Eserciziario di Calcolo delle Probabilità

(1)

1

Eserciziario

di Calcolo delle Probabilità

VERSIONE PRELIMINARE

Piero Quatto, Riccardo Borgoni, Elena Colicino, Daniela Mariosa

(2)

2

PARTE 2

Variabili casuali continue

(3)

3 Sezione 5. Variabili casuali continue, trasformazioni di variabili casuali, funzione generatrice dei momenti per variabili casuale continue e discrete.

Esercizio 1 (funzioni di densità, valore atteso e varianza)

Per ciascuna delle seguenti funzioni si decida se si tratta di funzioni di densità e in caso di risposta affermativa si calcoli valore atteso e varianza della corrispondente v.c.

1 f(x)=1/x⁴ x≥(1/3)^1/3 2 f(x)=|1+x| -2<x<0

3 f(x)=e^-x x>0

4 f(x)=6x(1-x) 0<x<1 Soluzione

1 ∫[(1/3)(1/3)

,+∞) 1/x⁴dx=1 E(X)= (9)^1/3/2 V(X)=(3)^1/3- (9)^1/3/2 2 ∫(-2,0)|1+x| dx=1

E(X)= ∫(-2,0)|1+x| x dx=1/3 V(X)=41/6-1/9

3 ∫(0, +∞) e^-x dx=1

E(X)=(-e^-x (x+1)) (0, +∞)=1 per parti

V(X)= (-e^-x (x²+2x+2))_{(0, +∞)} -1=1 per parti due volte 4 ∫_{(0, 1)} 6x(1-x) dx=1

E(X)=1/2 V(X)=1/20

Esercizio 2 (funzione di densità e funzione di ripartizione) Data la funzione:

f(x)=



 − ≤ <

altrimenti 0

k x 2 1 (x/2)

1 Si determini il valore di k che assicura che f(x) rappresenta una funzione di densità.

2 Si individui la corrispondente funzione di ripartizione F(x) e, tramite questa, la mediana della v.c. descritta dalla densità f(x).

Soluzione

1 Deve valere ∫_[2,k)(x/2)-1 dx=1. Risolvendo l’integrale si ottengono due valori di k, k₁=0 e k2=4. k1<2 quindi non va bene, mentre k2>2 è il valore che stavamo cercando.

2 Siccome vale f(x)=F’(x) allora si avrà che

F(x)=







≥

<

≤ +

−

=

<

∫

4 1

4 2

1 ) 4 / ( dt 1 - (t/2)

2 0

2 x)

[2,

x x x

x

La mediana si ottiene imponendo F(x)=1/2 quindi (x²/4)-x+1=1/2. L’equazione possiede due radici x1=2+(2)^1/2 e x2=2-(2)^1/2, l’unica radice valida come valore mediano è x1 in quanto compreso tra 2 e 4.

(4)

4 Esercizio 3 (f.d.,f.d.r.,trasformazione)

Sia X una variabile aleatoria tale che f(x)=



 ≤ <

altrimenti 0

1 x 1 - kx²

1. Determinare il valore di k.

2. Se Y = 2X − 5, determinare il valore di P(|Y | < 4) Soluzione

1. Deve valere ∫[-1,1)(kx²) dx=1. Risolvendo l’integrale si ottiene k=3/2 2. P(|Y | < 4) = P(0.5 < X < 4.5) =3/2∫[0,5,4,5)(x²) dx=0.4375

Esercizio 4 (f.d. fd.r. traformazione) Sia X una variabile aleatoria tale che

f(x)=



 ≤ <

altrimenti 0

k x 0 (3/4)e^x

1. Si determini il valore di k tale che f(x) sia una funzione di densità di probabilità.

2. Si scriva l’espressione analitica della funzione di ripartizione di X e se ne tracci il grafico.

3. Calcolare P(0.1 < X < 0.7).

Soluzione

1. Deve valere ∫[0,k)(3/4)e^x dx=1. Risolvendo l’integrale si ottiene exp(k)=7/3 quindi k=log (7/3)

2. Per definizione, F(x) = P(X ≤ x) quindi si ottiene:

F(x)=







≥

<

≤

−

=

<

∫

) 3 / 7 log(

1

) 3 / 7 log(

0 ) 1 )(

4 / 3 ( dt )

4 / 3 (

0 0

x) [0,

x x e

e

x

x t

3. Si osservi che 0.7 < log(7/3). Pertanto:

P(0,1 < X < 0,7) = FX (0.7) − FX(0.1) =(3/4)(e^0,7 − 1) – (3/4)(e^0,1 − 1) = 0.681 Esercizio 5 (f.d., f.d.r., trasformazione)

1. Si trovi il valore della costante k per cui la funzione f(x)=ke^-x (0<x<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X e se ne determini la funzione di ripartizione.

2. Si determino media e mediana della v.c. X.

3. Si determini la funzione di ripartizione della v.c. Y=2X+1 e si calcoli valore atteso di Y.

Soluzione

1. Dalle condizioni seguenti si riesce a individuare il valore di k:.

1,582 1

e k e 1 dx e k

0 e k

1

0 x x

− =

 =

2 1 F y

2 1 X y

P y) 1 P(2X y)

P(Y

Ψ (y) ²

1 y X

Y = ⋅ − < <



 



 −

=



 



 ≤ −

=

≤ +

=

≤

= ⁻ ⁻

[ ] [

^Y ^E^2X ¹

]

^1,836

E = + =

Esercizio 6

1. Si trovi il valore della costante k per cui la funzione φ(x)=kx^-1/2 (0<x<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X e se ne determini la funzione di ripartizione.

2. Si determini la funzione di densità della v.c. Y=X^1/2 e si calcoli la varianza di Y.

3. Si calcoli Cov (X,Y).

Soluzione

Sia ϕ(x) = k x^−1/2 (0<x<1).

1. ∫ϕ(x)dx = 1 ⇒ k = 1/2;

Φ(x) = P(X≤x) = x^1/2 per 0<x<1, Φ(x) = 0 per x≤0 e Φ(x) = 1 per x≥1.

2. La v.c. Y = X^1/2 ha f.d. data da ψ(y) =1 (0<y<1) e varianza pari a 1/12.

3. Cov(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) = 1/12 essendo E(XY) = E(Y³) = ∫y³ψ(y)dy = 1/4, E(X) = E(Y²) = ∫y²ψ(y)dy = 1/3 e E(Y) = ∫yψ(y)dy = 1/2.

Esercizio 7 (v.c. uniforme continua) Sia X una v.c. uniforme X~U(0,3).

1. Si calcoli la funzione di ripartizione F_X(x).

2. Si calcolino media e varianza.

3. Si calcoli P(X>0,5).

Soluzione

1. In questo caso FX(x)= ∫[0,x] fT(t) dt=∫[0,x] (1/3) dt=(1/3)x. Quindi:

FX(x)=











≥

<

≤

<

3 1

3 3 0

1

0 0

x x x

x

2. E(X)=(b+a)/2=1,5 V(X)= (b-a)²/12=9/12

3. P(X>0,5)= ∫[0,5,3] (1/3)x dx=5/6 oppure F(3)-F(0,5)=1-(1/6)=5/6

(6)

6 Esercizio 8 (v.c. uniforme e trasformazione)

Sia X una v.c. Uniforme sull’intervallo (0,1) e si definisca Y=log(X).

1. Si determinino la funzione di ripartizione e la funzione di densità della v.c. Y.

2. Si calcolino la mediana e la media di Y.

Soluzione

X~U (0,1) e Y = log(X).

1. Ψ_Y(y)=P(Y≤ y)=P(log(X)≤ y)=P(X≤e^y)=Φ_X(e^y)essendo Φ_X(x)= x





≥

= <

Ψ 1 0

) 0

( y

y y e

y Y

0 y dy e

dΨΨ(y)

ψ_Y(y)= = ^y <

2. La mediana di Y si ottiene risolvendo l’equazione Ψ_Y(y)=0,5 y = -log2 = -0.69 il valore atteso: ^E

[ ]

^Y =

∫

⁰^y⋅^ψY^(y)^dy=−¹

∞

−

Esercizio 9 (v.c. esponenziale)

Il tempo di durata dei prestiti concessi ad una società segue la legge esponenziale. Il tempo medio di un prestito è di due anni e mezzo.

1. Si scriva la funzione di densità della v.c. che descrive la durata dei prestiti e si fornisca la varianza.

2. Si calcoli la probabilità che un prestito abbia durata compresa tra due e tre anni.

Soluzione

X~exp(θ) => E(X)=1/θ =2,5 => θ=0,4 1. Quindi f_X(x)=0,4e^-0,4x con x>0.

V(X)=1/θ²= 6,25

2. P(2<X<3)=∫[2,3] fX(x) dx=0,148

Esercizio 10 (v.c. poisson-v.c. esponenziale)

Il numero di automobili che attraversano un particolare incrocio stradale in un’ora è mediamente pari a 30. Utilizzando un’opportuna legge di probabilità:

1. Determinare la probabilità che in un intervallo di tempo di cinque minuti nessuna automobile attraversi l’incrocio in questione.

2. Qual è la probabilità che in dieci minuti almeno due automobili passino lungo quel tratto di strada?

3. Qual è la probabilità che tra il passaggio di un’auto e di quella successiva trascorra più di un minuto?

Soluzione

1. Sia Y =“numero di autoveicoli che passano lungo l’incrocio in cinque minuti”.

Dalle informazioni fornite dall’esercizio si deduce che il numero medio di automobili che attraversano l’incrocio in cinque minuti è pari a 30/12 = 2.5. Quindi E[Y ] = 2.5 e

Y ~ Poisson(2.5).

P[Y = 0] = (e^−2.5 (2.5)⁰)/0!=0.082.

2. Se X =“numero di autoveicoli che passano lungo l’incrocio in dieci minuti”,allora X=2Y e X~Poisson(5). Di conseguenza:

P[X ≥ 2] = 1 − P[X < 2] = 1 − { P[X = 0]+P[X = 1]}= 0.9595.

(7)

7 3. Sia T =“tempo (in minuti) trascorso tra il passaggio di un’auto e di quella successiva”. Dal momento che il numero di auto che circolano nell’incrocio è mediamente pari a 30/60 = 0.5, si ha che T~expneg(0.5), ovvero T ha funzione di densità:

fT (t) =0.5 e^{−0.5 t} t ≥ 0

f_T (t)= 0 altrimenti

P[T > 1] =∫[1,∞) fT (t) dt= 0.6065.

Esercizio 11 (v.c. esponenziale e trasformazione) Indicata con X la v.c. esponenziale con media 1/θ.

1. Si determini la funzione di ripartizione della v.c. Y= (x)^1/2.

2. Si determini la funzione di densità di Y e si calcoli il relativo momento secondo.

Soluzione

X~Exp(θ)^⇒ ^E

[ ]

^X ⁼_θ¹^quindiϕX^(x)=^θ^e⁻^θx ^x>⁰ e Y = √X.

1. Ψ_Y(y)=P(Y≤ y)=P( X ≤ y)=P(X≤y²)=Φ_X(y²) con y>0

Essendo ⁼

∫

^x ⁼ ⁻ ⁻

0

θx

X(x) (x)dx 1 e

Φ ϕ

0 y e

1 ) Φ (y

Ψ_Y(y)= _X ² = − ⁻^θy² >

2. ψ_Y(y)=Ψ_Y'(y)=2θθ⋅e⁻^θy² y>0 e E(Y²) = E(X) = 1/θ.

Esercizio 12 (v.c. uniforme continua, v.c. chiquadro)

Sia X una v.c. rettangolare caratterizzata dalla f.d. φ(x)=1 (0<x<1) e sia Y=--2logX.

1. Si determini la distribuzione della v.c. Y.

2. Per quale valore di g la v.c. Y ha distribuzione Chi-Quadro con g gradi di libertà 3. Si calcolino la media, la varianza e la mediana di Y

Soluzione

1. La distribuzione di Y=-2log(X) è un’esponenziale negativa con f.r. e f.d. date, rispettivamente, da Ψ(y) = P[Y ≤ y] = P[X ≥ exp(-y/2)] = 1 – Φ( exp(-y/2)) = 1 – exp(-y/2) e ψ(y) = ϕ(exp(-y/2)) exp(- y/2) / 2 = exp(-y/2) / 2 (y>0).

2. Y ∼ Gamma(1,1/2) = χ²2. 3. E(Y) = 2,

Var(Y) = 4

Mediana(Y) = 2log2, soluzione dell’equazione Ψ(y) = ½.

Esercizio 13

Sia X una variabile aleatoria con funzione di probabilità

X −1 0 1

P(x) 2/9 5/9 2/9

1. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si calcoli tramite essa E(X) e Var(X).

2. Si determini l’espressione dei momenti di ordine pari e dei momenti di ordine dispari di X Soluzione

1.

( ) (

²^e ²^e ⁵

)

)

X e e

9 ) 2 t ( ''

G = + ⁻ da cui ^E⁽^X²⁾⁼^G^''^X⁽^t⁾⁼ ²₉

(

^e⁰ ⁺^e⁻⁰

)

⁼ ₉⁴^.

Si ottiene quindi Var(X) = E(X²) − E(X)²= 9 4 2. Momenti di ordine pari

(

^t ^t

)

) n 2 (

X e e

9 ) 2 t (

G = + ⁻ derivata di ordine 2n della fgm per n = 1, 2, 3, … da cui

( )

9 e 4 9 e ) 2 t ( G ) X (

E ²ⁿ = ⁽_X²ⁿ⁾ = ⁰+ ⁻⁰ = momento di ordine 2n (pari) di X per n=1, 2, 3,…

Momenti di ordine dispari

(²ⁿ ¹)

(

^t ^t

)

X e e

9 ) 2 t (

G ⁺ = − ⁻ derivata di ordine 2n+1 (dispari) della fgm per n=0,1,2,3,… da cui

(

^e ^e

)

⁰

9 ) 2 t ( G ) X (

E ²ⁿ⁺¹ = ²_Xⁿ⁺¹_X = ⁰ − ⁻⁰ = momento di ordine 2n+1 (dispari) per n =1,2,3,…

Esercizio 14

Sia X una v.a. uniforme discreta di parametro k. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si calcoli tramite essa E(X) e Var(X).

Soluzione

Funzione generatrice dei momenti

( ) ^∑ ( )

=

+ + +

=

= ^k

1 x

kt t

2 t tx

tX

X e e e

k e 1 k e 1

E ) t (

G L ^.

Valore atteso di X

(

^t ²^t ^kt

)

X e 2e ke

k ) 1 t ( '

G = + +L+

( ) ⁽ ⁾

2 1 k k 2

1 k k k

i ke

e 2 k e ) 1 0 ( ' G ) X ( E

k

1 0 i k 20

0 X

= +

+ +

=

∑

L =

si ricordi che

( )

2 1 k i k

k

1 i

= +

∑

=

. Varianza di X

(

^t ²^t ² ^kt

)

X e 4e k e

k ) 1 t ( ''

G = + +L+

) X (

E ² ⁼ ^X ⁼

(

⁰⁺ ²⁰⁺ ⁺ ² ^k⁰

) (

⁼ ¹⁺⁴⁺ ⁺^k²

)

⁼

k e 1 k e

4 k e ) 1 0 ( ''

G L L

( )( ) ( )( )

6 1 k 2 1 k k

6 1 k 2 1 k k k

i

k

1 i

2

+

= + +

= +

=

∑

= .

Si ricordi che

( )( )

6 1 k 2 1 k i k

k

1 i

2= + +

∑

=

.

Var(X) = E(X²) − E(X)²

( )( ) ( )

4 1 k 6

1 k 2 1

k+ + − + ²

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 1 k 6

3 k 3 2 k 4 2

1 k 2

1 k 3

1 k 2 2

1

k = + + − − = ²−

 + − +

= +

(9)

9 Esercizio 14

Sia X una v.a. di Bernoulli di parametro θ.

1. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X)= θ e var(X)=

θ(1−θ).

2. Si determini tramite la funzione generatrice dei momenti E(Y) con Y=1 + X/2.

Soluzione

1. funzione generatrice dei momenti

( )

^e

⁽

¹

⁾

^e ^e

⁽

¹

⁾

^e ¹ ⁽¹ ^e ⁾

E ) t (

G_X = ^tX = −θ ^t⁰ +θ ^t = −θ +θ ^t = −θ − ^t . Valore atteso

t X(t) e '

G =θ da cui E(X)=G'X(0)=θe⁰ =θ Varianza

t X(t) e ''

G =θ da cui E(X²)=G''_X(0)=θe⁰ =θ Si ottiene quindi

Var(X) = E(X²) − E(X)²= θ−θ²= θ(1−θ).

Si noti in particolare che G⁽_Xⁿ⁾(t)=θe^t da cui E(Xⁿ)=G⁽_Xⁿ⁾(0)=θe⁰ =θ _∀n = 1, 2,…

2.

( ) (

⁽ ⁾

)

_^⁼ ^_^ _^^⁼ ⁻ ^θ ⁻ ⁼ ⁻ ^θ⁺ ^θ









= 

=

= ^tY ^t¹⁺^X^/² ^t ^Xt² ^t _X ^t ²^t ²^t ^t ²^t ^t

Y e e (1 e ) e e e

2 G t e e E e e

E e E ) t (

G .

θ + θ

−

= ² ^t

t t

Y e e

2 e 1 ) t ( ' G

2 2 2

1 1 ) 0 ( ' G ) Y (

E = _Y = − θ+θ= +θ

Esercizio 15

Sia Y una v.a. Binomiale di parametri n e 1>θ>0. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X) = nθ e var(X) = nθ(1−θ).

Soluzione

( ) ^∑ ( ) ⁽ ⁾ ^∑ ( )( ) ⁽ ⁾ ( )

=

−

=

− = θ −θ = θ + −θ

θ

− θ

=

= ⁿ

1 x

t n x x n

t n x n

1 x

x x n

n x tx tX

X(t) Ee e 1 e 1 e 1

G

dove l’ultimo passaggio segue dal teorema binomiale.

Si noti inoltre che, se n=1, allora G_X(t)=θe^t+1−θ ovvero la fgm di una Bernoulli di parametro θ che, quindi, rappresenta una specificazione particolare della Binomiale.

Valore atteso

(

^t

)

ⁿ ¹

t

⁻

⁾ ) (

⁺ ^θ ⁺ ⁻^θ

) ]

θ

=n e^t e^t 1 ⁿ⁻² e^t n 1 e^t 1 . Da cui

=

(

¹⁻^θ

)

^.

(10)

10 Esercizio 16

Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ>0. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X) = Var(X) = λ.

Soluzione

( ) _∑ _∑ ( ) _∑

^∞

( )

= λ

∞ −

= λ

∞ −

=

λ

− λ = λ = λ

=

o x

t x

o x

t x

o x

x tx tX

X x!

e e

! x

e e

! x e e e

E ) t ( G Valore atteso

Posto e^tλ=ξ si ha

( )^e ¹

e o

x x X

t

t e

e e

e

! e e x

) t (

G ⁻^λ ^ξ ⁻^λ⁺^ξ ^λ ⁻^λ ^λ ⁻

∞

= λ

− ξ = = = =

=

∑

( )^e ¹ ^t

X(t) e e

'

G = ^λ ^t⁻ λ da cui E(X) = λ Varianza

( )^e ¹

( )

^t ² ^{( )}^e ¹ ^t ^{( )}^e ¹ ^t

(

^t

)

X(t) e e e e e e 1 e

''

G = ^λ ^t⁻ λ + ^λ ^t⁻ λ = ^λ ^t⁻ λ +λ da cui E(X²) = λ+λ² Esercizio 17

Si verifiche la seguente proprietà: se X ha fgm GX(t), allora posto Y=a + bX si ha GY(t)= e^at GX(bt) Soluzione

GY(t) = E(e^tY) = E(e^(a+bX)t) = e^at E(e^bXt) = e^at GX(bt)

essendo GX(bt)<∞ in un intorno dell’origine avendo assunto l’esistenza di GX(t) ne discende che E(e^tY) = e^at GX(bt) <∞ per t in un intorno di 0.

Esercizio 18 (f.g.m. e momenti della v.c. geometrica)

1. Si determini la funzione generatrice dei momenti della v.c. Geometrica 2. Si determinino la media e la varianza della v.c. Geometrica sfruttando la fgm.

Soluzione

pX(x)=p(1-p)^x-1 x=1,2,3... 0<p<1 1. G_X(v) =

∑

^∞

=

− − 1

1 x vxp(1 p) e

x

= (p/(1-p))

∑

^∞

=

−

1

x v] p)e [(1

x

N.B.: ⁰

1 x

x q

q 1

q 1 −

= −

∑

^∞

=

= (1 p) p

− 1-[(1 p)e ] ] p)e [(1

v v

−

− =

] p)e [(1 - 1

pe

v v

− con -∞<v<-log(1-p)>0 2. G'_X(v)= _v ₂

v

] p)e (1 - [1

pe

− ^{E(X)= G'}^X⁽⁰⁾⁼p

1

G''X(v)= _v ₃

v v

] p)e (1 - [1

] p)e (1 [1 pe

−

+ E(X²)= G''X(0)=

p p 2−

V(X)=

p p 2−

-

2

p 1



 





Esercizio 19 (f.g.m.)

Sia X una v.a con la seguente funzione di densità di probabiltà: f_X(x)=

) x 1 (

1

− 2

π ^.

Mostrare che X non possiede fgm.

Soluzione

• v>0

(11)

11 GX(v) =

∫

^∞

∞

− − dx

) π(1 x

e^vx 1 ₂ =

∫

^∞

∞

− − dx

) x (1

e 1

2 vx

π ^≥

∫

^∞

∞

− −

+ dx ) x (1

vx 1 1 π 2

≥

∫

^∞

∞

− − dx

) x (1

1 1

π 2 ⁺

∫

^∞

∞

− − dx

) x (1

vx 1

π 2 ^≥1+

∫

^∞

∞

− − dx

) x (1

vx 1

π 2 ⁼⁺^∞

• v≤0 GX(v) =

∫

^∞

∞

− − dx

) π(1 x

e^vx 1 ₂ =

∫

^∞

∞

− − dx

) x (1

e 1

2 vx

π ^≤

∫

^∞

∞

− −

+ dx ) x (1

vx 1 1

π 2 ^≤

∫

^∞

∞

− − dx

) x (1

1 1

π 2 ^{= 1}

L'insieme dei v per cui l'integrale esiste finito con contiene un intorno completo dell'origine quindi non esiste la f.g.m.

Esercizio 20 (f.g.m.)

Determinare la f.g.m. dei momenti di una v.a. X avente la seguente funzione di densità di probabilità:

f(x)=



 − < <

altrimenti 0

1 x 0 x) 6x(1

Soluzione GX(v) =

∫

1

0

vx6x(1-x)dx

e = 











∫

−

∫

1

0 2 vx 1

0

vxxdx e x dx

e 6

= 





















  −



 



− 



 





∫ ∫

¹

0 1 vx

0 2 1 vx

0 1 vx

0 vx

v xdx 2 e v x

- e v dx x e

v

6 e = ₃

v 2

v

v e 121 v

e

61+ + +

con v≠0.

Esercizio 21

1) Si trovi il valore della costante k per cui la funzione f(x) = 2kx + 3(kx)² (0<x<1)

rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X assumendo k>0.

2) Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X.

3) Si calcoli il valore atteso E(X).

Soluzione

1) La funzione f(x) = 2kx + 3(kx)² (0<x<1) rappresenta la funzione di densità di una v.c. unidimensionale X per k = (√5 – 1) / 2 = 0.618.

Infatti dalla condizione (si veda libro di test pag 127)

∫

¹ ⁼

0

1 dx ) x (

f discende kx k x ¹ 1

0 3 2

2 + = ^{da cui}

k = ( 5 – 1) / 2 e k’ = – ( 5 + 1) / 2.

L’unica soluzione accettabile è quindi k = ( 5 – 1) / 2.

2) La funzione di ripartizione della v.c. X è data da:

F(x) = 0 per x≤0,

F(x) =

∫

⁼ ⁺

x

0

x 0 3 2

2 k u

ku du ) u (

f = kx² + k²x³ per 0<x<1 F(x) = 1 per x≥1.

(12)

12

3) E(X) =

∫ (

⁺

)

⁼

1

0

2 2x dx k 3 kx 2

x 0.6985.

Esercizio 22

Sia X una v.c. Rettangolare sull’intervallo (0,1) e si definisca Y = log(X).

1. Si determinino la funzione di ripartizione e la funzione di densità della v.c. Y.

2. Si calcolino la mediana, la media e il 95-esimo percentile di Y.

3. Si determini la funzione generatrice dei momenti delle variabili X e si calcoli tramite essa il valore atteso di X

4. Si calcoli la funzione generatrice dei momenti di Y e si determini var(Y).

Soluzione

Sia X una v.c. Rettangolare sull’intervallo (0,1) con f.r. F(x) e f.d. f(x).

Sia inoltre Y = log(X).

Si noti che se 0<X<1 allora −∞<Y<0, supporto della variabile aleatoria Y.

1. H(y) = P(Y≤y) = P(log X ≤ y) = P(X ≤ exp y) = F(exp y) = exp(y) per y<0 e

H(y) = 1 per y≥0.

La f.d. della v.c. Y risulta h(y) =H’(y) = exp(y) (y<0).

2. La mediana di Y si ottiene risolvendo l’equazione H(y) =

2 ) 1 y

exp( = che ha come soluzione y = −log2 = −0.69.

Il 95-esimo quantile di Y si ottiene risolvendo l’equazione

H(y) = exp(y)=0.95 che ha come soluzione y = log 0.95 = − 0.051.

E(Y) =

∫

∞

− 0

yh(y)dy = −1. (integrazione per parti)

3.

( )

t 1 e t

dx e e e

E ) t ( G

1 t

0 1 tx

0 tx tx

X

= −



 



=

=

∫

^{per t}^≠⁰

( )

2 t t

X t

1 e ) te

t ( '

G = − − per t≠0.

) t ( '

G_X come del resto G_X(t) non sono definite per t=0.

Estendiamo allora tali funzioni per continuità sullo 0 ovvero poniamo 1

e t lim

1 lime ) 0 (

G ^t

0 t t

0

X = t − = =

→

→ applicando la regola dell’Hopital e

( )

2 1 2 lime t

2 e e limte t

1 e limte

) 0 ( ' G

t

0 t t t t

0 2 t

t t

0

X = t − − = + − = =

→

→ applicando la regola dell’Hopital.

Da cui si ricava E(X) = 0.5.

4.

( )

1 t

1 1

t dx x x dx e e

E ) t ( G

1

0 1 1 t

0 t 1

0 x log t tY

Y  = +



 





= +

=

∫ ∫

⁺ ^t^≠−¹

Alternativamente

( )

^{( )} ^{( )}

1 t

1 1

t e e 1

t dy e e dy e e e

E ) t ( G

0 0 x 1 0 t

y 1 t 0

y ty tY

Y = +

+

= −



 





= +

=

= ⁻^∞

∞

− +

∞

− +

∞

−

∫ ∫

^t^≠−¹

( )

²

Y t 1

) 1 t ( '

G =− + da cui E(X)=G'_Y(0)=−1

(13)

13

( ) ( ) ( )

⁴ ³

Y t 1

2 1

t 1 t ) 2 t ( ''

G = +

+

= + ^{da cui}E(X²)=G''_Y(0)=2

Var(X) = 2−1 = 1 Esercizio 23

Sia X una variabile aleatoria con funzione di probabilità

X −1 0 1

P(x) 2/9 5/9 2/9

⁼ ₉⁴^.

Si ottiene quindi Var(X) = E(X²) − E(X)²= 9 4 4. Momenti di ordine pari

(

^t ^t

)

) n 2 (

X e e

9 ) 2 t (

G = + ⁻ derivata di ordine 2n della fgm per n = 1, 2, 3, … da cui

( )

9 e 4 9 e ) 2 t ( G ) X (

E ²ⁿ = ⁽_X²ⁿ⁾ = ⁰+ ⁻⁰ = momento di ordine 2n (pari) di X per n=1, 2, 3,…

Momenti di ordine dispari

(²ⁿ ¹)

(

^t ^t

)

X e e

9 ) 2 t (

G ⁺ = − ⁻ derivata di ordine 2n+1 (dispari) della fgm per n=0,1,2,3,… da cui

(

^e ^e

)

⁰

9 ) 2 t ( G ) X (

E ²ⁿ⁺¹ = ²_Xⁿ⁺¹_X = ⁰ − ⁻⁰ = momento di ordine 2n+1 (dispari) per n =1,2,3,…

Esercizio 24

Sia X una v.a. uniforme discreta di parametro k. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si calcoli tramite essa E(X) e Var(X).

Soluzione

( ) ^∑ ( )

=

+ + +

=

= ^k

1 x

kt t

2 t tx

tX

X e e e

k e 1 k e 1

E ) t (

G L ^.

Valore atteso di X

(

^t ²^t ^kt

)

X e 2e ke

k ) 1 t ( '

G = + +L+

(

^e ²^e ^ke

)

_kⁱ ^k

⁽

^k₂_k¹

⁾

^k₂¹

k ) 1 0 ( ' G ) X ( E

k

1 0 i k 20

0 X

= +

+ +

=

∑

L =

si ricordi che

( )

2 1 k i k

k

1 i

= +

∑

=

. Varianza di X

(14)

14

(

^t ²^t ² ^kt

)

X e 4e k e

k ) 1 t ( ''

G = + +L+

) X (

E ² ⁼ X ⁼

(

⁰⁺ ²⁰⁺ ⁺ ² ^k⁰

) (

⁼ 1⁺4⁺ ⁺k²

)

⁼

k e 1 k e

4 k e ) 1 0 ( ''

G L L

( )( ) ( )( )

6 1 k 2 1 k k

6 1 k 2 1 k k k

i

k

1 i

2

+

= + +

= +

=

∑

= .

Si ricordi che

( )( )

6 1 k 2 1 k i k

k

1 i

2= + +

∑

=

.

Var(X) = E(X²) − E(X)²

( )( ) ( )

4 1 k 6

1 k 2 1

k+ + − + ²

=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

12 1 k 6

3 k 3 2 k 4 2

1 k 2

1 k 3

1 k 2 2

1

k = + + − − = ²−

 + − +

= + Esercizio 25

Sia X una v.a. di Bernoulli di parametro θ.

3. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X)= θ e var(X)=

θ(1−θ).

4. Si determini tramite la funzione generatrice dei momenti E(Y) con Y=1 + X/2.

Soluzione

3. funzione generatrice dei momenti

( )

^e

⁽

¹

⁾

^e ^e

⁽

¹

⁾

^e ¹ ⁽¹ ^e ⁾

E ) t (

G_X = ^tX = −θ ^t⁰ +θ ^t = −θ +θ ^t = −θ − ^t . Valore atteso

t X(t) e '

G =θ da cui E(X)=G'X(0)=θe⁰ =θ Varianza

t X(t) e ''

G =θ da cui = X =θ ⁰ =θ

2) G'' (0) e X

( E Si ottiene quindi

Var(X) = E(X²) − E(X)²= θ−θ²= θ(1−θ).

Si noti in particolare che G⁽_Xⁿ⁾(t)=θe^t da cui = ⁽Xⁿ⁾ =θ ⁰ =θ

n) G (0) e

X (

E ∀n = 1, 2,…

4.

( ) (

⁽ ⁾

)

_^⁼ ^_^ _^^⁼ ⁻ ^θ ⁻ ⁼ ⁻ ^θ⁺ ^θ









= 

=

= ⁺ X ^t ²^t ²^t ^t ²^t ^t

2 t Xt t 2 / X 1 t tY

Y e e (1 e ) e e e

2 G t e e E e e

E e E ) t (

G .

θ + θ

−

= ² ^t

t t

Y e e

2 e 1 ) t ( ' G

2 2 2

1 1 ) 0 ( ' G ) Y (

E = _Y = − θ+θ= +θ

Esercizio 26

Sia Y una v.a. Binomiale di parametri n e 1>θ>0. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X) = nθ e var(X) = nθ(1−θ).

Soluzione

( ) ∑ ( ) ( ) ∑ ( )( ) ( ) ( )

=

−

=

− = θ −θ = θ + −θ

θ

− θ

=

= ⁿ

1 x

t n x x n

t n x n

1 x

x x n

n x tx tX

X(t) Ee e 1 e 1 e 1

G

dove l’ultimo passaggio segue dal teorema binomiale.

Si noti inoltre che, se n=1, allora G_X(t)=θe^t+1−θ ovvero la fgm di una Bernoulli di parametro θ che, quindi, rappresenta una specificazione particolare della Binomiale.

(15)

15 Valore atteso

(

^t

)

ⁿ ¹

t

⁻

⁾ ) (

⁺ ^θ ⁺ ⁻^θ

) ]

θ

=n e^t e^t 1 ⁿ⁻² e^t n 1 e^t 1 . Da cui

=

(

¹⁻^θ

)

^.

Esercizio 27

Sia X una v.a. di Poisson di parametro λ>0. Si determini la funzione generatrice dei momenti e si verifichi tramite essa che E(X) = Var(X) = λ.

Soluzione

( ) _∑ _∑ ( ) _∑

^∞

( )

= λ

∞ −

= λ

∞ −

=

λ

− λ = λ = λ

=

o x

t x

o x

t x

o x

x tx tX

X x!

e e

! x

e e

! x e e e

E ) t ( G Valore atteso

Posto e^tλ=ξ si ha

( )^e ¹

e o

x x X

t

t e

e e

e

! e e x

) t (

G ⁻^λ ^ξ ⁻^λ⁺^ξ ^λ ⁻^λ ^λ ⁻

∞

= λ

− ξ = = = =

=

∑

( )^e ¹ ^t

X(t) e e

'

G = ^λ ^t⁻ λ da cui E(X) = λ Varianza

( )^e ¹

( )

^t ² ^{( )}^e ¹ ^t ^{( )}^e ¹ ^t

(

^t

)

X(t) e e e e e e 1 e

''

G = ^λ ^t⁻ λ + ^λ ^t⁻ λ = ^λ ^t⁻ λ +λ da cui E(X²) = λ+λ² Var(X) = E(X²)−E(X)² = λ + λ²−λ²= λ

(16)

16

Sezione 6. La variabile casuale normale

Esercizio 1 (v.c. normale)

Sia X una v.c. Normale con µ=2 e σ=1.

1. Disegnare la funzione di densità di X.

2. Evidenziare sul grafico la seguente probabilità P(X> µ) 3. Evidenziare sul grafico la seguente probabilità P(-1≤X≤1) Soluzione

1. X~N(2,1)

2. P(X> µ)

3. P(-1≤X≤1)

(17)

17 Esercizio 2 (v.c. normale)

Sia X una v.c. Normale con media pari a 5 e varianza pari a 3. Calcolare : 1. P(X>6)

2. P(4<X<7)

3. Il valore di per cui P(X>c)=0,3 4. E(2X-5)

5. V(2X-5) Soluzione X~N(5,3)

1. P(X>6)=P(Z>0,58)=1-P(Z≤0,58)=1-Φ(0,58)=0,281 dove Z è la normale standard.

2. Standardizzando come fatto sopra: P(4<X<7) = 0,5939

3. P(X>c)=0,3 =>P(Z>((c-5)/(3)^1/2))=0,3 => Φ((c-5)/(3)^1/2))=0,7 z=(c-5)/ (3)^1/2)=0,52 =>c=5,9

4. E(2X-5)=2E(X)-5=5 5. V(2X-5)=4V(X)=12 Esercizio 3 (v.c. normale)

Un impianto inserisce automaticamente zucchero nelle bustine, se il peso dello zucchero nelle bustine può considerarsi una normale con σ=1,3 e il 5% delle bustine pesa di più di 10,132g quale è il peso medio delle bustina?

Soluzione

X= peso bustine in g. X~N(µ^,1,3²⁾

P(X>10,132)=0,05 standardizzando si ottiene P(Z>(µ-10,132)/1,3)=0,05 da cui si ricava il valore di µ=8

Esercizio 4 (v.c. normale)

Si consideri una variabile casuale normale con media 100 e varianza 25. Calcolare:

1. la probabilità che X sia maggiore di 110;

2. la probabilità che X sia minore di 95;

3. la probabilità che X sia compresa tra 95 e 110;

Soluzione X̴ N(100,25)

1. P(X>11)=P(Z>(110-100)/25^½)=P(Z>2)=1-P(Z≤2)=1-0,97725

2. P(X<95)=P(Z>(95-100)/25^½)=P(Z<-1)=P(Z>1)= 1-P(Z≤1)=1-0,84134

3. P(95<X<110)=P((95-100)/25^½)<Z<(110-100)/25^½))=P(-1<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<-1)=

0,97725- [1-P(Z≤1)]= 0,97725- [1-0,84134]

4. P(105<X<110)=P((105-100)/25^½)<Z<(110-100)/25^½))=P(1<Z<2)=P(Z<2)-P(Z<1)=

0,97725-0,84134

5. P(85<X<95)=P((85-100)/25^½)<Z<(95-100)/25^½))=P(-3<X<-1)=P(1<Z<3)=P(Z<3)-P(Z<1)=

0,99865-0,84134

(18)

18 Esercizio 5 (v.c normale)

Supposto che la durata del volo Roma Fiumicino – Parigi Orly segua una distribuzione normale con media pari a 120 minuti e varianza pari a 49 minuti, calcolare:

1. La probabilità che il volo in partenza domani durerà meno di 115 minuti;

2. La probabilità che il volo in partenza domani durerà tra 107 e 118 minuti;

1. P(X<115)=P(Z>(115-120)/49^½)= P(Z>-0,71)= 1-P(Z≤0,71)=1-0,76115 2. P(107<X<118)=P((107-120)/49^½)<Z<(118-120)/49^½))=P(-1,86<Z<-0,28)

=P(0,28<Z<1,86)=P(Z<1,86)-P(Z<0,28)= 0,96856-0,61026 Esercizio 6 (v.c. normale)

Per le rane allo stato naturale, la lunghezza della vita è distribuita normalmente con media di 10 anni e deviazione standard di 3 anni.

1. Quale percentuale di rane vive oltre i 14 anni?

2. Calcolare il valore del quinto percentile Soluzione

X̴ N(10,9)

1. Z=(14-10)/3=1,33 P(vita>14)=P(z>1,33)=0,0918

2. P(z<?)=0,05 z=-1,64 -1,64=(x-10)/3

x=10-3*1,64=5,08 Esercizio 7 (v.c. normale)

Si assuma che tra i non diabetici il livello di glucosio nel sangue a digiuno sia distribuito in maniera approssimativamente normale con una media di 105mg/100ml ed una deviazione standard di 9mg/100ml.

1. Quale percentuale di diabetici hanno livelli compresi tra 90 e 125mg/100ml?

2. Quale livello lascia il 10% dei non diabetici nella coda sinistra?

3. Quali livelli comprendono il 95% dei non diabetici?

1. Z=(x-µ)/σ z=(90-105)/9=-1,67 z=(125-105)/9=2,22 P(x>90)=P(z>-1,67)=0,952

P(x>125)=P(z>2,22)=0,0131 P(90>x>125)= 0,952-0,0131=0,939

2. P(x≤?)=0,10= P(z≤-1,28) z=(x-105)/9=-1,28 x=93,5 3. P(?≤x≤?)=0,95= P(-1,96≤x≤1,96)

z=(x-105)/9=-1,96 x1=87,4 z=(x-105)/9=1,96 x₂=122,6

Esercizio 8 (prova scritta 27/4/2006) (v.c. esponenziale – v.c. normale)

Un’azienda produce componenti elettronici di due tipi: i componenti di tipo A rappresentano il 45%

della produzione, mentre il resto della produzione è costituito da componenti di tipo B. Il tempo di vita T (in anni) dei componenti prodotti ha distribuzione esponenziale negativa con media 0,92 per il tipo A, mentre per il tipo B ha distribuzione Normale con la stessa media e la stessa varianza della suddetta esponenziale.

Estratto a caso un componente dalla produzione, si consideri l’evento “la durata del componente non supera un anno”, indicato con D.

1. Si calcoli la probabilità che il componente estratto sia di tipo B.