Esercizi per il compito Studi di funzione

Istituzioni di Analisi Matematica, 2017-2018 Paola Mannucci, Annalisa Cesaroni, Alvise Sommariva

Esercizi per il compito Studi di funzione

1. Studiare la seguente funzione (no derivata seconda) f (x) = arctan

 |x|

(x − 1) ²



( 1 punto di con discontinuit´ a eliminabile, 1 massimo locale (e anche assoluto), −1/3 massimo locale, x = 0 punto angoloso e minimo locale (e anche assoluto), y = 0 asintoto orizzontale).

Un po’ pi` u semplice altrimenti ` e f (x) = arctan

 x

(x − 1) ²



(1 punto di con discontinuit´ a eliminabile, 1 massimo locale (e anche assoluto), −1/3 minimo locale (e anche assoluto), y = 0 asintoto oriz- zontale).

2. Studiare la seguente funzione (no derivata seconda) f (x) =

r x ² − 1 x − 2 . x = 2 asintoto verticale dx, 2 − √

3 massimo locale, 2 + √

3 minimo locale, x = ±1 minimi (assoluti), attacchi verticali in 1 ⁺ , −1 ⁻ . Una variante ` e

f (x) =

√ x ² − 1 x − 2 .

y = 1 asintoto orizzontale a +∞, y = −1 asintoto orizz. a −∞, x = 2 as. verticale, 2 + √

3 minimo locale, attacchi verticali in 1 ⁺ , −1 ⁻ . 3. (Paola) Studiare la seguente funzione (no derivata seconda)

f (x) = 2 sin x sin ² x + 2 cos ² x .

4. (Paola) Studiare la seguente funzione (no derivata seconda) f (x) = arcsin( √

x) − log(x).

5. (Paola) Studiare la seguente funzione (no derivata seconda) f (x) = x ^cos(2x) .

1

Limiti

1. Determinare al variare di α > 0 il valore del limite

x→0 lim

cos(2x) − e ^x

+ 3x ²

√ 1 + x ^α − √

1 − x ^α . 2. (Paola)

x→0 lim

e ^x

− e ^x

log(1 + x + x ² ) − x . 3. (Paola) Studiare al variare di α ∈ IR

x→0 lim

x ² − (sin x) ²

(tan x − log(1 + x)) ^α cos x.

Integrali 1. (a) Calcolare l’integrale

Z 4 1

1 x + √

x dx.

(b) Dire se l’integrale improprio Z 4 0

1 x + √

x dx converge e in caso affermativo calcolarlo.

2. (a) Calcolare l’integrale

Z 1 0

1 e ^2x + 2 dx.

(b) Dire se l’integrale improprio Z +∞

0

1 e ^2x + 2 dx converge e in caso affermativo calcolarlo.

3. (Paola)

Calcolare una primitiva di

f (x) = x p(x ² + 3) ⁵ .

2

(a)

(b) Dire se l’integrale improprio Z +∞

1

f (x)dx converge e in caso affermativo calcolarlo.

4. (Paola) Sia

f (x) = 9x ^α + sin x + arctan(x ³ ) (x + 1)(x ³ + 5) + e ^−x Dire per quali α > 0, lim _x→+∞ f (x) = 0.

(a)

(b) Dire se l’integrale improprio Z +∞

1

f (x)dx converge.

Serie

1. Studiare al variare di α > 0 la convergenza semplice e assoluta della serie

+∞

X

n=2

(−1) ⁿ n ^α log n . 2. Determinare il carattere della serie

+∞

X

n=1

1 9 ⁿ

 1 + 2

n

 n

.

3. Determinare al variare di α ∈ IR il carattere della serie

+∞

X

n=0



n ^α − n ^α cos  1 n



.

4. (Paola) Sia

a n = lim

n→+∞

sin(n ² ) + n ³ log n − 3 √ n e ⁻ⁿ + 5n ^α+1 − 3 . i) Studiare al variare del parametro α ∈ IR

n→+∞ lim

sin(n ² ) + n ³ log n − 3 √ n e ⁻ⁿ + 5n ^α+1 − 3 .

ii) Studiare al variare del parametro α ∈ IR il comportamento della serie

∞

X

n=0

a _n .

3

5. (Paola) Studiare al variare di α ∈ IR la convergenza della serie

+∞

X

n=1

(n ² − 1) ⁵ n ^2α+3 .

6. (Paola) Studiare al variare di α ∈ IR la convergenza della serie

+∞

X

n=1

n ^α ( 1

n − sin 1 n ).

Due variabili 1. Determinare i punti critici della funzione

f (x, y) = xye ^x+y e studiarne la natura.

2. (Paola) Sia data la funzione

f (x, y) = log(xy + x ² ).

Determinare il dominio. Dire se ` e differenziabile nel suo dominio.

Calcolare il piano tangente (1, 0, 0). Calcolare le derivate direzionali in (1, 0) nella direzione v = (

√ 3 2 , ¹ ₂ ).

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