Analisi Matematica 1 14 gennaio 2019 Cognomi (M-Z) FOGLIO A
Cognome e nome . . . .Firma. . . .Matricola. . . .
Corso di Laurea: ♦ INFLT, ♦ ETELT Istruzioni
1. PROIBITO usare libri, quaderni, calcolatori, telefoni cellulari, smartphone, smartwatch.
2. CONSEGNARE questo foglio e tutti i fogli di protocollo.
3. TENERE il foglio B come promemoria delle risposte date.
4. TEMPO a disposizione: 90 min.
1. Sia data la seguente funzione f reale di variabile reale definita da:
f (x) = x
4 − 1 + x x2− 4. Determinare il dominio di f ed eventuali simmetrie.
Risposta [punti 1]:
Calcolare i limiti alla frontiera del dominio e determinare eventuali asintoti (verticali, orizzontali, obliqui) per f.
Risposta [punti 3]:
Calcolare la funzione derivata prima di f e determinarne il dominio, classificando eventuali punti di non derivabilità.
Risposta [punti 1]:
Studiare la crescenza e decrescenza di f, calcolando, qualora esistano, punti di flesso a tangente orizzontale, punti di massimo/minimo relativo e punti di massimo/minimo assoluto per f.
Risposta [punti 2]:
Tracciare sul foglio di protocollo un grafico qualitativo della funzione f, in accordo con i risultati ottenuti.
Risposta [punti 1]:
2. Determinare il luogo geometrico dei punti z ∈ C tali che, posto w = 3 +(Im(z))2
e32πi −1 + 3i
2 + i zz + i(Re(iz))2 si abbia w ∈ R con Re(w) ≥ 0.
Risposta [punti 3]:
3. Calcolare il limite lim
n→+∞
[(n + 7)n+ sin(2n)] (n1/n− 1)(n! + 1) (1 + n)n(n− 1)! log(n + 1) Risposta [punti 3]:
4. Discutere il carattere della serie numerica
+∞
�
n=2
3n5/2(2n+ log n) 7n+ e−n
Risposta [punti 3]:
5. Calcolare il polinomio di Taylor p2(x)di grado 2 che approssima f(x) = log(x+3) in un intorno del punto x0 = 0. Quindi calcolare
xlim→0
3 log(x + 3)− x − 3 log 3 ex2(cosh x− 1)
Risposta [punti 4]:
6. Sia α > 1 e f : R → R la funzione
f (x) =
� −π
2log(2− x) se x ≤ 1 (x− 1)α−1arctanx−11 se x > 1
Dopo aver verificato che la funzione è continua in x = 1, discuterne la derivabilità in x = 1 al variare di α, classificando l’eventuale punto di non derivabilità.
Risposta [punti 3]:
7. Calcolare l’integrale definito � 4 0
e√xdx
Risposta [punti 2]:
8. Determinare la soluzione y = y(x) del problema di Cauchy
y��+ y = xex y(0) =−12 y�(0) = 1
Risposta [punti 4]:
