3 - Analisi dello stato di fatto

3 - Analisi dello stato di fatto

3.1 Analisi dell’edificio

Nella O.P.C.M. 3431/05 è possibile trovare una marcata distinzione fra gli edifici di

nuova progettazione e gli edifici esistenti che si distinguono dai primi per i seguenti aspetti:

• il progetto riflette lo stato delle conoscenze al tempo della loro costruzione;

• il progetto può contenere difetti di impostazione concettuale e di

realizzazione non evidenziabili.

• tali strutture possono essere state soggette a terremoti passati oppure ad altre

azioni accidentali i cui effetti non sono manifesti.

Di conseguenza la valutazione della sicurezza ed il progetto degli interventi sono

normalmente affetti da un grado di incertezza diverso da quello degli edifici di nuova progettazione. A tal fine la normativa introduce i livelli di conoscenza che

classificano, in base alla quantità di informazioni disponibili, il grado di conoscenza della struttura. Gli aspetti che definiscono i livelli di conoscenza sono:

• Geometria, in particolare le caratteristiche geometriche degli elementi

strutturali

• Dettagli strutturali qualità del collegamento tra pareti verticali, qualità del collegamento tra orizzontamenti e pareti, tipologia della muratura e caratteristiche costruttive

Ciò comporta l’impiego di adeguati fattori di confidenza1 _{nelle verifiche di}

sicurezza come pure metodi di analisi e di verifica dipendenti dalla completezza e dall’affidabilità dell’informazione disponibile.

Si riporta, di seguito, la tabella 11.5.1 dell’O.P.C.M. 3431/2005 dalla quale risulta di chiara lettura il legame fra il livello di conoscenza, in funzione dell’informazione disponibile, ed i metodi di analisi ammessi e i fattori di confidenza.

Livello di conoscenza

Geometria Dettagli costruttivi Proprietà dei materiali Metodi di analisi

FC LC1 Limitate verifiche in situ Limitate indagini in situ Tutti 1.35

LC2 Estese indagini in situ Tutti 1.20

LC3

Rilievo

strutturale Estese ed esaustive

indagini in situ Esaustive indagini in situ Tutti 1.00 Tab 3.1. I livelli di conoscenza rapportati alle informazioni sulla costruzione con relativi fattori di confidenza.

Per il caso studio in esame sono state compiute ricerche presso il catasto, l’Archivio

di stato, la Soprintendenza dei Beni architettonici e culturali, da tali indagini e dai rilievi effettuati, e grazie anche alla disponibilità dell’Azienda Ospedaliera Pisana nella persona dell’ing. Tancredi Cellesi, è stato restituito in formato digitale il

rilievo strutturale della struttura. Si riportano le piante in figura 3.1 (si rimanda alle tavole allegate per una più esaustiva consultazione).

Data l’impossibilità di svolgere ulteriori analisi in situ sulle proprietà dei materiali ed i dettagli strutturali sono state formulate alcune ipotesi che sostituissero tali indagini, cautelativamente è stato assunto come livello di conoscenza il più basso,

Fig.3.1 Piante dello stato di fatto

Dall’analisi dei documenti fotografici e sulla base dei rilievi effettuati è stata ipotizzata una muratura in mattoni pieni e malta di calce per la quale sono stati adottati

fm (N/cm2) 180 Resistenza media a compressione della

muratura

τ0 (N/cm2) 6.0 Resistenza media a taglio della

muratura

E (N/mm2_{) 1800 Valore medio del modulo di elasticità}

normale

G (N/mm2_{) 300 Valore medio del modulo di elasticità}

tangenziale

w (KN/m3_{) 18 Peso specifico della muratura}

Tab. 3.2. Parametri meccanici adottati per la muratura

Non sono poi stati presi in considerazione i coefficienti migliorativi di tali

parametri, contemplati dalla normativa al punto 11.D.2, perché la malta non è stata considerata di buone caratteristiche e perché non è stata riscontrata la presenza di ricorsi o listature, diatoni, nelle murature oltre che di connessioni trasversali fra i

3.2 Considerazioni sul modello

La struttura in esame è stata modellata con il programma 3 Muri ideato per eseguire

l’analisi statica non lineare degli edifici in muratura secondo quanto indicato nell’ordinanza OPCM-3274/03 e 3431/05.

Stabilito un riferimento globale unico per il modello dell'edificio, vengono introdotti i riferimenti locali per ognuna delle pareti: queste vengono assunte

appartenenti a piani verticali la cui la traccia è visualizzata in pianta attraverso l’origine del riferimento locale Oi (xi, yi, zi), rispetto ad un sistema di riferimento

cartesiano globale (X,Y,Z), e l’angolo θi calcolato rispetto all'asse X.

Fig.3.2. Pianta del modello dello stato di fatto implementata sul software di calcolo.

Il sistema di riferimento locale della parete è univocamente definito e la

modellazione a macroelementi del modello tridimensionale può avvenire con le stesse modalità del caso piano.

Nel codice di calcolo, i nodi rigidi sono implementati differenziati in due categorie: bidimensionali (trasmettono ad ognuno dei macroelementi incidenti su di essi le

tridimensionali, solitamente, si trovano all’incrocio tra due pareti. Nella descrizione

di una singola parete, i nodi sono individuati da una coppia di coordinate (x,z) nel piano della parete e dalla quota z corrispondente a quelle degli orizzontamenti.

Fig.3.3. Gradi di libertà del nodo tridimensionale (dal manuale di Tre Muri).

E’ rilevante, nei nodi tridimensionali, evidenziare la mancanza di un

grado di libertà, la rotazione intorno all’asse Z, tale grado di libertà è

soppresso perché nella modellazione si trascura la rigidezza flessionale

delle pareti fuori dal piano. Grazie a questa suddivisione in nodi ed

elementi, il modello della parete diviene quindi del tutto assimilabile a

quello di un telaio piano. La struttura tridimensionale, in cui i maschi

murari rappresentano i pilastri e le fasce di piano le travi, risulta così,

composta dall’assemblaggio di strutture piane: le pareti e gli

orizzontamenti,

che,

composti

spazialmente,

con

opportune

connessioni,

danno

luogo

alla

modellazione

tridimensionale

(comportamento di tipo scatolare).

queste possano svolgere il loro compito è necessario che i collegamenti

con le pareti ortogonali e col solaio siano in grado di trasferire le azioni.

Le relazioni tra le 5 componenti di spostamento e rotazione del nodo

tridimensionale nel riferimento globale e le 3 del nodo bidimensionale

nel riferimento locale, appartenente alla singola parete, sono definite

dalle seguenti relazioni:

cos cos x y z x y u u u w u sen ysen

θ

θ

ϕ

ϕ

θ ϕ

θ

 = +  =   = −  (3.1)

in cui u, w e ϕ indicano le 3 componenti di spostamento secondo i gradi di libertà del nodo appartenente alla generica parete orientata in pianta secondo un angolo θ

(si rimanda alla fig.3.3.). Allo stesso modo anche le forze applicate ai nodi

tridimensionali vengono scompostesecondo le direzioni individuate dai piani medi

delle pareti ed applicate ai macroelementi nel loro piano.

Fig.3.4. Schema del nodo tridimensionale (dal manuale di Tre Muri, vedi bibliografia).

Queste forze interne trasmesse dai macroelementi appartenenti alle singole pareti ai nodi fittizi bidimensionali vengono riportate nel riferimento globale in base alle

seguenti relazioni che rappresentano la decomposizione delle forze sul nodo tridimensionale (espresse nel riferimento globale) sulle due pareti incidenti:

1 1 1 1 (1) ( 2) 2 (1) ( 2) 2 (1) ( 2) (1) ( 2) 2 (1) ( 2) 2 cos cos cos cos cos x h h y h h z v v x y F F F F F sen F sen F F F M M M sen M M M

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

θ

 _{= +}  = +   = +   = +   _{= − −}  (3.2)

in cui, come riportato in fig.2.8, i termini con apice 1 e 2 fanno riferimento rispettivamente ai termini di forza corrispondenti ai nodi fittizi individuati nelle pareti 1 e 2 cui il nodo tridimensionale appartiene.

Nel codice di calcolo utilizzato l’elemento solaio è solitamente collegato ai nodi tridimensionali poiché esso ha la funzione principale di ripartire le azioni

orizzontali tra le varie pareti in proporzione alla loro rigidezza facendo assumere al modello una maggiore corrispondenza alla realtà. I solai sono modellati come elementi finiti a membrana ortotropa a 3 oppure 4 nodi, i gradi di libertà

significativi per il comportamento del solaio sono le traslazioni (ux e uy). I parametri

meccanici che li caratterizzano sono i due moduli elastici: E1 nella direzione di

orditura (il maggiore dei due, di solito) ed E2, invece, il modulo elastico nella

direzione ortogonale all’orditura. Il modulo elastico tangenziale G2,1 rappresenta

invece la rigidezza a taglio del solaio nel suo piano e da cui dipende la ripartizione delle azioni tra le pareti. La meshatura effettuata ha suddiviso e numerato le porzioni murarie come riportato nelle immagini successive con riferimento della

numerazione delle pareti di fig. 3.2.

La tipologia degli elementi è contraddistinta dai colori: in azzurro sono

rappresentati i nodi di connessione, in rosso i maschi murari ed in verde le fasce di piano.

Fig.3.5. Parete 1.

Fig.3.7. Parete 2

Fig.3.10. Parete 5

Fig.3.12. Parete 8 Fig.3.13. Parete 9

Sul modello è stata effettuata un’analisi modale per il calcolo delle forme modali

della quale sono riportate le rappresentazioni grafiche di alcune di esse (le prime 5) ottenute con il CAD dalla lettura degli spostamenti modali nodali.

Fig. 3.17. 3° modo di vibrare T = 0.194 sec

Fig. 3.19. 5° modo di vibrare T = 0.146 sec

Di seguito, si riporta il quadro dei dati, relativo a tale analisi, per i modi considerati

significativi2_{, cioè con ΣM ≥85%(per le due direzioni) e, con T si indica il periodo}

proprio, con f la frequenza e con Mx ed My le masse partecipanti nelle due

direzioni. Le ultime colonne vanno lette come la sommatoria di queste.

MODO T (sec) f (Hz) Mx% My% Σ Mx% Σ My%

1 0.23 4.345 0.00% 44.82% 0.00% 44.82% 2 0.207 4.825 0.07% 26.18% 0.07% 71.00% 3 0.194 5.157 0.28% 6.31% 0.35% 77.31% 4 0.186 5.364 0.41% 1.42% 0.75% 78.73% 5 0.146 6.852 1.29% 1.67% 2.04% 80.40% 6 0.128 7.822 51.48% 0.29% 53.52% 80.70% 7 0.127 7.868 3.00% 0.38% 56.53% 81.07% 8 0.12 8.361 19.74% 0.05% 76.26% 81.13% 9 0.109 9.157 0.11% 0.18% 76.37% 81.31% 10 0.102 9.763 0.00% 1.48% 76.37% 82.79% 11 0.093 10.715 4.80% 0.00% 81.18% 82.79% 12 0.087 11.505 0.06% 0.89% 81.23% 83.68% 13 0.085 11.8 0.01% 0.63% 81.24% 84.30% 14 0.083 12.063 0.08% 0.01% 81.32% 84.32% 15 0.07 14.264 0.01% 0.32% 81.32% 84.64% 16 0.067 14.986 0.01% 1.57% 81.33% 86.20% 17 0.064 15.56 0.01% 0.04% 81.34% 86.24% 18 0.06 16.795 2.54% 0.00% 83.89% 86.24% 19 0.057 17.546 0.17% 0.00% 84.05% 86.25% 20 0.056 17.713 0.36% 0.03% 84.41% 86.28% 21 0.055 18.3 0.03% 0.21% 84.45% 86.49% 22 0.053 18.975 0.11% 0.00% 84.55% 86.50% 23 0.051 19.643 0.12% 0.14% 84.67% 86.64% 24 0.05 19.871 0.19% 0.08% 84.87% 86.72% 25 0.046 21.805 0.00% 0.02% 84.87% 86.74% 26 0.045 22.231 0.10% 0.03% 84.97% 86.76% 27 0.044 22.67 0.03% 0.02% 85.004% 86.78%

Come si vede dalla tabella di figura 3.21 il numero dei modi significativi è alto, sono infatti, 16 in direzione X e ben 27 in direzione Y, tali dati non devono però stupire

perché le strutture in muratura sono tipicamente governate da un alto numero di modi.

3.2 Analisi di push over - Verifiche globali

Come precedentemente spiegato per compiere una analisi statica non lineare è

necessario costruire una curva di capacità relativa al modello in esame. Tale curva è così denominata proprio perché indica la capacità di un edificio3 _{di spostarsi in}

funzione di una forzante esterna applicata.

Per il caso in esame, fissato un sistema di assi cartesiano come indicato in fig.3.17 sono state calcolate, due coppie di curve di capacità (due per ogni direzione)

ottenute da distribuzioni di forze proporzionale alle distribuzione di massa (schematizzata dal programma come rettangolare) e proporzionale al I modo di

vibrare (e schematizzata dal programma come triangolare). Si ricorda che, come ampiamente documentato in letteratura, la prima coglie meglio i comportamenti in

fase anelastica, mentre l’altra è più rappresentativa nella fase elastica. Di seguito sono riportate le due coppie di curve relative alle due direzioni. I punti di controllo sono stati presi per entrambe le direzioni al secondo piano ad altezza 6.94 metri dal

piano di campagna (0.00) come indicato in fig.3.15.

Per la direzione X c’è una stretta somiglianza fra le due curve con maggiore

resistenza della curva ottenuta secondo la distribuzione delle masse ed anche una maggiore (sebbene di poco) rigidezza data dalla maggiore pendenza della curva nel

primo tratto. Gli scalini presenti sul grafico sono relativi al collasso dei singoli elementi che non offrendo più, il loro contributo diminuiscono bruscamente la resistenza massima della struttura.

fig.3.15. I punti di controllo della struttura nelle due direzioni

Le curve sono state arrestate ben oltre il valore usuale di spostamento di collasso

per questa tipologia di struttura perché la lettura della curva di capacità nel suo insieme può comunque dare informazioni utili. Lungo Y (parallelamente al lato

corto) si nota un comportamento sostanzialmente differente tra le due distribuzioni di forze rispetto a quello ottenuto per la direzione X; infatti, Il comportamento con

l’applicazione rettangolare in Y denuncia la piccola riserva plastica della struttura ed un grandissimo abbattimento della resistenza dovuto al collasso del primo elemento murario: successivamente la resistenza subisce graduali e piccoli

decadimenti. Dalla applicazione della distribuzione triangolare, nella medesima direzione, si evince una minor resistenza iniziale ma una riserva plastica più

cospicua che sposta il decadimento dovuto al collasso del primo maschio murario, è da sottolineare che tale collasso, però, non abbatte la resistenza in modo drastico come nel precedente caso.

Il passo successivo alla costruzione delle curve di capacità è il passaggio ad un sistema ad 1-GDL con un comportamento bilineare equivalente, per fare ciò è

necessario calcolare il coefficiente di partecipazione del primo modo di vibrare, già introdotto nel capitolo 2:

1 1 * 1 T MR M

γ

=Φ (2.20)

Tale dato è ricavabile come output dal software per il caso in esame abbiamo rispettivamente alle direzioni X ed Y i valori γ1x= 1.097 e γ1y= 1.155. Con tali valori si

possono scalare opportunamente l’insieme dei valori del taglio (V) e dello spostamento (d) prodotti dal software ed è così possibile ottenere le curve F*-d* relative ad un oscillatore ad 1-GDL equivalenti nel seguente modo:

* Vbu

fig. 3.16. Equivalenza tra la curva 1-GDL e la bilineare equivalente (Analisi lungo X distribuzione di forza proporzionale alle masse)

Si deve quindi rapportare la curva F*-d* del sistema equivalente con una curva

bilineare definita in base al criterio di uguaglianza delle aree sottese (l’uguaglianza delle energie dissipate).

La bontà dell’analisi di push over risiede proprio in tale passaggio, infatti una non corretta uguaglianza può portare a sovrastimare o sottostimare la resistenza ultima. Riferendosi alla fig.3.16, e fissato d*u, l’area sottesa da curva rossa (1 GDL) deve

essere uguale alla bilineare equivalente (spezzata gialla) rappresentata dal tratto elastico e dal successivo tratto plastico. Per fare ciò si individua sulla curva 1 GDL

la massima la resistenza F*y ed il relativo spostamento d*m, si calcola quindi l’area

sottesa dalla curva del sistema tra 0 e d*m, (E*m) e si ricava lo spostamento allo

snervamento imponendo che siano uguali l’area sottesa dalla curva non lineare

* * * y y F K d = (3.5)

da essa con la massa partecipante m* (2.24) sono stati calcolati i periodi della

struttura mediante la * * * 2 m T k

π

= (2.23)

Di seguito si riporta una tabella con il valori dei parametri per le direzioni X ed Y con le distribuzioni di forze proporzionali alla distribuzione delle masse e

proporzionali al I° modo. Con Vu si definisce il taglio massimo del sistema M-GDL

e con dc il relativo spostamento. Si ricorda che con le diciture pomas e pomaz si

definiscono rispettivamente le distribuzioni di forze proporzionali alle masse

(approssimata dal programma come una distribuzione di forze rettangolare) ed al primo modo di vibrare (approssimata dal programma come una distribuzione di forze triangolare).

X Y

Pomas Pomaz Pomas Pomaz

1

γ

- _{1.097 1.097 1.155 1.155}

V

u kN 4'193.3 3'903.7 1'855.8 1'786.9

d

c cm 0.73 0.69 0.60 1.04 * y F kN _{3'821.9 3'557.9 1'605.9 1'546.3} d*m cm 0.66 0.63 0.52 0.90 * y d cm _{0.25 0.26 0.25 0.34} * K N/m 1'545'474'910 1'368'242'930 637'853'700 451'451'529 m* kg _{806'655 806'655.0 765'365 765'365} T* sec 0.1435 0.1525 0.2175 0.2586

Fig3.17. Grafico di push over per la direzione X con distribuzione di forze proporzionale al I° modo

Fig3.19. Grafico di push over per la direzione Y con distribuzione di forze proporzionale al I° modo

E’ possibile, adesso, leggere le massime risposte in spostamento del sistema 1 GDL

(curva bilineare) con l’utilizzo dello spettro di risposta elastico esposto nel paragrafo 2.3. Nel caso in esame risulta sempre T*< Tc quindi lo spostamento del

sistema anelastico risulta:

* * ,max * max * 1 ( 1) * e c d T d q q T   = =_ + − _   (2.26) con 2 2 * ,max

*

( *)

2.5

*

*

2

c c e Ae g

T

T

T

d

S

T

a S

T

η

T

π







 



=

_

_

=

_

_{ }

_







 



(2.25)

ed essendo q* _{il rapporto tra la forza di risposta elastica (data dal prodotto dello}

spettro di risposta elastico di pseudo-accelerazione SAe(T*) e la massa m*) e la forza

La verifica termina con il confronto fra questo spostamento e quello richiesto per gli stati limite considerati. Per lo stato limite ultimo la normativa indica lo spostamento

relativo all’80% della resistenza massima, mentre per lo stato limite di danno lo spostamento da paragonare è quello relativo al massimo della resistenza. Deve

quindi risultare:

per S.L.U.

d

max*

<

d

SLU (3.10)

per S.L.D.

d

max*

<

d

SLD (3.11)

Si riporta quindi uno schema di confronto fra gli spostamenti del sistema ad 1 GDL, i relativi sistemi M-GDL e gli spostamenti richiesti dagli stati limite considerati.

Tab.3.5. Confronto fra gli spostamenti richiesti e gli spostamenti che la struttura offre.

Dalla lettura della precedente tabella, la verifica di push over risulta ampiamente

NON verificata in entrambe le direzioni per le due distribuzioni di forze applicate, sia allo stato limite ultimo che allo stato limite di danno.

* max d SLU dSLU * max d SLE dSLD

Verifica

Pomas X

_0.0172

_0.0076

_0.0157

_0.0073

No

Pomaz X

_0.0207

_0.0073

_0.0188

_0.0069

No

Pomas Y

_0.0516

_0.0061

_0.0446

_0.0060

No

Pomaz Y

_0.0623

_0.0106

_0.0539

_0.0104

No

3.3 Analisi di push over - Verifiche locali

Anche se non previsto dall’Ordinanza sono state svolte verifiche locali sugli

elementi strutturali, dallo studio di esse, infatti, si possono dedurre, mediante i diversi modi di collasso, gli eventuali difetti presenti nella struttura; da ciò si

potranno, in seguito, dedurre soluzioni che mirino alla risoluzione di tali difetti o quanto meno al loro miglioramento.

Le porzioni di parete vanno verificate singolarmente secondo lo schema a maschi

murari e fasce di piano già utilizzato per la verifica globale.

Tali elementi, successivamente alle applicazioni delle forze, risultano avere

caratteristiche di sollecitazione interne quali momento, taglio e sforzo normale; da confrontare con i rispettivi valori ultimi di ogni singolo elemento strutturale.

Per la verifica a pressoflessione si fa riferimento a quanto riportato al punto 8.2.2.1 dell’ordinanza, per la verifica a pressoflessione nel piano deve quindi risultare:

u M ≤M (3.12) dove 2 0 0 ( / 2)(1 / 0.85 ) u d M = l t

σ

−

σ

f (3.13)

La verifica a taglio, svolta secondo quanto riportato al punto 11.5.8.1, deve

verificare la seguente:

con:

• MU è il momento corrispondente al collasso per pressoflessione

• l è la lunghezza complessiva dell’elemento (inclusa della zona tesa)

• t è lo spessore della zona compressa della parete

• σ0 è la tensione normale media (=P/lt, con P forza assiale agente positiva se di

compressione, se P è di trazione MU=0)

• fd=fk /γm è la resistenza a compressione di calcolo della muratura

• ftd è la resistenza a trazione per fessurazione diagonale

• τ0d è la resistenza a taglio di riferimento della muratura

• b è un coefficiente correttivo legato alla distribuzione degli sforzi sulla

sezione, dipendente dalla snellezza della parete (b=h/l) comunque compreso fra 1 ed 1.5

La norma prevede che le verifiche locali sopra esposte siano da considerarsi allo

stato limite ultimo, cui corrisponde una resistenza globale (di taglio alla base) della struttura pari all’80% del massimo.

La verifica relativa al superamento del drift, esposta successivamente, è, da considerarsi, invece, sempre secondo la normativa, allo stato limite di danno cui

corrisponde una resistenza globale, di taglio alla base, massima.

Definito il drift (dr) per il singolo elemento come lo spostamento fra il punto in

sommità e la relativa proiezione alla base la norma prescrive, al punto 4.11.2 che,

per gli edifici come il caso studio, in muratura ordinaria, deve risultare:

dr<0.003h (3.16)

Le verifiche locali dei singoli elementi sono riportate in appendice A per una più facile lettura. Successivamente, si riporta una rappresentazione grafica degli

Il colore rosso rappresenta la crisi per taglio, in blu, invece è rappresentata la crisi

per pressoflessione, entrambe sono verifiche allo SLU; in giallo è rappresentata la crisi per superamento del drift imposto dalla O.P.C.M.3431/05 che si ricorda essere

una verifica allo SLD.

Fig.3.20. Parete 3

Fig.3.20. Parete 4

Fig.3.20. Parete 7

3.4 Alcune osservazioni sull’analisi dello stato di fatto

Dalle analisi effettuate emerge che la struttura analizzata richiede, per soddisfare le

verifiche di sicurezza una elevata duttilità: questo è imputabile essenzialmente a tre ragioni.

• La prima è la conformazione geometrica che non rispetta i criteri di

regolarità in pianta ed in altezza specificati nel Capitolo 2;

• Altro motivo è sicuramente da attribuirsi al materiale che per sua natura non

permette spostamenti tali da assorbire gli effetti causati dal sisma.

• La rigidezza dei solai nel proprio piano non è sufficiente a ripartire le azioni

sulle pareti nel piano dell’azione considerata, essi, infatti, costruiti tradizionalmente con un ordito di travi in legno (principale e secondario) sul

quale poggiano mezzane in laterizio rese solidali con un letto di malta sono stati implementati come NON rigidi nel loro piano, questo fa si che durante l’azione sismica non vi sia una auspicabile ripartizione degli sforzi sugli