Scattering Coulombiano: spin 0

Scattering Coulombiano: spin 0

y Nella teoria perturbativa dipendente dal tempo la sezione d’urto è data dalla regola d’oro di Fermi

y La quantità Φ è il flusso di particelle

y La quantità è la probabilità di transizione per unità di tempo e si calcola a partire dall’elemento di matrice M_fi

y La quantità ρ(E_f) è la densità degli stati

y L’elemento di matrice ridotto V_fi viene introdotto per isolare la funzione δ y Il modulo quadrato della funzione δ non è definito

y Viene calcolato con un opportuno processo di limite y Ricordando il risultato della diapositiva precedente

y Isoliamo l’elemento di matrice ridotto

E_i = E_f

Scattering Coulombiano: spin 0

y Veniamo adesso alla densità degli stati

y Ad una energia E_f corrispondono tutti gli stati con momento p_f y Il numero di stati nell’elemento d³p_f dello spazio delle fasi è

y Il fattore 2E_f nel denominatore è stato introdotto in modo da rendere dN invariante per trasformazioni di Lorentz

y Uguagliando al numero di stati nell’intervallo dE_f

y Calcoliamo esplicitamente dN in funzione di dE_f y Utilizzando le coordinate sferiche

y In conclusione

Scattering Coulombiano: spin 0

y Per finire il flusso Φ

y Fin qui le probabilità calcolate sono relative al flusso di particelle incidenti corrispondenti alle funzioni d’onda usate

y Occorre tenere conto della normalizzazione degli stati

y Abbiamo visto che per le soluzioni dell’equazione di KG utilizzate (N = 1) si ha

y Abbiamo pertanto

y In conclusione otteniamo la sezione d’urto differenziale per lo scattering di una particella a spin 0 da un potenziale Coulombiano

J dS

scattering elastico

|p_i| = |p_f|

Scattering Coulombiano: spin 0

y Un ultima elaborazione per sostituire l’angolo di difffusione al momento trasferito

y Otteniamo pertanto

y La sezione d’urto diventa pertanto

y Da confrontare con la formula non relativistica

p_i

T p_f q

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 5

12.10.2020

Scattering di Coulomb per particelle di spin 1/2

Tecniche di tracce di matrici γ

Proiettori di spin

Scattering Coulombiano: spin ½

y Calcoliamo adesso la sezione d’urto per particelle di spin ½

y Il calcolo segue le linee precedenti seguite per la particella di spin 0 y Occorre utilizzare gli spinori

y Ricordiamo che l’introduzione dell’interazione elettromagnetica tramite l’ac- coppiamento minimale aveva condotto all’equazione di Dirac con potenziale V_D

y Come nel caso dell’equazione di KG utilizziamo la teoria perturbativa dipendente dal tempo

y L’elemento di matrice diventa

y Utilizziamo due soluzioni con energia positiva y Uno stato iniziale con momento p_i e spin s_i y Uno stato finale con momento p_f e spin s_f y Inserendo nell’elemento di matrice

Scattering Coulombiano: spin ½

y Introduciamo I = γ⁰γ⁰ fra lo spinore u_f e il potenziale V_D y Inoltre semplifichiamo la notazione: u_i(p_i,s_i) = u_i, etc.

y Elaboriamo l’espressione del potenziale

y Inserendo nell’elemento di matrice

y Come nel caso di KG è interessante introdurre la corrente di transizione elettromagnetica

Scattering Coulombiano: spin ½

y Per finire, consideriamo un elettrone ( q = −e e > 0 ) in un campo Coulombiano statico

y Confrontando con il calcolo per la particella di spin 0

y Il calcolo dell’integrale è identico al caso della particella di spin 0 y Al termine 2E_i = (p⁰_i + p⁰_f) sostituiamo

y Introducendo anche in questo caso l’elemento di matrice ridotto otteniamo

Scattering Coulombiano: spin ½

y Gli stati iniziale e finale possono avere ciascuno due stati di polarizzazione y Indicandoli convenzionalmente + oppure − otteniamo 4 sezioni d’urto

y Supponiamo di distinguere (misurare) la polarizzazione dello stato finale y Se non utilizziamo un fascio polarizzato la sezione d’urto si ottiene

mediando le due sezioni d’urto con polarizzazione dello stato iniziale + e −

y Se non si osserva neppure la polarizzazione nello stato finale la sezione d’urto misurata è la somma dσ = dσ₊ + dσ₋

y Occorre pertanto calcolare

y L’espressione C può essere calcolata utilizzando, ad esempio, la forma esplicita degli spinori nella rappresentazione di Dirac

media

Somma, non media !

Scattering Coulombiano: spin ½

y Il calcolo di “forza bruta” (vedi problema 8.5 Aitchison 3rd ed.) porta al risultato

y Introducendo nella formula della sezione d’urto

y Otteniamo finalmente

y Osserviamo che la differenza con la particella di spin 0 è data dal fattore 1 − β² sin² θ/2

y Il fattore diventa importante per β → 1

y Interazione di tipo magnetico: nel sistema di riposo dell’elettrone al campo elettrico si aggiunge un campo magnetico come effetto relativistico

y La sezione d’urto tende a zero per β → 1 e θ → π

y Vedremo che è dovuto alla conservazione del momento angolare

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y Il calcolo del prodotto di spinori (C) utilizzando la rappresentazione esplicita è già abbastanza lungo e noioso

y Lo scattering Coulombiano è un caso semplice

y È stato sufficiente calcolare il modulo dell’elemento temporale dato che solo A₀ era diverso da zero

y C’è una sola particella perché calcoliamo una scattering da potenziale y In casi più complessi abbiamo bisogno di tecniche più potenti

y Introduciamo queste tecniche partendo dal caso semplice dello scattering coulombiano

y Prima di fare la semplificazione per campo coulombiano statico abbiamo y Calcoliamo il modulo quadrato

y Considerando per il momento il caso di fascio non polarizzato senza misura della polarizzazione nello stato finale dobbiamo calcolare

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y Consideriamo il tensore L^μν

y Scriviamo esplicitamente gli indici delle matrici

y Adesso i simboli sono numeri e possono essere spostati a piacere

y Inoltre invertiamo l’ordine delle sommatorie su if rispetto a quelle su αβρσ Utilizziamo

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y Le somme su i e su f sono due matrici y Abbiamo

y Riconosciamo

y Il prodotto di 4 matrici

y La traccia della matrice risultante

y Adesso occorre calcolare le matrici A e B

y Notiamo che queste somme hanno una somiglianza con le relazioni di completezza (slide )¹¹⁶²82

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y In realtà c’è più che una somiglianza

y Gli operatori A ( e B ) sono la parte con energia positiva delle relazioni di completezza

y Ricordiamo le equazioni di Dirac per gli spinori u e v

y Definiamo gli operatori

y Utilizzando le equazioni precedenti possiamo facilmente verificare che

y E analogamente

y Gli operatori Λ_± sono gli operatori di proiezione per le energie positive e negative rispettivamente

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y Possiamo pertanto scrivere (un modo complicato per scrivere 0) y Inoltre

y Mettendo insieme i vari pezzi otteniamo

y Un calcolo analogo con gli spinori di energia negativa permette di concludere

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y Ritorniamo al tensore L^μν (diapositiva )

y Introducendo i risultati trovati per gli operatori A e B

y Il problema del calcolo dell’elemento di matrice è stato ricondotto al calcolo di una traccia

y Sviluppando la matrice di cui vogliamo calcolare la traccia

y La traccia che cerchiamo è la somma delle tracce individuali y Riconosciamo 3 tipologie

y La traccia del prodotto di 4 matrici y La traccia del prodotto di 3 matrici y La traccia del prodotto di 2 matrici

1091190

Tecniche utilizzanti le tracce delle matrici γ

y Riportiamo di seguito le principali proprietà delle tracce di prodotti di matrici γ

Scattering Coulombiano: spin ½

y Possiamo adesso utilizzare le regole precedenti per calcolare il tensore leptonico

numero dispari di matrici

Scattering Coulombiano: spin ½

y Ricordiamo che nel problema dello scattering di Coulomb il potenziale era y L’unico elemento del tensore leptonico che sopravvive è L⁰⁰

y Nello scattering elastico E_i = E_f = E e |p_i| = |p_f| = |p|

y La quantità L⁰⁰ appena calcolata coincide con la somma C della diapositiva y Il calcolo prosegue come in precedenza e, ovviamente,

1061187

Scattering Coulombiano: spin ½

y Vedremo che i calcoli che abbiamo fatto possono messi in relazione a diagrammi: Diagrammi di Feynman

y Ad esempio il calcolo perturbativo al primo ordine dello scattering di coulomb per un fermione ha come diagramma

y Una corrente elettromagnetica

y Interagisce con fotone (potenziale) A_μ y A questo diagramma si può associare

automaticamente il tensore leptonico

y Questa espressione si scrive percorrendo da destra a sinistra il diagramma y Stato finale

y Vertice

y Stato iniziale y Vertice

p_f p_i

γ

Effetti di polarizzazione

y In alcuni casi il metodo delle tracce introdotto non è direttamente utilizzabile y Quando si usa un fascio polarizzato

y Se si vuole misurare la polarizzazione nello stato finale

y Possiamo però chiederci se si può utilizzare una strategia simile y Rivediamo i punti essenziali del metodo introdotto

y Per limitare la somma agli stati di energia positiva abbiamo utilizzato i proiettori /

y In tal modo si può estendere la somma agli stati di energia negativa y I proiettori ci assicurano che questi (stati p₀ <0) non contribuiscono

effettivamente nella somma

y La linearità dei proiettori permette di fare prima la somma su tutti gli stati e solo successivamente applicare il proiettore

y Un metodo analogo per studiare la polarizzazione richiede i proiettori di spin y Vogliamo costruire un operatore con le seguenti proprietà

y Alcune importanti proprietà di questi operatori

Non si somma sulle polarizzazioni

Effetti di polarizzazione

y Nel calcolo del tensore leptonico L^μν siamo partiti dall’espressione

y Supponiamo che lo stato iniziale sia polarizzato

y Non abbiamo più la somma sugli stati iniziali (somma su σ₂)

y Inoltre, dal momento che rimane un solo stato, si elimina la media

y Per potere utilizzare le relazioni di completezza occorre reintrodurre la somma sugli stati iniziali

y Possiamo utilizzare i proiettori di spin

y Se introduciamo il proiettore possiamo estendere di nuovo la somma ai due stati di polarizzazione

È sufficiente introdurre P una sola volta

Effetti di polarizzazione

y Da questo punto in poi il calcolo procede come nel caso senza polarizzazione y Si arriva al risultato

y Analogamente, se si volesse misurare la polarizzazione dello stato finale si introdurrebbe il proiettore P₆(s_f)

y Pertanto abbiamo bisogno degli operatori di proiezione y Anticipiamo la forma di un proiettore di spin

y Il tensore leptonico, per una polarizzazione +s_i dello stato iniziale, diventa

Proiettori di spin

y Approfondiamo innanzitutto il significato dei proiettori di spin y Lo spin non si conserva per una particella in movimento

y Abbiamo introdotto lo spin facendo riferimento al sistema di riposo y Nel sistema di riposo la definizione di un proiettore è semplice

y L’operatore di spin è S = ½ 6

y I possibili stati di un fermione possono essere descritti con i due spinori u con p = 0 e con polarizzazione ±ξ

y Come nella teoria non relativistica si ha

y Pertanto, nel sistema di riposo, i proiettori sono semplicemente

y Si ha ovviamente

non dipende dalla rappresentazione

non dipende dalla rappresentazione

Proiettori di spin

y Estendiamo le definizioni alle soluzioni di energia negativa v y Abbiamo una complicazione aggiuntiva

y L’interpretazione di hole associa lo spin fisico agli autovalori di 6⋅ξ con i segni invertiti

y Il valore della grandezza fisica associata all’antiparticella è l’autovalore in rosso cambiato di segno

y Ovviamente vogliamo un formalismo che superi questa difficoltà

y Un operatore il cui autovalore abbia il segno corretto automaticamente y Possiamo utilizzare la proprietà che gli spinori u e v sono autovettori di γ⁰

con autovalori +1 e −1 rispettivamente

ξ

positrone

−ξ

positrone interpretazione

fisica rappresentazione

matematica

Proiettori di spin

y Possiamo pertanto modificare l’operatore ξ⋅6 nel seguente modo y Con questo operatore ovviamente

y Per quanto riguarda gli spinori u non cambia nulla dato che γ⁰u = u y Gli operatori di proiezione, nel sistema di riposo, sono pertanto

y Proiettano gli stati con polarizzazione fisica ±ξ y Si comportano allo stesso modo per gli spinori u e v

ξ

−ξ

Proiettori di spin

y Fin qui abbiamo fatto considerazioni nel sistema di riposo della particella y Possiamo ottenere gli spinori per una particella in movimento con una

trasformazione di Lorentz

y Vogliamo trovare un operatore che

y Svolga il ruolo di ξ⋅6γ⁰ nel sistema di riferimento K y Agisca direttamente sugli spinori u(p,s) e v(p,s)

y Abbia autovalori +1 e 1 uguali a quelli di 6⋅ξγ⁰ nel sistema di riposo

y Cominciamo con scrivere in modo covariante l’operatore 6⋅ξγ⁰ nel sistema K′

y Abbiamo visto le seguenti espressioni di 6 (diapositiva ) y Utilizzando l'ultima espressione

x y

z x' K

y'

z' K'

sottointesa la somma su j

112369

Proiettori di spin

y Riepilogando

y Dal momento che nel sistema di riposo s′^ν = (0,ξ) possiamo scrivere

y Si può dimostrare che

y L’operatore si trasforma nell’operatore

y L’operatore applicato agli spinori u e v nel sistema K dà lo stesso risultato che dà nel sistema di riposo K′

y Abbiamo pertanto trovato l’operatore che applicato agli spinori di particelle in moto ci dice qual è lo spin nel sistema di riposo

y Ovviamente gli operatori

sono gli operatori di proiezione che cercavamo

Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Studiamo adesso eventuali effetti dovuti alla polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Vedremo che la sezione d'urto non dipende dalla polarizzazione iniziale y Ricordiamo tuttavia che le formule sono approssimate al primo ordine

y Vedremo che la sezione d'urto dipende dalla polarizzazione iniziale solo al secondo ordine

y Utilizzeremo questo effetto per studiare la polarizzazione dell'elettrone nel decadimento beta

y Calcoliamo la sezione d’urto per un elettrone con polarizzazione iniziale s_i y Abbiamo visto che in questo caso il tensore L^μν diventa

y Sviluppando si ottiene

y Il primo termine è identico a quello del caso senza polarizzazione y Sviluppando il secondo termine diventa

Polarizzazione nella diffusione di Coulomb

y Analizziamo i vari termini y Il primo e l’ultimo sono nulli

y Un numero dispari di matrici γ ( γ⁵ equivale a 4 matrici γ ) y Il secondo e il terzo sono diversi da zero.

y Ad esempio

y Tuttavia, nella diffusione Coulombiana il campo elettrostatico fa sopravvivere solo il termine μ = ν = 0 e pertanto il termine è nullo (antisimmetria di ε^ρμσν)

y Concludiamo che, al primo ordine, la sezione d’urto non dipende dalla polarizzazione iniziale

Tracce con la matrice γ ⁵

y Riportiamo alcune tracce che coinvolgono la matrice γ⁵ = iγ⁰γ¹γ²γ³ y Innanzitutto

y Infatti γ⁵ contiene tutte e 4 le matrici γ

y La traccia di 4 matrici γ porta ad una espressione che contiene tre tensori g^μν con indici tutti differenti e quindi il risultato è zero

y Inoltre

y Se μ = ν rimane la traccia di γ⁵ e quindi il risultato è zero

y Se μ z ν allora con opportune commutazioni possono essere portate adiacenti alle corrispondenti matrici in γ⁵

y Il prodotto è ±1 e si eliminano quindi 2 matrici γ

y Rimane la traccia di 2 matrici con indici differenti quindi nulla y Per finire

y Innanzitutto i 4 indici devono essere tutti differenti altrimenti, con opportune commutazioni, si ritorna al

caso precedente e permutazioni …