Descrizione relativistica dello spin: rest frame

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 76

Descrizione relativistica dello spin: rest frame

 Un altro metodo per descrivere lo spin fa riferimento al sistema inerziale in cui la particella è a riposo

 Rest Frame: possibile solo per particelle con massa ≠ 0

 Nel sistema di riposo della particella l’Hamiltoniana H commuta con l’operatore di spin Σ

 Gli spinori possono essere anche autostati di Σ

 La trattazione coincide con quella non relativistica

 È possibile preparare uno stato φ_ξ polarizzato in una direzione arbitraria

 Ad esempio, nella rappresentazione di Pauli-Dirac

 A questo punto si può applicare una trasformazione di Lorentz che trasforma lo spinore w(0, ξ)

 Dal sistema in cui la particella è a riposo p'^ν = (m, 0)

 Al sistema in cui la particella ha un 4-momento p^ν = (E, p)

| |

ξ ξ

φ φ

=

ξ σ

(0, ) 2

w m φ0^ξ

ξ = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠⎞⎟⎟⎟⎟⎟ σ ξ⋅ ˆw = λw

p^ν = Λ^ν_μp′^μ ξˆ

Descrizione relativistica dello spin: rest frame

 Ovviamente, in questo modo, abbiamo una complicazione

 Il 4-momento p della particella è definito nel sistema di laboratorio K

 Lo spin è definito nel sistema di riposo della particella K'

 Si introduce pertanto un 4-vettore s per la descrizione dello spin

 Nel sistema di riposo della particella

 Notiamo che si tratta di un 4-vettore a modulo negativo (space-like)

 Inoltre nel sistema di riposo abbiamo

 La relazione s'⋅p'= 0 è invariante e vale in tutti i sistemi di riferimento

 Si passa al sistema K mediante una trasformazione Lorentz

 Attenzione: nel sistema di laboratorio K la parte spaziale di s (0, )

s′ = ξ s s′ ⋅ ′ = − ⋅ξ ξ = −1

( , )

p′ = m 0 p s′ ⋅ ′ = m ⋅ − ⋅0 0 ξ = 0

p^ν = Λ^ν_μp′^μ s^ν = Λ^ν_μs′^μ

(m,0) → (E,p) (^0,ξ) ^→

(

)

NON È IL VALORE DI ASPETTAZIONE DELLO SPIN

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 78

Descrizione relativistica dello spin: rest frame

 In forma esplicita, le componenti di s nel sistema K in cui la particella di massa m ha energia E e momento p sono^†§

 Evidentemente ξ_|| e ξ_⊥ sono rispettivamente la componente parallela e perpendicolare alla direzione della quantità di moto

 In forma vettoriale le relazioni precedenti si possono esprimere come

 Notiamo che se la polarizzazione della particella nel suo sistema di riposo è

−ξ nel sistema di laboratorio le 4 componenti di s^μ cambiano tutte di segno rispetto a quelle corrispondenti a +ξ

 Quando si utilizza il 4-vettore s^μ gli spinori u e v si scrivono

 In queste formule s non è un indice ma un 4-vettore

 I due stati di polarizzazione sono ±s = ±s^μ

 ^†Landau L,Lifshitz E,Pitaevskii L – Quantum Electrodynamics – Pergamon 1982 - cap III, § 29 pag. 106

 ^§Questo formalismo si applica anche a particelle di spin intero

0 ||

s = mp

ξ _|| E _||

= m

s ξ

⊥ = ⊥

s ξ

s0

m

= p ξ⋅ ^{( )}

( )

m E m

= + ⋅

+

s p ξ p

ξ

( , ) ( , )

u p s v p s

( )²

2 2

m2

= + p ⋅

s ξ

ξ

Relazioni di completezza

 Abbiamo visto che nel sistema di riposo l’equazione di Dirac si riduce a

 Abbiamo anche determinato 4 soluzioni w(0,r) r = 1,4

 Ricordiamo (diapositiva ) la normalizzazione scelta per garantire il corretto comportamento della corrente nelle trasformazioni di Lorentz

 Analogamente, per r = 3,4

 Gli spinori w(0,r) sono i 4 autovettori di γ⁰: γ⁰w = ±w

 Sono ortogonali e costituiscono un sistema completo

 La completezza si esprime tramite la relazione

0 0

iγ ∂ ψ = mψ ψ = we^{−ip t0} γ⁰p w₀ = mw

( )

0 0 0 0 0

0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1

0 1

1

⎛ ⎞⎟ ⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ + = ⎜ ⎟+

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟⎟

⎜ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

… …

( ) ^† ( )

1,4

, , 2

r

w r w r mI

=

∑

( , )

r

r

w r E m

E m

φ φ

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= + ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ +⋅ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠

p

p

p σ p ( , ) 2 1,2

0

w 0 r = m⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎠φr ⎞⎟⎟⎟⎟⎟ r =

( )

2

, 2 0 3, 4

r

w r m r

φ ₋

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠ = 0

111247

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 80

Relazioni di completezza

 Gli aggiunti spinoriali giocano un ruolo fondamentale nella teoria

 Siamo pertanto interessati ad una relazione di completezza che usi questi ultimi e non gli aggiunti hermitiani

 Osserviamo che nella base dei w la matrice γ⁰ è diagonale

 A questo punto è immediato verificare che

 Infatti

( )

1 1

1 1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0 0

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎟⎟⎠

− −

1 1,2

1 3, 4

r rs r

r ε δ ε ⎧⎪⎪+ r =

= = ⎨⎪−⎪⎩ =

( ) ( )

1,4

, , 2

r

rw r w r mI

ε

=

∑

( ) ^† ( ) ⁰

1,4 1,4

, ,

r r

A_αβ w_α r w_σ r _σβ

σ

ε γ

= =

=

∑ ∑

( ) ( )

1,4

, ,

r r

w r w r ε

∑

, ,

r r

w r w r

ε γ

=

=

∑

1,4 1,4

2 _{r r r}

r

m _{α σ σ σβ}

σ

ε δ δ ε δ

= =

=

∑ ∑

1,4

2m _{α σα σ σβ}

σ

ε δ ε δ

=

=

∑

Relazioni di completezza

 Possiamo a questo punto introdurre la relazione di completezza per gli spinori u e v in un sistema di riferimento in cui la particella ha quantità di moto p

 Ricordiamo che u e v sono ottenuti dagli spinori a riposo w(0,r) come

 Verifichiamo che

 Infatti, posto u_r = u(p,r) , v_r = v(p, r) e infine w_r = w(0,r)

 Ricordando che

 Concludiamo

( ) ( ) ( ) ( )

1,2

, , , , 2

r

u r u r v r v r mI

=

⎡ − ⎤ =

⎣ ⎦

∑

( , ) ( ) ( , ) 1,2

u p r = S Λ w 0 r r = v(p,r) = S ( )Λ w(0,r + 2) r = 1,2

1,2 r r r r r

u u v v

=

⎡ − ⎤

⎣ ⎦

∑

1,2 r r r r

r

Sw Sw Sw ₊ Sw ₊

=

⎡ ⎤

=

∑

1,2 r r r r

r

Sw w S Sw ₊ w ₊ S

=

⎡ ⎤

=

∑

2 2

1,2 r r r r

r

S w w w ₊ w ₊ S

=

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎡ ⎤ ⎟

⎜

= ⎜⎜⎝

∑

1,4 r r r r

S ε w w S

=

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜

= ⎜⎜⎝

∑

0 † 0 1

S = γ S γ = S⁻

1,2

r r r r 2

r

u u v v mI

=

⎡ − ⎤ =

⎣ ⎦

∑

( )

1,4

2 2

r r r r

S ε w w S S mI S⁻ mI

=

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

⎜ ⎟ = =

⎜ ⎟⎟

⎜⎝

∑

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2021-2022

Lezione n. 4

15.10.2021

Equazione di Dirac

Descrizione relativistica dello spin Interazione elettromagnetica

Scattering di Coulomb (spin 0 e spin ½)

Interazione elettromagnetica

 Nell’elettrodinamica classica la forza che agisce su una particella carica in moto è data dalla Forza di Lorentz

 Può essere ricavata (equazioni di Hamilton) dall’Hamiltoniana classica

 Nella Meccanica Quantistica non relativistica l’interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando l’Hamiltoniana appena introdotta (= = 1)

 È conveniente riscrivere questa equazione nel modo seguente

 Notiamo che si può arrivare all’equazione precedente partendo dall’equazione di Schrödinger per una particella libera e fare le sostituzioni

q q

= + ×

F E v B

( )²

1

H 2 q qV

= m p − A +

( )²

1

H 2 i q qV i

m t

ψ = ⎡⎢⎣ −∇− A + ⎤⎥⎦ψ = ∂∂ ψ

( )

1

2 i iq i iqV

m ⎡⎣− ∇− A ⎤⎦ ψ = ⎛⎜⎜⎜⎝∂∂t + ⎞⎟⎟⎟⎟⎠ψ

∇ → ∇ − Aiq iqV

t t

∂ ∂

→ +

∂ ∂

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 84

Interazione elettromagnetica

 Sviluppando il quadrato nell’Hamiltoniana

 Scegliendo il gauge ∇⋅A = 0 e trascurando i termini in q² otteniamo

 Applichiamo questa formula al caso di un campo magnetico costante e campo elettrico nullo V = 0 (i∇ = p)

 Per un campo magnetico costante B il potenziale vettore è

 Introduciamo A nell’Hamiltoniana

 Il termine con il campo magnetico può essere trasformato in

( )²

1

H 2 i q qV

= m − ∇− A + (−i∇−qA)(−i∇−qA)ψ = −∇²ψ + iq∇ ⋅(Aψ)+ iqA ⋅ ∇ψ +q²A²ψ

1 2

2

H i q qV

m m

= − ∇ + A ⋅ ∇ +

1

= −2 ×

A r B

1 2

2 2

H q

m m

= − ∇ + r× ⋅B p

1 2

2 2

H q

m m

= − ∇ − B L⋅ 1 2

2 H q

m m

= − ∇ − A p⋅

(r×B)⋅ p _{klm l m k}

klm

r B p ε

=

∑

mlk

B r p ε

= −

∑

( )

2ψ iq ∇ ⋅ ψ + iq ⋅ ψ iq ψ q2 2ψ

= −∇ + A A ∇ + A ⋅ ∇ + A

Interazione elettromagnetica

 L’ultimo termine dell’equazione rappresenta una energia potenziale magnetica

 Classicamente è dovuta all’interazione di un momento magnetico generato dal moto associato ad un momento angolare L

 Anche a livello quantistico definiamo pertanto il momento magnetico di una particella dotata di momento angolare L e la sua energia potenziale

 L’esistenza di questo termine di interazione è verificata nella spettroscopia atomica

 In presenza di un campo magnetico le energie associate agli orbitali atomici di momento

angolare l si separano in (2l+1) livelli equidistanti (effetto Zeeman)

 È noto che esiste un ulteriore effetto di questo tipo

 L’elettrone ha un momento angolare intrinseco S = =σ/2

a cui sarebbe associato un momento magnetico μ= qS/2m che suddivide ulteriormente i livelli

 Tuttavia, nel caso dello spin, per riprodurre i dati sperimentali occorre introdurre un fattore empirico g

2 q

= m L

μ U = − ⋅ Bμ

1

−10 l = 1

21

−10

−2 m l = 2

2 2

e e

q g

g m

= S =

μ

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 86

Interazione elettromagnetica

 Prima di introdurre l’interazione elettromagnetica nell’equazione di Dirac facciamo alcune precisazioni sulle notazioni

 Richiamiamo le definizioni dell’operatore derivazione

 Inoltre il potenziale vettore è

 L’introduzione dell’interazione elettromagnetica viene fatta modificando l’operatore di derivazione ( per l’elettrone q = −|e| )

 Attenzione: per l’operatore derivazione e il potenziale vettore i segni negativi delle componenti spaziali delle componenti

covarianti e contravarianti sono scambiati

0 ,

x^{μ μ} x

∂ ≡ ∂ = ⎛⎜⎜⎜⎝ ∂ ∇⎟⎞⎟⎟⎠

∂ ∂ ⁰ ,

x x

μ μ

∂ ≡ ∂ = ⎛⎜⎜⎜⎝ ∂ −∇⎟⎞⎟⎟⎠

∂ ∂

μ μ iqAμ

∂ → ∂ +

( ) ( )

(

)

A^μ = A x A x

( ) ( )

( , )

A_μ = V x −A x

μ iqAμ

∂ + = ∂ +( ₀ iqV,∇ +iqA_k ) ^{= ∂ +}

(

)

( ₀ iqV, iq )

∂ → ∂ +μ ∇ − A

Interazione elettromagnetica

 A questo punto passiamo all’equazione di Dirac

 Con la sostituzione minimale diventa

 Utilizzeremo questa formula per lo studio dello scattering da potenziale

 Vale la pena isolare il potenziale di interazione

( )

i Ho i m

t ψ ψ β ψ

∂ = = − ⋅ +

∂ α ∇

( )

( )

i iqV i iq m

t ψ β ψ

∂

⎛ ⎞⎟

⎜ + ⎟ = − ⋅ − +

⎜ ⎟

⎜⎝∂ ⎠ α ∇ A

( )

( )

i qV i q m

t ψ β ψ

⎛ ∂ ⎞⎟

⎜ − ⎟ = ⋅ − − +

⎜ ⎟

⎜⎝ ∂ ⎠ α ∇ A

( )

( )

i i q m qV

t ψ β ψ

∂ = ⋅ − − + +

∂ α ∇ A

( _{o D} )

i H V

t ψ ψ

∂ = +

∂ V^D = qV −qα⋅ A

( ₀ iqV, iq )

∂ → ∂ +μ ∇ − A

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 88

Limite di bassa energia

 È molto istruttivo studiare il limite di bassa energia dell’equazione trovata

 Verifichiamo se ci conduce all’equazione di Schrödinger con l’interazione elettromagnetica

 Per poter confrontare con l’equazione non relativistica occorre tenere conto che l’energia relativistica include la massa a riposo della particella

 Se H è l’Hamiltoniana dobbiamo isolare la massa scrivendo H = H₁ + m

 Inoltre isoliamo la massa a riposo anche nella dipendenza temporale ponendo

 Inseriamo nell’equazione di Dirac per trovare l'equazione per Ψ0

( )

H = α⋅ −i∇ −qA + βm +qV = α⋅ −( i∇ −qA)+ βm +qV −mI +mI

( ) ( )

H1 = α⋅ −i∇ −qA + β − I m +qV

i ( )t t

∂ Ψ

∂ i ^{o ( )}t m ^o e ^imt t

∂ −

⎛ ⎞⎟

= ⎜⎜⎜⎝ ∂ Ψ + Ψ ⎟⎟⎠ = ⁽H¹ + m⁾Ψ^{o ( )}t e^−imt

o 1 o

i H

t

∂ Ψ = Ψ

∂

( )t _o ( )t e^−imt

Ψ = Ψ Ψ_o lentamente variabile o

( )

∂ Ψ

∂

Limite di bassa energia

 Riepilogando

 A questo utilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac e la rappresentazione a blocchi dello spinore

 Arriviamo al sistema di equazioni

( ) ( )

H1 = α ⋅ −i∇ −qA + β −I m +qV

ψ φ

⎛ ⎞⎟⎜ ⎟ Ψ = ⎜⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟ 0

0

⎛ ⎞⎟

⎜ ⎟

= ⎜⎜⎜⎝ ⎟⎟⎟⎠ α σ

σ

0 0 I

β = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟I ⎞⎟⎟⎟⎟⎠

0 0 0 2

I I

β − = ⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎝ − ⎟⎞⎟⎟⎟⎟⎠

( )

( )

0 0

0 2

i q

i qV m

t i q

ψ ψ ψ

φ φ φ φ

⋅ − ∇ −

⎛ ⎞

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞

∂ ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ = ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟ + ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟− ⎜⎜⎜ ⎟⎟⎟⎟

∂ ⎜⎜⎝ ⎠⎟ ⎜⎜⎝ ⋅ − ∇ − ⎟⎠⎜⎜⎝ ⎠⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟ ⎜⎜⎝ ⎠⎟ A

A

σ σ

( )

( ) 2

i i q qV

t

i i q qV m

t

ψ φ ψ

φ ψ φ φ

⎧⎪⎪ ∂ = ⋅ − ∇ − +

⎪ ∂⎪⎪⎨

⎪ ∂⎪ = ⋅ − ∇ − + −

⎪⎪⎪⎩ ∂

A A σ

σ

1

o o

i H

t

∂ Ψ = Ψ

∂

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 90

Limite di bassa energia

 Consideriamo la seconda equazione

 Ricordiamo che Ψo varia lentamente, vale a dire

 Quindi anche le due componenti ψ e φ variano lentamente

 Abbiamo pertanto

 Introduciamo nella prima equazione

( )

( ) 2

i i q qV

t

i i q qV m

t

ψ φ ψ

φ ψ φ φ

⎧⎪⎪ ∂ = ⋅ − ∇ − +

⎪ ∂⎪⎪⎨

⎪ ∂⎪ = ⋅ − ∇ − + −

⎪⎪⎪⎩ ∂

A A σ

σ

o

( )

∂ Ψ

∂

( ) 2

i i q qV m

t φ ψ φ φ

∂ = ⋅ − ∇ − + −

∂ σ A

( )

0 = σ ⋅ − ∇ −i qA ψ −2mφ ^{( )}

2

i q

φ ⋅ − ∇ −m ψ

≈ σ A

( ) ( )

2

i q

i i q qV

t ψ m ψ ψ

∂ ⋅ − ∇ −

= ⋅ − ∇ − +

∂

A σ A σ

i m

t ψ

∂

∂ i m

t φ

∂

∂

qV m

approssimazione non relativistica

Limite di bassa energia

 Si può verificare che (vedi esercizio 4.14 Aitchison 3° ed.)

 Pertanto l’equazione diventa

 Questa equazione coincide con l’equazione ottenuta partendo dall’equazione di Schrödinger con la sostituzione minimale (diapositiva ) a meno di un

termine

 Il termine in più descrive l’accoppiamento del momento magnetico intrinseco dell’elettrone con il campo magnetico

 Inoltre riproduce perfettamente il fattore giromagnetico g = 2 che nella teoria non relativistica era stato introdotto empiricamente

 In conclusione

 Il limite E << m dell’equazione di Dirac riproduce l’equazione di Pauli

 Il fattore giromagnetico g = 2 è predetto dalla teoria di Dirac

( )

[σ ⋅ − ∇ −i qA ]² = − ∇ −( i qA)² −qσ ⋅ ∇ × A

( )²

1

2 2

i i q q qV

t ψ m ψ m ψ ψ

∂ = − ∇ − − ⋅ +

∂ A σ B

( )²

1

i 2 i q qV

t ψ m ψ

∂ = ⎡⎢ − − + ⎤⎥

∂ ⎣ ∇ A ⎦

2 2 2 q

= m σ μ

116383

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 92

Scattering Coulombiano: spin 0

 Come prima applicazione della meccanica quantistica relativistica consideriamo lo scattering Coulombiano per una particella di spin 0

 La funzione d’onda della particella obbedisce all’equazione di Klein-Gordon

 Come nel caso dell’equazione di Dirac l’interazione elettromagnetica viene introdotta utilizzando la sostituzione minimale

 Vediamo come si modifica l’operatore ∂^μ∂_μ

 Inserendo nell’equazione di Klein-Gordon otteniamo

(

)

μ μ iqAμ

∂ → ∂ +

( ^iqA )

(

)

μ μ μ

μφ μφ μφ

∂ ∂ → ∂ + ∂ + ^{= ∂ ∂μ} _μ^{φ + ∂iq μ}

(

)

(

)

(

)

(

)

( )

VKG = +iq ∂^μA_μ + A_μ∂^μ −q A A^μ _μ

prima si moltiplica a destra per φ dopo si applica ∂μ al prodotto A_μφ

Scattering Coulombiano: spin 0

 A questo punto il problema può essere risolto utilizzando la teoria perturbativa dipendente dal tempo

 L’ampiezza di transizione da uno stato iniziale i ad uno stato finale f dovuta ad un potenziale V è data dall’approssimazione (primo ordine)

 Utilizziamo il potenziale di Klein-Gordon

 Al primo ordine possiamo trascurare il termine in q²

 Otteniamo in definitiva

( ) ( ) ( )

3 * , , ,

fi f i

M = −i dt d

∫ ∫

( ) ( ) ( )

4 *

fi f i

M = −i d x

∫

( )

VKG = +iq ∂^μA_μ +iqA_μ∂^μ −q A A^μ _μ

( )

VKG ≈ +iq ∂^μA_μ +iqA_μ∂^μ

( )

( )

4 *

fi f i

M = q d x

∫

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 94

Scattering Coulombiano: spin 0

 Possiamo elaborare il primo termine integrando per parti per ciascuno dei 4 integrali

 Assumiamo che il potenziale A_μ all’infinito si comporti in modo tale da far tendere a zero il primo termine

 L’ampiezza di transizione diventa

 L’espressione dentro parentesi quadra ricorda la corrente di probabilità

 Si definisce la corrente di transizione elettromagnetica fra gli stati i e f

 Utilizzando questa corrente l’ampiezza di transizione diventa

( )

( )

4 *

fi f i

M = q d x

∫

( )

4 *

f i

d xφ ∂^μ A_μφ

∫

∫

⁽

⁾

( )

4 * 4 *

fi f i f i

M = −q d x

∫

∫

∫

⁽

⁾

( )

* *

em f i f i

j^μ = iq ⎡⎣φ ∂^μφ − ∂^μφ φ ⎤⎦

( ) ( )

fi 4 em

M = −i d x j

∫

Scattering Coulombiano: spin 0

( ) ip xi

i x e

φ = ^{− ⋅}

( ) ip xf

f x e

φ = ^{− ⋅}

( )

* *

em f i f i

j^μ = −ie ⎡⎣φ ∂^μφ − ∂^μφ φ ⎤⎦ = −ie e⎡⎣ ^{ip xf⋅}

(

)

(

)

( )

( )

em i f

j^μ x = −e p^μ + p e^{μ − − ⋅}

( ) ( )

fi 4 em

M = −i d x j

∫

∫

⁽

⁾

( )

fi i f

M = ie p^μ + p^μ

∫

( ) ( _o, )

A x_μ = A 0 ^{( ) ( )}

o o 4

o

A x A Ze

πε r

= r =

(

)

fi i f o

M = ie p + p

∫

10809

 A questo punto utilizziamo due soluzioni con energia positiva

dell’equazione di KG: ad esempio un elettrone con carica q = −e e > 0

 Un’onda piana per lo stato iniziale

 Un’onda piana per lo stato finale

 Abbiamo scelto la costante di normalizzazione N = 1 (v. diapositiva )

 Inserendo nella corrente di transizione

 Otteniamo pertanto

 Consideriamo infine un potenziale Coulombiano

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 96

Scattering Coulombiano: spin 0

 L’ampiezza di transizione diventa pertanto

 I due integrali sono indipendenti

 L’integrale rispetto al tempo conduce ad una funzione δ

 Il secondo integrale è la trasformata di Fourier del potenziale di Coulomb

 Si calcola facilmente come limite per m → 0 del potenziale di Yukawa

 Inserendo nell’ampiezza di transizione

( )

fi i f o

M = ie E + E

∫

∫

(

)

fi i f o

M = ie p + p

∫

( ^{i f} ) ²

( )

i E E t

i f

e^{− −} dt = πδ E − E

∫

( ) _{( )}

3

2

f i 1

i o

o

d e A r Ze

ε

− − ⋅ =

∫

( )

( )

fi i f i f

o

M ie E E πδ E E Ze

= + − ε

q ⁴ _i

(

)

o

iπ E δ E E Ze

= − ε

q

( )

2 2

4 4 ⁱ

fi E i f

M = i π αZ δ E −E

q = =c 1

δ(E_i−E_f) → E_i = E_f

2

4 _o e α c

= πε

notare il segno e lo scambio i ↔ f

f i

= −

q p p

Scattering Coulombiano: spin 0

 Nella teoria perturbativa dipendente dal tempo la sezione d’urto è data dalla regola d’oro di Fermi

 La quantità Φ è il flusso di particelle

 La quantità è la probabilità di transizione per unità di tempo e si calcola a partire dall’elemento di matrice M_fi

 La quantità ρ(E_f) è la densità degli stati

 L’elemento di matrice ridotto V_fi viene introdotto per isolare la funzione δ

 Il modulo quadrato della funzione δ non è definito

 Viene calcolato con un opportuno processo di limite

 Ricordando il risultato della diapositiva precedente

 Isoliamo l’elemento di matrice ridotto dσ = Φ

P

P

(2 )

( )

fi f i fi

M = π δi E − E V ^{P= 2π V}_fi ^{2 ρ}

(

)

( )

2 2

4 4 ⁱ

fi E i f

M = i π αZ δ E −E q

2

2 4 ⁱ

fi E

V = π αZ q

E_i = E_f

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 98

Scattering Coulombiano: spin 0

 Veniamo adesso alla densità degli stati

 Ad una energia E_f corrispondono tutti gli stati con momento p_f

 Il numero di stati nell’elemento d³p_f dello spazio delle fasi è

 Il fattore 2E_f nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dN invariante per trasformazioni di Lorentz

 Uguagliando al numero di stati nell’intervallo dE_f

 Calcoliamo esplicitamente dN in funzione di dE_f

 Utilizzando le coordinate sferiche

 In conclusione ^{( ) ( )}

3 2

3 3

2 2 2 2

f f f

f f

d d d

E E

π π

= Ω

p p p

(2 )³ 2

f f f

f

E dE d π E

= p Ω

( )

( )³

2 2

f f

f

dN d

E dE

ρ π

= = p Ω

( )

3

2 3 2

f f

dN d

π E

= p

2 2 2

E −m = p

2

2 2

E −m = p

( ) ( )

3

2 3 2

f

f f

f

E dE dN d

E ρ

π

= = p

2EdE = 2 p d p

Scattering Coulombiano: spin 0

 Per finire il flusso Φ

 Le probabilità calcolate sono relative al

flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d’onda usate

 Occorre tenere conto della normalizzazione degli stati

 Abbiamo visto che per le soluzioni dell’equazione di KG utilizzate (N = 1) si ha

 Abbiamo pertanto

 In conclusione otteniamo la sezione d’urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano

2 _i Φ = J = p

J dS

dN = J dS dN

Φ = dS = J

( )

2

2 2 2 3

1 2

2 2 4

i

i f

E d

π π αZ

π

= Ω

p q

( )

i f

d π V E

σ = = ρ

Φ Φ

P

( ) ( ) ( )

( )

2 2 3

4 3

2 4

4 2

i f

i

E d

π Zα

π

= p Ω

q p ^{( )}

2 2 4

4E_i

Zα d

= Ω

q

( )

2 2 4

d Ei

d Z

σ = α

Ω q

scattering elastico

|p_i| = |p_f|

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 100

Scattering Coulombiano: spin 0

 Un ultima elaborazione per sostituire l’angolo di difffusione al momento trasferito

 Otteniamo pertanto

 La sezione d’urto diventa pertanto

 Da confrontare con la formula non relativistica

f i

= −

q p p pⁱ p^f

q θ pp_fi q

2 = 2_f + 2_i −2 _{f i} cosθ

q p p p p q² = 2p²(1− cosθ) ² 4 ² sin² 2

= θ

q p

( )^{2 2}

4 4

4 sin 2

d Ei

d Z

σ = α θ

Ω p

( )

( )

2

2 4

1 4 sin

K

2

d Z

d E

σ = α θ

Ω

Scattering Coulombiano: spin ½

 Calcoliamo adesso la sezione d’urto per particelle di spin ½

 Il calcolo segue le linee precedenti seguite per la particella di spin 0

 Occorre utilizzare gli spinori

 Ricordiamo che l’introduzione dell’interazione elettromagnetica tramite l’ac- coppiamento minimale aveva condotto all’equazione di Dirac con potenziale V_D

 Come nel caso dell’equazione di KG utilizziamo la teoria perturbativa dipendente dal tempo

 L’elemento di matrice diventa

 Utilizziamo due soluzioni con energia positiva

 Uno stato iniziale con momento p_i e spin s_i

 Uno stato finale con momento p_f e spin s_f

 Inserendo nell’elemento di matrice

( _{o D} )

i H V

t ψ ψ

∂ = +

∂ V^D = qV −qα⋅ A

( ) ( ) ( )

3 † , , ,

fi f D i

M = −i dt d

∫ ∫

( )

† , , ^{i pi pf x} 4

fi f f f D i i i

M = −i u

∫

( ) ( , ) ^{ip xi}

i x u i s ei

ψ = p ^{− ⋅}

( )

(

)

f x u f s ef

ψ = p ^{− ⋅}

Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 102

Scattering Coulombiano: spin ½

 Introduciamo I = γ⁰γ⁰ fra lo spinore u_f e il potenziale V_D

 Inoltre semplifichiamo la notazione: u_i(p_i,s_i) = u_i, etc.

 Elaboriamo l’espressione del potenziale

 Inserendo nell’elemento di matrice

 Come nel caso di KG è interessante introdurre la corrente di transizione elettromagnetica

VD = qV −qα⋅ A

( ) ( )

† 0 0 i pi pf x 4

fi f D i

M = −i u

∫

0 0 0

D o

V q A q

γ = γ − γ α⋅ A = q Aγ⁰ _o −qγ ⋅ A = qγ^μA_μ

0VD q ^μA_μ

γ = γ

( i f) 4 i p p x

fi f i

M = −iq u

∫

( )

( ) ( ) ( ) ^{i pi pf x}

em f i f i

j^μ x ≡ qψ x γ ψ^μ x = qu γ^μu e^{− − ⋅} ( ) ( ) 4

fi em

M = −i

∫