1
Petits mouvements par rapport à θ
éq= 0
L’équation linéarisée est :
2
3 2 0
ma a
C mg
θ + ⎛ ⎜ ⎝ − ⎞ ⎟ ⎠ θ =
Pour C ≥ mga / 2 l’équilibre est stable, petits mouvements de pulsation
2( )
2
3 / 2
o
C mga ω = − ma
Ressort non contraint pour
θ = 0
Î
θ
0= 0
.Exercices de cours du chapitre II
8 Petits mouvements par rapport à θ
éq≠ 0
On pose θ θ =
éq+ α
L’équation linéarisée est :
2( sin cos ) ( ) 0
3 2
e e ema a
mg C
α − θ α + θ + θ α + =
En simplifiant par sin 0
2
éqmg a θ C θ
⎛ − + ⎞ =
⎜ ⎟
⎝ ⎠ Î
2
cos 0
3 2
ema a
C mg
α + ⎛ ⎜ ⎝ − θ α ⎞ ⎟ ⎠ = Pour 1 > 2 / C mga > cos θ
éql’équilibre est stable
Petits mouvements de pulsation
2( )
2
3 cos / 2
'
oC mga
éqma ω = − θ
Problème 2 :
Un paramètre : θ Î Liaisons respectée : δ T
L= 0
2
2 2
2 3
Ec = I θ = ma θ
2
2 Ep = k ( A A −
0) + mga cos θ + Cte
Il faut exprimer A en fonction de θ : A
2= ( a sin θ ) (
2+ A
e+ a (1 cos ) − θ )
2θ G
g k
Petits mouvements par rapport à θ = 0 Calculons l’expression à l’ordre 1 de Ep
θ
∂
∂ : Ep (
0) ( / 2) sin
k mga θ
θ θ
∂ = − ∂ −
∂ ∂
A A A
Or a
2sin cos θ θ (
ea (1 cos ) θ ) a sin θ θ
∂ = + + −
∂
A A A Î a (
ea ) sin θ
θ
∂ = +
∂
A A A
D’où Ep (1
0/ ) (
e) sin ( / 2) sin
k a a θ mga θ
θ
∂ = − + −
∂ A A A
Soit à l’ordre 1 ∂ ∂ Ep θ ≅ ( ka (1 − A A A
0/ ) (
e+ a ) − mga / 2 ) θ
On vérifie que ( ∂ Ep / ∂ θ )
θ=0= 0 Î θ = 0 est bien une position d’équilibre La position d’équilibre sera stable si 2 (1 k − A A A
0/ ) (
e+ a ) > mg
Or A A =
e+ o ( θ
2) Î 2 ( k A
e− A
0) 1 ( + a / A
e) > mg
( A
e− A
0) représente la précontrainte dans le ressort (obligatoirement positive) pour que la position d’équilibre soit stable (ressort en traction).
La pulsation des oscillations dépend de cette précontrainte
23 2 (
0) 1 ( / )
2
e e
o
