(1) Dopo aver verificato che il vincolo G(x, y) = log(1 + x

(1) Dopo aver verificato che il vincolo G(x, y) = log(1 + x

) + arctan(y

) −

= 0 ` e un vincolo regolare e l’ insieme S = {(x, y) ∈ R

: G(x, y) = 0} ` e compatto trovare, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimo e minimo as- soluti della funzione F (x, y) = y sull’ insieme S = {(x, y) ∈ R

: G(x, y) = log(1 + x

) + arctan(y

) ≤

}.

[ I punti (0, 1) e il punto (0, −1) sono i punti di massimo e minimo assoluto, con i valori 1 e −1. ]

(2) Dopo aver verificato che i vincoli sono regolari e l’ insieme S

`

e compatto, trovare, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, i punti di massimo e minimo assoluti della funzione F (x, y, z) = x

+ y

sull’ insieme S definito dai vincoli

G

(x, y, z) = 2 x + 2 y + z = 0, G

(x, y, z) = x

+

= 1 [ I punti (±1, 0, ∓2) sono di minimo assoluto, con valore 1, i punti (0, ±2, ∓4) di massimo assoluto, con valore 4. ]

(3) Trovare, utilizzando il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, massimo e minimo assoluti della funzione F (x, y, z) = x

− z

sull’ insieme S = {(x, y, z) ∈ R

: x

+ y

+ z

≤ 1}.

Determinare la natura degli eventuali punti critici interni a S e trovare tutti i punti critici vincolati sul bordo.

[ I punti critici interni sono i punti di coordinate (0, y, 0),

|y| < 1, di sella ). Il massimo assoluto `e 1, ed `e assunto nei punti (±1, 0, 0), Il minimo assoluto ` e −1, ed ` e assunto nei punti (0, 0, ±1), gli altri punti critici vincolati sono i punti (0, ±1, 0) nei quali la funzione vale 0 . ]

(4) Trovare i punti di massimo e minimo assoluti della funzione F (x, y) = x + y

sull’ insieme (compatto) S definito dal vincolo g(x, y) = x

+ y

≤ 1. Determinare la natura degli eventuali punti critici interni a S e trovare tutti i punti critici vincolati sul bordo.

[ Nei punti (

, ±

√3

2

) la funzione vale

e saranno i punti di massimo assoluto, nei punti (±1, 0) la funzione vale rispettiva- mente ±1, il punto (−1, 0) sar` a il punto di minimo assoluto.

]

(5) Trovare massimo e minimo assoluti della funzione F (x, y, z) = x

+ y

sull’ insieme S = {(x, y, z) ∈ R

: x

+ y

+ z

≤ 3}.

Determinare la natura degli eventuali punti critici interni a S e trovare tutti i punti critici vincolati sul bordo.

1

2

[ Il minimo assoluto ` e 0, assunto nei punti (0, 0, z) con |z| ≤

√ 3, il massimo assoluto ` e 9, assunto nei punti (± √

3, 0, 0) e (0, ± √

3, 0). Gli altri punti critici vincolati sono i punti (±

q

, ±

q

2

, 0) con tutte le combinazioni possibili di segno, in tali punti la funzione vale

. ]

(6) Fissato α > 0, trovare massimo e minimo assoluti della funzione F (x, y, z) = xyz sull’ insieme S = {(x, y, z) ∈ R

: x + y + z = α , x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0}. Dedurre la disuguaglianza tra media aritmetica e media geometrica:

√

xyz ≤

∀ x, y, z ≥ 0

[ Il vincolo ` e compatto essendo chiuso e limitato (0 ≤ x, y, z ≤ α). Il minimo assoluto si trova subito, ` e 0 ed ` e assunto nei punti con almeno una coordinata nulla. Il sistema di Lagrange ha la forma . . . e si trova . . . x = y = z =

.

Ne segue che il massimo ` e (

)

, assunto nel punto (

,

,

) e, essendo α = x + y + z, si deduce la disuguaglianza

xyz ≤ (

)

per ogni x, y, z ≥ 0 . . .

Osservazione La disuguaglianza si generalizza (con lo stesso metodo) a n ≥ 1 termini: dati n ∈ N \ {0} , x

, . . . , x

≥ 0 ,

√

x

x

. . . x

≤

]

(7) Data la successione di funzioni f

(x) = x 1 +

a) trovare l’ insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x). Trovare insiemi E

⊆ E di convergenza uniforme.

b) Posto g

(x) = f

(x)−f (x) e considerando la serie P

n=1

g

(x) trovare l’ insieme di convergenza puntuale F e insiemi F

⊆ F di convergenza uniforme.

[ E = R, f (x) = x. Convergenza uniforme ad esempio in ogni intervallo [−M, M ] per ogni M > 0. F = R, cio`e la serie converge per ogni x reale, e la convergenza ` e totale, dunque uniforme, in ogni intervallo [−M, M ]. ]

(8) Data la successione di funzioni f

(x) = n

log(1+

) e

a) trovare l’ insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x). Trovare insiemi E

⊆ E di convergenza uniforme.

b) considerando la serie P

n=1

f

(x) trovare l’ insieme di con-

vergenza puntuale F e insiemi F

⊆ F di convergenza (totale e

quindi) uniforme.

3

[ E = [0, +∞), f (x) =

( 0 se x > 0

log(e

) = 3 se x = 0 , F = (0, +∞).

Se δ > 0 e E

= F

= [δ, +∞], si ha in tali insiemi la conver- genza uniforme (rispettivamente totale, dunque uniforme) della successione (della serie). ]

(9) Data la successione di funzioni f

(x) = x

e

a) trovare l’ insieme E di convergenza puntuale, la funzione limite f (x) e dire, motivando la risposta, se la convergenza ` e uniforme in E.

b) Dire, motivando la risposta, se la serie associata P

n=1

f

(x) converge uniformemente in E.

[ E = [0, +∞), f (x) = 0 ∀ x ∈ [0, +∞), la convergenza della successione f

a zero ` e uniforme in E. Inoltre la serie associata converge totalmente, dunque uniformemente in E. ]

(10) Data la successione di funzioni f

(x) = n

log(1 +

)x

a) trovare l’ insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x). Trovare insiemi E

⊆ E di convergenza uniforme.

b) considerando la serie P

n=1

f

(x) trovare l’ insieme di con- vergenza puntuale F e insiemi F

⊆ F di convergenza uniforme.

[ E = (−1, 1], f (x) = 0 se −1 < x < 1, f (1) = 1, F = (−1, 1). Negli insiemi indicati la convergenza non ` e uniforme, ma si ha convergenza uniforme della successione, totale dunque uniforme della serie, in insiemi del tipo E

= [−1 + δ, 1 − δ]. ] (11) Data la successione di funzioni f

(x) = x

n

a) trovare l’ insieme E di convergenza puntuale e la funzione limite f (x). Trovare insiemi E

⊆ E di convergenza uniforme.

b) considerando la serie P

n=1

f

(x) trovare l’ insieme di con- vergenza puntuale F e insiemi F

⊆ F di convergenza (totale e quindi) uniforme.

[ E = [−1, 1) = F , f (x) = 0. La successione e la serie con- vergono uniformemente (la serie perch´ e converge totalmente) in ogni insieme del tipo [−r, r] con 0 < r < 1 fissato.

(NOTA: si pu` o dimostrare che la successione converge unifor- memente in ogni insieme del tipo [−1, r] con 0 < r < 1 fissato) ]

(12) Consideriamo la successione di funzioni f

definite in [0, +∞) dalla formula

f

(x) = 1 ∀ x ≥ 0 , f

(x) =

( 0 se 0 ≤ x < n

1 se x ≥ n per n ≥ 1

4

Disegnare il grafico di f

, f

, f

e

a) trovare l’ insieme E ⊂ [0, +∞) di convergenza puntuale e la funzione limite f (x), x ∈ E. Trovare insiemi E

⊆ E di conver- genza uniforme.

b) considerando la serie P

n=0

f

(x) trovare l’ insieme di con- vergenza puntuale F , la somma della serie per x ∈ F , e insiemi F

⊆ F di convergenza uniforme.

[ f (x) = lim

f

(x) = 0 in E = R.

La convergenza non ` e uniforme in R, ma `e uniforme in ogni intervallo compatto [0, M ].

La somma della serie ` e s(x) = lim

s

(x) = [x] + 1 per ogni x ∈ F = R.

La convergenza ` e uniforme in ogni intervallo compatto [0, M ].

]