DEFINITI
A. Fig`a Talamanca 27 ottobre 2010
2
0.1 Introduzione
C’`e un modo apparentemente semplice ed intuitivo per introdurre l’integrale (definito) di una funzione f definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b], almeno nell’ipotesi che f assma solo valori non negativi, cio`e quando f (x) ≥ 0 per tutti gli x. In questo caso potremmo dire cheRb
a f (x)dx `e semplicemente l’area della figura piana delimitata dall’intervallo [a, b] dell’asse delle x, dal grafico della funzione, e dai segmenti verticali che congiungono i punti di coordinate (a, 0) e (b, 0) rispettivamente ai punti di coordinate (a, f (a)) e (b, f (b)).
Una definizione perfettamente analoga si applicherebbe anche al caso in cui f assuma solo valori non positivi. Baster`a passare alla funzione −f (che assume solo valori non negativi) e definire Rb
a f (x)dx = −Rb
a(−f )(x)dx.
Infine, per le funzioni che assumono valori sia positivi che negativi, pos- siamo introdurre le funzioni
f+(x) = max(0, f (x)), e f−(x) = −f (x) + f+(x).
Entrambe f+ ed f− assumono valori non negativi, risultando f (x) = f+(x) − f−(x).
Possiamo allora coerentemente con le precedenti definizioni definire Z b
a
f (x)dx = Z b
a
f+(x)dx − Z b
a
f−(x)dx.
Il problema con questa definizione, apparentemente semplice, `e che, in generale, non sappiamo come si possa assegnare un’area ad una figura piana qualsiasi. In altre parole, se definiamo l’integrale in termini di area, ci resta da definire che cosa `e e come si calcola l’area di una arbitraria figura piana.
Facciamo prima di tutto un esempio. Consideriamo la funzione f (x) = x2 nell’intervallo [0, 1]. La figura delimitata dall’asse delle x, il grafico della fun- zione e la retta di equazione x = 1 `e molto regolare ed `e naturale chiedersi quale sia la sua area. A questa domanda ha dato risposta il matemati- co siracusano Archimede che `e vissuto nel terzo secolo a.C.. Archimede ha dimostrato che l’area di questa figura, e cio`e Rb
a x2dx, secondo la nostra definizione `e 1/3, approssimando la figura con unioni di rettangoli di cui era facile calcolare l’area. Il procedimento di Archimede `e illustrato nel libro di testo da pag. 439 a pag. 444.
Il caso f (x) = x2 riguarda una funzione molto regolare. Noi ci proponi- amo di estendere, in linea di principio, il metodo di Archimede a funzioni
molto pi`u generali. Ho detto ”in linea di principio” perch´e l’effettivo calcolo dell’integrale, al di l`a della definizione sar`a possibile solo per alcune funzioni, quelle che risultano essere le ”derivate” di funzioni elementari. Per le altre dovremo accontentarci di una approssimazione, che per`o, con i metodi nu- merici moderni, ed i moderni calcolatori pu`o raggiungere una straordinaria precisione.
0.2 Somme superiori ed inferiori di una fun- zione limitata
Supponiamo che f sia una funzione definita su un intervallo chiuso e limitato [a, b] e limitata sia superiormente che inferiormente. Questo significa che i valori f (x) di f ammettono un minorante ed un maggiorante. Possiamo suporre che m sia il pi`u grande dei minoranti di questi valori e che M sia il pi`u piccolo dei maggioranti. In altre parole suponiamo che:
m = inf{f (x) : a ≤ x ≤ b}
e
M = sup{f (x) : a ≤ x ≤ b}.
Una partizione dell’intervallo [a, b] `e una successione di n + 1 punti a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, appartenenti a [a, b], che determinano n sottointervalli chiusi e limitati [xi−1, xi] per i = 1, . . . n. Per ognuno degli intervalli chiusi della partizione sono definiti l’estremo inferiore mie l’estremo superiore Mi dei valori assunti in ciascun intervallo dalla funzione f . In altre parole possiamo definire
mi = inf{f (x) : xi−1≤ x ≤ xi}), e
Mi = sup{f (x) : xi−1 ≤ x ≤ xi}.
Risulta allora mi ≤ f (t) ≤ Mi per tutti i punti t ∈ [xi−1, xi].
Indichiamo con P la partizione definita dalla successione a = x0 < x1 <
. . . xn= b. Allora per la funzione limitata f , in relazione alla partizione sono definiti i numeri
s(f, P ) = Xn
i=1
mi(xi− xi−1) ≤ Xn
i=1
Mi(xi− xi−1) = S(f, P ),
che si chiamano rispettivamente somma inferiore e somma superiore rispetto alla partizione P .
4
E’ evidente che essendo sempre mi ≤ Mi, risulter`a anche s(f, P ) ≤ S(f, P ). Possiamo per`o dire qualcosa di pi`u. Se P1 e P2 sono due partizioni diverse risulta ancora
s(f, P1) ≤ S(f, P2).
In altre parole qualsiasi somma inferiore `e maggiorata da qualsiasi somma superiore. Per dimostrare questo fatto importante, osserviamo prima di tutto che date due partizioni P1 e P2 `e sempre possibile formare la partizione che consiste dei punti di P1 e dei punti di P2 che consiste cio`e dei punti di P1∪P2. Detta quindi Q = P1∪ P2, risulta,
s(f, Q) ≤ S(f, Q).
A questo punto resta da dimostrare che
s(f, P1) ≤ s(f, Q) ≤ S(f, Q) ≤ S(f, P2). (1) Di questa successione di disuguglianze solo la prima e l’ultima sono da dimostrare. Esse sono la conseguenza del seguente risultato generale
Lemma 1 . Se P `e una partizione e Q una partizione che contiene tutti i punti di P , allora
s(f, P ) ≤ s(f, Q), e S(f, Q) ≤ S(f, P ).
dimostrazione. Basta considerare il caso in cui Q `e ottenuta da P aggiun- gendo un punto. Il caso generale segue aggiungendo successivamente, uno per uno, i punti di Q che non sono in P . Se a = x0 < x1 < · · · < xn = b `e la par- tizione P e Q `e ottenuta aggiungendo il punto y nell’intervallo (xi−1, xi), la somma s(f, Q) differir`a dalla somma s(f, P ) solo perch´e al posto dell’adden- do mi(xi− xi−1) avremo la somma dei due addendi m0i(y − xi−1) + m00i(xi− y).
Osserviamo che mi(xi− xi−1) = mi(y − xi−1) + mi(xi − y), e che m0i ed m00i sono estremi inferiori di insiemi contenuti nell’insieme di cui mi `e l’estremo inferiore. Pertanto m0i ≥ mi e m00i ≥ mi. Questo dimostra che m0i(y − xi−1) + m00i(xi− y) ≥ mi(xi− xi−1) da cui segue la prima disuguglianza della tesi. La seconda disuguaglianza segue con un ragionamento analogo.
Osservazione 1 Oltre a dimostrare la (1) il Lemma dimostra che se si ag- giungono punti ad una partizione le corrispondenti somme inferiori possono salire, ma certamente non scendono, mentre le corrispondenti somme supe- riori possono scendere, ma certamente non salgono. Questo ci fa sperare che, per lo meno per alcune funzioni le somme inferiori ottenute infittendo le partizioni possano avvicinarsi alle somme superiori parimenti ottenute in- fittendo le partizioni. Osserviamo pure che la partizione che consiste solo di
due punti a = x0 < x1 = b, d`a luogo alla somma inferiore m(b − a) e alla somma superiore M(b − a). Per quanto si `e detto risulter`a quindi per tutte le altre partizioni P
m(b − a) ≤ s(f, P ) ≤ S(f, P ) ≤ M(b − a).
0.3 Funzioni integrabili ed integrale
Data una funzione limitata f , consideriamo l’insieme delle somme inferiori s(f, P ), al variare delle partizioni. Questo insieme `e maggiorato da qual- siasi somma superiore, e pertanto ammette un estremo superiore che sar`a anch’esso maggiorato da qualsiasi somma superiore. Analogamente l’insieme delle somme superiori S(f, P ) risulta minorato da qualsiasi somma inferiore e pertanto ammette un estremo inferiore che risulta minorato da qualsiasi somma inferiore. Risulta quindi
sup{s(f, P ) : P una partizione } ≤ inf{S(f, P ) : P una partizione } (2) I due numeri definiti dalla (2) possono in realt`a essere uguali quando ci le somme inferiori si avvicinano alle somme superiori. Cio`e quando si verificano le condizioni indicate nella definizione che segue.
Definizione 1 . Sia f una funzione limitata definita sull’intervallo [a, b].
La funzione si dice integrabile (secondo Riemann) se per ogni ε > 0 esiste una partizione P dell’intervallo [a, b] tale che
S(f, P ) − s(f, P ) < ε.
In tal caso il valore comune
sup{s(f, P ) : P una partizione } = inf{S(f, P ) : P una partizione }, (3) si chiama integrale della funzione f nell’intervallo [a, b] e si indica con il
simbolo Z b
a
f (x)dx. (4)
Proposizione 1 . Se f `e una funzione crescente nell’intervallo [a, b], allora f `e integrabile.
dimostrazione. Sia ε > 0 dobbiamo trovare una partizione P tale che S(f, P ) − s(f, P ) < ε. Scegliamo un numero naturale n cos`ı grande che sia verificata la disuguaglianza
(f (b) − f (a))(b − a) < nε,
6
e dividiamo l’intervallo [a, b] in n parti uguali. In altre parole scegliamo la partizione a = x0 < x1 < · · · < xn = b, con xi = a + i(b−a)n , e, naturalmente i = 0, 1, . . . n. Osserviamo che poich´e f `e crescente mi = f (xi−1) e Mi = f (xi). Pertanto
S(f, P ) − s(f, P ) = Xn
i=1
f (xi)(xi− xi−1) − Xn
i=1
f (xi−1)(xi− xi−1) =
Xn i=1
(f (xi) − f (xi−1))(xi− xi−1).
Ma per tutti gli i, xi− xi−1= b−an . Pertanto la scelta di n garantisce che,
S(f, P ) − s(f, P ) = b − a n
Xn i=1
f (xi) − f (xi−1) = (f (b) − f (a))b − a n < ε.
Naturalmente un ragionamento analogo ci garantisce che una funzione de- crescente `e integrabile. Il prossimo lemma ci consentir`a di estendere questo risultato alle funzioni che ma che sono ”monotone a tratti” come verr`a spiegato in seguito.
Lemma 2 . Supponiamo che f sia definita sull’intervallo [a, b] e che c ∈ (a, b). Supponiamo inoltre che f risulti integrabile negli intervalli [a, c] e [c, a], allora f `e integrabile in [a, b] e risulta
Z b
a
f (x)dx = Z c
a
f (x)dx + Z b
c
f (x)dx.
dimostrazione. Dobbiamo dimostrare che dato ε > 0 esiste una partizione P dell’intervallo [a, b], tale che
S(f, P ) − s(f, P ) < ε.
Poich´e f `e integrabile negli intervalli [a, c] e [c, a], sappiamo che esistono partizioni P0 dell’intervallo [a, c] e P00 dell’intervallo [c, b], tali che
S(f, P0) − s(f, P0) < ε/2, e
S(f, P00) − s(f, P00) < ε/2.
Sia P = P0∪ P00, la partizione di [a, b] ottenuta considerando insieme i punti di P0 e i punti di P00 (tra i quali certamente il punto c). Allora
s(f, P ) = s(f, P0) + s(f, P00),
e
S(f, P ) = S(f, P0) + S(f, P00).
Pertanto
S(f, P ) − s(f, P ) < ε/2 + ε/2, che dimostra l’asserto.
Un corollario di questo lemma `e che se l’intervallo [a, b] `e diviso in sot- tointervalli su ognuno dei quali la funzione f `e integrabile, allora la stessa funzione f `e integrabile su tutto l’intervallo [a, b]. Questo corollario si appli- ca quindi alle funzioni che sono ”monotone a tratti”, cio`e alle funzioni che sono monotone (crescenti o decrescenti) sui sottointervalli di una partizione di [a, b]. In altre parole suponiamo che a = c0 < c1 < c2 < . . . ck = b e supponiamo che la funzione f , definita su [a, b] risulti crescente, ovvero de- crescente su ognuno degli intervalli [cj, cj−1]. Allora per la Proposizione 1, f risulta integrabile su ognuno degli intervalli [cj−1, cj]. Pertanto, per il Lemma 2 (o meglio per un suo naturale corollario) f risulta integrabile in [a, b].
Il risultato che abbiamo appena enunciato ci consente di classificare come integrabili (negli intervalli in cui sono definite e risultano limitate) molte delle funzioni elementari, ad esempio i polinomi,le funzioni razionali, le funzioni trigonometriche e le loro inverse. Ci sono per`o altre funzioni integrabili che non sono ”monotone a tratti”. Un esempio `e fornito dalla funzione (che possiamo considerare definita su un intervallo chiuso e limitato che contiene lo zero) che vale 0 in 0 e x sin(1/x) nei punti diversi da zero. Questa funzione risulta continua e quindi per un teorema che sar`a enunciato pi`u avanti `e integrabile, ma non `e ”monotona a tratti” in quanto non `e possibile dividere l’intervallo di definizione in un numero finito di sottointervalli nei quali la funzione `e crescente o decrescente.
Esercizio 1 Supponiamo che a < c < b e che la funzione f risulti integrabile nell’intervallo [a, b]. Dimostrare che f `e integrabile negli intervalli [a, c] e [c, b].
Diamo ora un esempio di funzione limitata che non `e integrabile. Defini- amo la funzione f in un intervallo [a, b], con a < b, come segue: f (x) = 1 se x `e razionale e f (x) = 0 se x `e irrazionale. Dimostriamo ora che per per ogni partizione P dell’intervallo [a, b] risulta s(f, P ) = 0 ed S(f, P ) = 1.
Infatti ogni intervallo della partizione P contiene un punto razionale e con- tiene anche un punto irrazionale. Quindi l’estremo inferiore (cio`e, in questo caso il minimo) della funzione in ogni intervallo `e zero, mentre l’estremo su- periore (cio`e in questo caso il massimo) `e uno. Ne segue che la differenza S(f, P ) − s(f, P ) non pu`o essere minore di b − a.
8
0.4 Propriet` a dell’integrale definito
Conviene estendere la definizione di integrale definito stipulando che, per
ogni f : Z a
a
f (x)dx = 0.
Se poi f `e integrabile nell’intervallo [a, b], con a < b, conviene stipulare che Z a
b
f (x)dx = − Z b
a
f (x)dx.
Con queste convenzioni vale il seguente Esercizio, che di deduce dal Lemma 2 (osservando per`o che non si fa l’ipotesi che a < c < b.)
Esercizio 2 Dati tre numeri reali a, b, c ed una funzione f integrabile negli intervalli chiusi e limitati definiti da questi tre punti, dimostrare che:
Z b
a
f (x)dx = Z c
a
f (x)dx + Z b
c
f (x)dx.
Un’altra propriet`a importante dell’integrale definito `e enunciata nel seguente esercizio.
Esercizio 3 Se f e g sono due funzioni integrabili sull’intervallo [a, b] e risulta sempre f (x) ≤ g(x), allora
Z b
a
f (x)dx ≤ Z b
a
g(x)dx.
Prima di enunciare un’altra propriet`a importante dell’integrale premettiamo una osservazione che riguarda l’estremo superiore e l’estremo inferiore.
Esercizio 4 Siano A e B due sottoinsiemi limitati (superiormente ed infe- riormente) dei umeri reali. Si definisca
A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}.
Allora
inf A + inf B ≤ inf(A + B) ≤ sup(A + B) ≤ sup A + sup B.
[Suggerimento: basta dimostrare che sup A+sup B `e un maggiorante di A+B e che inf A + inf B `e un minorante di A + B]
A questo punto non `e difficile dimostrare l’addittivit`a dell’integrale, come enunciato nella proposizione che segue.
Proposizione 2 . Siano f e g funzioni integrabili nell’intervallo [a, b], al- lora `e integrabile sul medesimo intervallo la funzione f + g e risulta:
Z b
a
f (x) + g(x) dx = Z b
a
f (x)dx + Z b
a
g(x)dx. (5)
dimostrazione. Per ipotesi, dato ε > 0 esistono partizioni P1 e P2 tali che, S(f, P1)−s(f, P1) < ε/2 e S(g, P2)−s(g, P2) < ε/2. Le stesse disuguaglianze varranno allora per la partizione P1 ∪ P2 = P . D’altra parte il precedente esercizio ci assicura che
s(f, P ) + s(g, P ) ≤ s(f + g, P ) ≤ S(f + g, P ) ≤ S(f, P ) + S(g, P ). (6) Pertanto risulta
S((f +g, P )−s(f +g, P ) ≤ S(f, P )−s(f, P )+S(g, P )−s(g, P ) < ε/2+ε/2 = ε.
Questo dimostra che la funzione f + g `e integrabile. Ma la (6) ci dice anche cheRb
a f (x)+g(x) dx `e compreso tra s(f, P )+s(g, P ) e S(f, P )+S(g, P ), per ogni partizione P . Ma poich´e posso rendere questi numeri arbitrariamente vicini alla somma Rb
af (x)dx +Rb
ag(x)dx, non pu`o che valere la (5).
Esercizio 5 Dimostrare che se f `e integrabile in [a, b] e k ∈ R, allora `e integrabile anche la funzione kf e risulta
Z b
a
k(f (x)dx = k Z b
a
f (x)dx.
