Per la struttura reticolare descritta in figura, determinare e tracciare i diagrammi quotati delle caratteristiche di sollecitazione. Le aste sono di sezione e materiale costanti.
Si assuma α∆t =P/EA
Il sistema si presenta complessivamente una volta iperstatico, come dimostra la relazione:
( )
0 2 5[ (
1 1 2)
7]
12n− me +a < → ⋅ − + + + =− avendo esternamente un grado di iperstaticità ed internamente isostatico.
Declassando o il carrello in A o il carrello in B o la cerniera in C (componente verticale) il sistema resta complessivamente isostatico non esistendo il centro assoluto del sistema stesso.
Contrariamente se si declassasse la cerniera in C (della sua componente orizzontale) si verificherebbe l’esistenza del centro assoluto improprio, con relativa labilità del sistema.
Declassando quindi, ad esempio il carrello in A , si ottiene il sistema equivalente:
Utilizzando il principio di sovrapposizione degli effetti si ottengono rispettivamente il Sist. (0) e il Sist. (1)
Sist. (0)
Sist. (1)
Calcolando le reazioni vincolari dei rispettivi sistemi, si ha:
Sist. (0)
( )
=
=
−
=
⇒
=
⋅ +
⋅
−
⋅
−
=
− +
= +
0 0
:
0 0
B C C
B C B C
y P y
P x
L P L P L y C M
P y y
P x
Sist. (1)
( )
−
=
=
=
⇒
=
⋅
−
⋅
−
= +
=
2 2 0
0 2 1 :
0 0
B C C
B C B C
y y x
L L
y D M
y y x
Riassumendo i due sistemi equilibrati si presentano come segue:
Sist. (0)
Sist. (1)
Dall’equazione di congruenza (Mueller-Breslau), si ha:
( )
11 1 10
1 11 10
1 0
η η η
η η η
η
t t
X
X
− +
=
= + +
=
ricordando che: =
∫
S =∫
S ds t =∫
S ∆t ds EAds
EA
1 1
1 1 11
1 0
10 , η , η α
η
Determiniamo quindi ora (utilizzando il metodo di equilibrio dei nodi in modo sintetico-deduttivo) il valore degli sforzi assiali delle aste nei rispettivi sistemi :
Sist. (0)
Sist.(1)
E sostituendo nell’equazione di congruenza, si ha:
( )
( )( )
( ) ( )
( )
(
P) ( )
PL L
PL X PL
L L
tEA L PL dz
dz
dz t EA dz P
X
ds
ds t
EA ds
EA ds
ds t
EA ds
X
L L
L L
S S S
S S t S
2 1 2 2 3
2 1 6
2 4
2 2 2
6 2 4
2 2 2 4
1 1 2
2
2 2
2
0 2
0
0 2
0
2 1
1 1
0 1
1
1 1
0
11 1 10
− + =
− + + =
− +
=
+ =
∆
− +
= +
+ + +
⋅
∆ +
−
−
−
=
∆ =
− +
=
∆ +
− + =
−
=
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
α α α α η
η η
Utilizzando quindi il Principio di Sovrapposizione degli Effetti, determiniamo le reazioni vincolari e gli sforzi assiali nel sistema iniziale.
Si ha che:
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) X y ( ) P
( ) (
P)
Py y
P y
X y
x
P P
y X y
y
B B
C
B B
C
B B
B
2 2 2
1
1 2 2 2 2 1
1 0
1 0
1 0
−
=
− +
=
⋅ +
=
−
=
⋅ +
=
−
=
−
−
=
⋅ +
=
Utilizzando, infine, nuovamente il metodo di equilibrio dei nodi in modo sintetico-deduttivo, avremo il valore finale degli sforzi assiali delle aste:
Il relativo diagramma
