Testi degli esami dell'anno accademico 2006/07

(1)

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II

15 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di integrale indefinito.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalla curva y = x ² − 2x e dalle rette y = x e y = ¹ ₂ x.

Risposta: Area= ⁹¹ ₄₈ .

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = √

x e poi per parti l’integrale indefinito 1

2 Z √

x e

√ x dx.

Risposta: I = (x − 2 √ x + 2)e

√ x + k.

Esercizio 3. Calcolare l’integrale doppio Z Z

D

(1 − x) dx dy,

dove D ` e la figura piana delimitata dalla parabola y = −x ² + 2 e la retta y = x.

Risposta: I = ²⁷ ₄ .

15 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di integrale indefinito.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalla curva y = −x ² + 2x e dalle rette y = −x e y = − ¹ ₂ x.

Risposta: Area= ⁹¹ ₄₈ .

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = √

x e poi per parti l’integrale indefinito 1

2 Z √

x cos √ x dx.

Risposta: I = x sin √ x + 2 √

x cos √

x − 2 sin √ x + k.

Esercizio 3. Calcolare l’integrale doppio Z Z

D

(x − 1) dx dy,

dove D ` e la figura piana delimitata dalla parabola y = x ² − 2 e la retta y = −x.

Risposta: I = − ²⁷ ₄ .

16 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di gradiente di una funzione di due variabili.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dall’asse y, dai grafici delle funzioni y = e ^x e y = sin x, e dalla retta x = ^π ₂ .

Risposta: Area=e

^π²

− 2.

(2)

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = log x e poi per parti l’integrale indefinito

Z log x sin(log x)

x dx.

Risposta: I = − log x cos(log x) + sin(log x) + k.

Esercizio 3. Determinare la natura dei punti critici della funzione

f (x, y) = x ³ − 4xy + y ²

e calcolare il gradiente nel punto (1, 1).

Risposta: Punti critici: A(0, 0) punto di sella, B( ⁸ ₃ , ¹⁶ ₃ ) punto di minimo locale;

∇f (1, 1) = (−1, −2).

16 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di gradiente di una funzione di due variabili.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana del primo quadrante delimitata dai grafici delle funzioni y = e ^x , y = cos x, e dalla retta x = ^π ₂ .

Risposta: Area=e

^π²

− 2.

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = log x e poi per parti l’integrale indefinito

Z log x cos(log x)

x dx.

Risposta: I = log x sin(log x) + cos(log x) + k.

Esercizio 3. Determinare la natura dei punti critici della funzione

f (x, y) = y ³ − 2xy + x ²

e calcolare il gradiente nel punto (1, 1).

Risposta: Punti critici: A(0, 0) punto di sella, B( ² ₃ , ² ₃ ) punto di minimo locale;

∇f (1, 1) = (0, 1).

(3)

6 Febbraio 2007 Teoria: Definizione di media integrale e relativo teorema.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = x

p(x

3

² + 1) ² sin p

³

x ² + 1, 1) calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = √

³

x ² + 1;

2) calcolare la media integrale di f (x) in [0, 1].

Risposta: 1) I = − ³ ₂ cos( √

³

x ² + 1) + k;

2) M = − ³ ₂ cos( √

³

2) + ³ ₂ cos 1.

Esercizio 2. Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

y ² dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x ² }.

Risposta: I = ⁴⁰³ ₈₄ .

Esercizio 3. Trovare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) = p

y − x ² + 4x + 5.

Dire, giustificando la risposta, se la funzione f ha punti critici.

Risposta: Dominio: y ≥ x ² − 4x − 5; la funzione non ha punti critici.

6 Febbraio 2007 Teoria: Definizione di media integrale e relativo teorema.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = x

p(x

4

² + 2) ³ cos p

⁴

x ² + 2, 1) calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = √

⁴

x ² + 2;

2) calcolare la media integrale di f (x) in [0, 1].

Risposta: 1) I = 2 sin √

⁴

x ² + 2 + k.

2) M = 2 sin √

⁴

3 − 2 sin √

⁴

2. Esercizio 2. Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

y dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ≤ 2, x ² ≤ y ≤ x ³ }.

Risposta: I = ²⁰⁹ ₃₅ .

Esercizio 3. Trovare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) = p

y + x ² − 2x − 3.

(4)

Dire, giustificando la risposta, se la funzione f ha punti critici.

Risposta: Dominio: y ≥ −x ² + 2x + 3; la funzione non ha punti critici.

3 Aprile 2007 Teoria: Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = 1

√ x log(3 + √ x), calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = 3 + √

x.

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = 4x − x ² e y = x.

Esercizio 3.

a) Determinare la natura dei punti critici della funzione

f (x, y) = x ² y − y ² − 8x.

b) Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

f (x, y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

3 Aprile 2007 Teoria: Il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = 1

√ x log( √ x − 5), calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = √

x − 5.

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = x ² − 3x e y = −x.

Esercizio 3.

a) Determinare la natura dei punti critici della funzione

f (x, y) = xy ² − x ² − 8y.

b) Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

f (x, y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

13 Giugno 2007 Teoria: Massimi e minimi di una funzione reale di due variabili reali.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = 2 sin x cos x − cos x

sin ² x ,

calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = sin x.

(5)

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = sin x, y = 1, x = π e x = − π

2 . Esercizio 3.

a) Verificare se la funzione

f (x, y) = x ² − xy + y ³ + 2y ha punti critici.

b) Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

f (x, y) dx dy, dove D = [0, 2] × [0, 1].

26 Giugno 2007 Teoria: Il teorema fondamentale del calcolo integrale.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = 1 e ^x + e ^−x , calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = e ^x .

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = e ^x , y = 1

x + 1 e x = 4.

Esercizio 3.

a) Calcolare

Z Z

D

(cos x + cos y) dx dy, dove D ` e il quadrato [0, ^π ₂ ] × [0, ^π ₂ ].

b) Determinare sullo stesso quadrato D la natura degli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = cos x + cos y.

10 Luglio 2007 Teoria: Definizione di media integrale e relativo teorema.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = log(x ³ − 4x) · (9x ² − 12), calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = x ³ − 4x.

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = x(x − 2), y = x + 4 e y = −x + 6.

Esercizio 3.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, 1] × [0, π

2 ] l’integrale doppio Z Z

D

x cos y dx dy, .

b) Determinare sullo stesso rettangolo D la natura degli eventuali punti critici della funzione

f (x, y) = x cos y.

(6)

5 Settembre 2007 Teoria: Principali proprieta’ degli integrali definiti.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = x sin(2x ² − 1), calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = 2x ² − 1.

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = x e y = 1/x nell’intervallo [0, 2].

Esercizio 3.

a) Calcolare sul rettangolo D = [0, 1] × [1, 2] l’integrale doppio Z Z

D

x ²

y dx dy, .

b) Determinare sul rettangolo [0, 1] × [0, π/2] la natura degli eventuali punti critici della funzione f (x, y) = (x ² − x) sin y.

13 Settembre 2007 Teoria: Definizione di primitiva e teorema di caratterizzazione.

Esercizio 1. Calcolare

Z (log √ x) ³

x dx mediante la sostituzione y = log √ x.

Esercizio 2. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni y = x, x = 0, x = π, y = sin x.

Testi degli esami dell'anno accademico 2006/07

Politecnico di Torino – II Facolt` a di Architettura Esame di Istituzioni di Matematiche II

15 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di integrale indefinito.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalla curva y = x 2 − 2x e dalle rette y = x e y = 1 2 x.

Risposta: Area= 91 48 .

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = √

x e poi per parti l’integrale indefinito 1

2 Z √

x e

√ x dx.

Risposta: I = (x − 2 √ x + 2)e

√ x + k.

Esercizio 3. Calcolare l’integrale doppio Z Z

D

(1 − x) dx dy,

dove D ` e la figura piana delimitata dalla parabola y = −x 2 + 2 e la retta y = x.

Risposta: I = 27 4 .

15 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di integrale indefinito.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalla curva y = −x 2 + 2x e dalle rette y = −x e y = − 1 2 x.

Risposta: Area= 91 48 .

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = √

x e poi per parti l’integrale indefinito 1

2 Z √

x cos √ x dx.

Risposta: I = x sin √ x + 2 √

x cos √

x − 2 sin √ x + k.

Esercizio 3. Calcolare l’integrale doppio Z Z

D

(x − 1) dx dy,

dove D ` e la figura piana delimitata dalla parabola y = x 2 − 2 e la retta y = −x.

Risposta: I = − 27 4 .

16 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di gradiente di una funzione di due variabili.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dall’asse y, dai grafici delle funzioni y = e x e y = sin x, e dalla retta x = π 2 .

Risposta: Area=e

− 2.

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = log x e poi per parti l’integrale indefinito

Z log x sin(log x)

x dx.

Risposta: I = − log x cos(log x) + sin(log x) + k.

Esercizio 3. Determinare la natura dei punti critici della funzione

f (x, y) = x 3 − 4xy + y 2

e calcolare il gradiente nel punto (1, 1).

Risposta: Punti critici: A(0, 0) punto di sella, B( 8 3 , 16 3 ) punto di minimo locale;

∇f (1, 1) = (−1, −2).

16 Gennaio 2007 Teoria: Definizione di gradiente di una funzione di due variabili.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana del primo quadrante delimitata dai grafici delle funzioni y = e x , y = cos x, e dalla retta x = π 2 .

Risposta: Area=e

− 2.

Esercizio 2. Calcolare mediante la sostituzione z = log x e poi per parti l’integrale indefinito

Z log x cos(log x)

x dx.

Risposta: I = log x sin(log x) + cos(log x) + k.

Esercizio 3. Determinare la natura dei punti critici della funzione

f (x, y) = y 3 − 2xy + x 2

e calcolare il gradiente nel punto (1, 1).

Risposta: Punti critici: A(0, 0) punto di sella, B( 2 3 , 2 3 ) punto di minimo locale;

∇f (1, 1) = (0, 1).

6 Febbraio 2007 Teoria: Definizione di media integrale e relativo teorema.

Esercizio 1. Data la funzione

f (x) = x

p(x

2 + 1) 2 sin p

x 2 + 1, 1) calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = √

x 2 + 1;

2) calcolare la media integrale di f (x) in [0, 1].

Risposta: 1) I = − 3 2 cos( √

x 2 + 1) + k;

2) M = − 3 2 cos( √

2) + 3 2 cos 1.

Esercizio 2. Calcolare l’integrale doppio

Z Z

D

y 2 dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R 2 : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x 2 }.

Risposta: I = 403 84 .

Esercizio 3. Trovare e disegnare il dominio della funzione f (x, y) = p

y − x 2 + 4x + 5.

Dire, giustificando la risposta, se la funzione f ha punti critici.

Risposta: Dominio: y ≥ x 2 − 4x − 5; la funzione non ha punti critici.

6 Febbraio 2007 Teoria: Definizione di media integrale e relativo teorema.

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalla curva y = x ² − 2x e dalle rette y = x e y = ¹ ₂ x.

Risposta: Area= ⁹¹ ₄₈ .

dove D ` e la figura piana delimitata dalla parabola y = −x ² + 2 e la retta y = x.

Risposta: I = ²⁷ ₄ .

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dalla curva y = −x ² + 2x e dalle rette y = −x e y = − ¹ ₂ x.

Risposta: Area= ⁹¹ ₄₈ .

dove D ` e la figura piana delimitata dalla parabola y = x ² − 2 e la retta y = −x.

Risposta: I = − ²⁷ ₄ .

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata dall’asse y, dai grafici delle funzioni y = e ^x e y = sin x, e dalla retta x = ^π ₂ .

f (x, y) = x ³ − 4xy + y ²

Risposta: Punti critici: A(0, 0) punto di sella, B( ⁸ ₃ , ¹⁶ ₃ ) punto di minimo locale;

Esercizio 1. Determinare l’area della figura geometrica piana del primo quadrante delimitata dai grafici delle funzioni y = e ^x , y = cos x, e dalla retta x = ^π ₂ .

f (x, y) = y ³ − 2xy + x ²

Risposta: Punti critici: A(0, 0) punto di sella, B( ² ₃ , ² ₃ ) punto di minimo locale;

² + 1) ² sin p

x ² + 1, 1) calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = √

x ² + 1;

Risposta: 1) I = − ³ ₂ cos( √

x ² + 1) + k;

2) M = − ³ ₂ cos( √

2) + ³ ₂ cos 1.

y ² dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ≤ 2, x ≤ y ≤ x ² }.

Risposta: I = ⁴⁰³ ₈₄ .

y − x ² + 4x + 5.

Risposta: Dominio: y ≥ x ² − 4x − 5; la funzione non ha punti critici.

² + 2) ³ cos p

x ² + 2, 1) calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = √

x ² + 2;

x ² + 2 + k.

y dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 1 ≤ x ≤ 2, x ² ≤ y ≤ x ³ }.

Risposta: I = ²⁰⁹ ₃₅ .

y + x ² − 2x − 3.

Risposta: Dominio: y ≥ −x ² + 2x + 3; la funzione non ha punti critici.

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = 4x − x ² e y = x.

f (x, y) = x ² y − y ² − 8x.

f (x, y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = x ² − 3x e y = −x.

f (x, y) = xy ² − x ² − 8y.

f (x, y) dx dy, dove D = {(x, y) ∈ R ² : 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1}.

sin ² x ,

f (x, y) = x ² − xy + y ³ + 2y ha punti critici.

f (x) = 1 e ^x + e ^−x , calcolare R f (x) dx mediante la sostituzione y = e ^x .

Esercizio 2. Determinare l’area della figura geometrica piana delimitata da y = e ^x , y = 1

(cos x + cos y) dx dy, dove D ` e il quadrato [0, ^π ₂ ] × [0, ^π ₂ ].