Calcolo delle Probabilità: esercitazione 5
1
Esercizio 1
La compagnia di assicurazioni Llddyy ha 1000 polizze di responsabilità civile auto in portafoglio nella regione di Crashland tutte aventi la medesima durata temporale. Sia X la variabile casuale che rappresenta il numero di sinistri occorsi a Crashland. Sapendo che la probabilità che si verifichi un sinistro è 0.01 e che X ha una distribuzione binomiale si calcoli:
1. P(X=1) 2. P(X≤2).
Approssimando la distribuzione binomiale con una distribuzione di Poisson si calcoli:
3. P(X=1) 4. P(20<X<23).
Esercizio 2
(2.1) Si trovi il valore del parametro θ per cui la tabella seguente definisce la funzione di probabilità di una v.c. unidimensionale X e la si rappresenti graficamente.
X −1 0 1
P(x) 2θ2 θ
3
5 2
3 1−θ
(2.2) Si calcolino P(0.5<X<2) e P(X>0).
(2.3) Si calcolino il valore atteso e la varianza della v.c. X.
(2.4) Si determini la funzione di ripartizione della v.c. X.
(2.5) Si consideri la variabile Z= X + 5. Si rappresenti graficamente la funzione di probabilità di Z e se ne calcoli media e varianza.
(2.6) Si consideri la variabile W= X×0.5. Si rappresenti graficamente la funzione di probabilità di W e se ne calcoli media e varianza.
Esercizio 3
Il numero X di pezzi difettosi prodotti giornalmente da una macchina segue una distribuzione di Poisson con media θ.
1. Si calcoli la probabilità che X sia ≥ 2.
2. Definita la v.c. Y = min(2,X), se ne determini il supporto e la funzione di probabilità.
3. Si calcoli il valor medio di Y.
Esercizio 4
1. Sia X una variabile casuale Binomiale di parametri θn e n con 0 < θn <1, n = 1,2,… e θn=λ/n dove λ>0 è un valore costante. Si dimostri che, per n sufficientemente grande, la distribuzione di X può essere approssimata da una distribuzione di Poisson di parametro λ.
2. Si dimostri che se la funzione di probabilità di X è
! x ) e , x ( p
λx
=
λ −λ allora E(X)=Var(X).
