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Classe quinta
STUDIO COMPLETO
DI UNA FUNZIONE TRASCENDENTE TRIGONOMETRICA
Esempio G:
x 1
x arctg1
y
1) Classificazione e C.E.:
Funzione trascendente trigonometrica.
Il C.E. è ];1[]1;[. 2) Simmetrie :
La funzione non è simmetrica.
3) Studio del segno :
Si osserva che
0 0 0 ) x ( f quando 0
0 0 ) x ( f arctg
.
pertanto, ponendo 0
x 1
x arctg1
si ha: 0
x 1
x
1
,
quindi si ottiene:
1 x 0 x 1:) x(
D
1 x 0 1 x:) x(
0 N x 1
x 1
La funzione è positiva per 1x0, è negativa perx1e per x1ed è nulla per x .0 4) Intersezione con gli assi cartesiani :
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente”
y
x+ N(x)
D(x)
1 -1
0
- -
1
0y
1x 0y
01x 0y x1 0 x1 0y
x1 arctgy x1
x
ossia interseca l’asse delle ascisse nel punto A
1;0
.
0x y 4 0x
)1(arctgy 0x
x1 arctgy x1
y
ossia interseca l’asse delle ordinate nel punto
;4 0
B .
5) Asintoti :
La funzione ha un asintoto orizzontale di equazione
y4 , infatti:
4 x 1
x arctg1 limx
. Inoltre, si osserva che:
) 2 ( arctg x
1 x arctg1
limx 1
,
) 2 ( arctg x
1 x arctg1
limx 1
,
quindi per x1 la funzione presenta un punto di discontinuità di prima specie (di salto
).6) Crescenza o decrescenza :
Calcolando la derivata prima si ha:
PROF. MAURO LA BARBERA “Studio di una funzione trascendente” 2
1 x y 21
.
Essendo la derivata prima sempre maggiore di zero, se ne deduce che la funzione data è sempre crescente in ];1[]1;[. La funzione non presenta estremanti.
7) Concavità e convessità :
Calcolando la derivata seconda si ha:
x2 1
2x y 2
.
Studiando il segno della derivata seconda si ottiene:
x 0 )1 x(:
)x(
D
0 x 0 x2 :)x 0 (N
)1 x(
x2
2 2 2
2
Per x la derivata seconda è positiva quindi la funzione data è concava verso l’alto, mentre0 per 0x1 e per x1 la derivata seconda è negativa quindi la funzione data è concava verso il basso, infine per x la derivata seconda è nulla.0
8) Flessi a tangente obliqua :
La funzione data presenta in Bun punto di flesso a tangente obliqua. Essendo y(0)10, il
flesso è ascendente e la sua tangente ha equazione x 4 y .
9) Grafico :
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y
x- N(x)
D(x)
(1) 0
0
+ -
3
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