Esercizio 2. Calcolare media, varianza e funzione generatrice dei mo- menti della v.a. X discreta che vale 2, 1, 0, 1, 2 con ugual probabilità. Se X ed Y sono indipendenti con tale legge, calcolare E [X

Calcolo delle Probabilità e Statistica,

Ing. Informatica e dell’Automazione, a.a. 2009/10 Prova scritta (esempio 3)

Esercizio 1. Una macchina utensile ha due punti deboli, A e B. Il primo si usura il doppio delle volte del secondo, in media. Se si usura il primo, con probabilità 0.5 la macchina si rompe. Se si usura il secondo, si rompe con probabilità 0.1. Quando il riparatore vede la macchina rotta, che probabilità attribuisce alla possibilità che si sia usurato A?

Esercizio 2. Calcolare media, varianza e funzione generatrice dei mo- menti della v.a. X discreta che vale 2, 1, 0, 1, 2 con ugual probabilità. Se X ed Y sono indipendenti con tale legge, calcolare E [X

Y

2X]. Calcolare P (XY = 1).

Esercizio 3. Fissato il numero (parametro) > 0, si consideri la funzione f (x) = ce

. Trovare la costante c per qui questa è una densità. Calcolare la funzione di ripartizione. Calcolare media e varianza di una v.a. X con tale densità. Valcolare la densità di Y = X

.

Esercizio 4 . Consideriamo la catena di Markov su E = f1; 2; 3; 4g asso- ciata alla seguente matrice di transizione

P = 0 B B

@

1 2

1

2

0 0

1 2

1

2

0 0

1 4

1 4

1 4

1 4

0 0 0 1 1 C C A :

a) Decomporre E nell’unione di classi irriducibili e della classe degli stati transitori. Ci sono stati assorbenti?

b) Determinare tutte le probabilità invarianti della catena.

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