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PARTE AGRANDEZZE FISICHE, MISURE, FORZE
LA RAPPRESENTAZIONE DI DATI E FENOMENI 䡵 UNITÀ 2
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Visione d’insieme
DOMANDE E RISPOSTE SULL’UNITÀ
왘 Come possiamo rappresentare un fenomeno fisico?
● Per rappresentare i fenomeni fisici si utilizzano al- cuni strumenti matematici: le tabelle, i grafici, le for- mule.
● Le formule sono gli strumenti più potenti, però prima di usarle bisogna fare attenzione a eventuali limitazioni.
왘 Come si calcola la pendenza di una retta?
● La pendenza si calcola fissando due punti qualsiasi sulla retta. All’incremento dell’ascissa x2– x1corri- sponde una variazione dell’ordinata y2– y1. La pen- denza è il rapporto tra y2– y1e x2– x1.
● In corrispondenza di un incremento dell’ascissa ci può essere un aumento o una diminuzione dell’ordi- nata, perciò la pendenza può essere positiva o negativa.
왘 In quale caso due grandezze sono direttamente proporzionali?
● Due grandezze y e x sono direttamente proporzio- nali quando al raddoppiare di x, anche y raddoppia, al triplicare di x anche y diventa tripla e così via.
● Se y e x sono direttamente proporzionali, il loro rapporto si mantiene costante:
= costante
● Dal punto di vista grafico, due grandezze diretta- mente proporzionali sono rappresentate da una retta che passa per l’origine degli assi.
O
x y
16 20
8 12
4
1 2 3 4 5
yx
y1 y
y2
x1
O x2
왘 Che cos’è la proporzionalità quadratica?
● Fra due grandezze y e x si ha una relazione di pro- porzionalità quadratica quando si può scrivere la formula:
y = costante·x2
● Quando una grandezza y è proporzionale al qua- drato di x, al raddoppiare di x il valore di y diventa quattro volte più grande, e così via.
● La rappresentazione grafica di una proporziona- lità quadratica è una parabola.
왘 In quale caso due grandezze sono inversamente proporzionali?
● Due grandezze sono inversamente proporzionali quando al raddoppiare di una l’altra diventa la metà, al triplicare di una l’altra diventa un terzo e così via.
● Quando due grandezze y e x sono inversamente proporzionali, il loro prodotto si mantiene costante:
y·x = costante
● Le grandezze della figura seguente sono inversa- mente proporzionali: i punti stanno su un’iperbole.
왘 Che cosa significa proporzionalità inversa quadratica?
● Due grandezze y e x sono legate da una proporzio- nalità inversa quadratica se vale una formula del tipo:
y =
● In una proporzionalità inversa quadratica, quando la variabile x raddoppia, la y diventa .1
4 costante
x2
O
x y
4 3 5
2 1
1 2 3 4 5
O
x y
4 3 5
2 1
1 2 3 4 5
A 2 UNITÀ 2 䡵 LA RAPPRESENTAZIONE DI DATI E FENOMENI
❘ 1 Le rappresentazioni di un fenomeno e i grafici
1 La tabella seguente rappresenta la massa di cemento che un motore può sollevare a una certa altezza in funzione del tempo di funzionamento.
왘 Indica con m la massa del cemento e con t il tempo per sollevarla, poi scrivi la formula che lega m e t.
왘 Mediante la formula, calcola la massa del cemento che il motore solleva in 35 minuti.
2 Considera la funzione
y = x2+ 1
왘 La funzione è crescente o decrescente?
왘 Costruisci una tabella assegnando a x dieci valori.
3 Se una tegola cade dal tetto di un edificio alto 30 m, l’altezza che essa ha rispetto al suolo al tempo t si cal- cola con la formula: h = 30 – 4,9·t2.
왘 Possiamo dire che h è funzione di t?
왘 La dipendenza di h rispetto a t è di tipo lineare?
4 PROBLEMA SVOLTO Il volume di un cilindro si calcola con la formula V = π⋅h⋅r2.
왘 Consideriamo un cilindro di altezza 10 cm e rap- presentiamo il volume in funzione del raggio.
Soluzione π⋅h = 31,4 cm. Quindi V = 31,4⋅r2.
Osserviamo che i volumi sono multipli di 31,4, perciò per rappresentare il volume in un grafico conviene scegliere la scala 1 cm → 31,4 cm3(osserva la figura).
5 Considera un cilindro di raggio 10 cm e altezza varia- bile.
왘 Rappresenta il volume in funzione dell’altezza.
왘 Trova il volume che corrisponde a un’altezza di 2,5 cm.
O
raggio (cm) volume (cm3)
1 2 3
9 × 31,4
31,4 4 × 31,4
Raggio (cm) 0 1 2 3
Volume (cm3) 0 31,4 × 12 31,4 × 22 31,4 × 32
1 2
Tempo (min) 0 1 2 3 4
Massa (kg) 0 50 100 150 200
6 Nella tabella è riportata la temperatura di un paziente nel corso di 6 ore.
왘 Rappresenta i dati mediante un grafico cartesiano.
왘 C’è qualche regolarità nell’andamento della tem- peratura?
7 Il grafico della figura rappresenta la velocità di un’au- tomobile durante una frenata.
왘 La pendenza è positiva o negativa?
왘 Calcola il valore della pendenza.
❘ 2 Le grandezze direttamente proporzionali
8 PROBLEMA SVOLTO La lunghezza di una cir- conferenza di raggio r si calcola con la formula
C = 2π⋅r
왘 Lunghezza e raggio sono direttamente propor- zionali?
Soluzione La risposta è affermativa. Infatti, ap- prossimando π con 3,14:
= 6,28
e quindi, poiché il rapporto tra le due variabili è co- stante, esse sono direttamente proporzionali.
D’altra parte, se costruiamo una tabella
notiamo che al raddoppiare del raggio anche la lunghezza della circonferenza raddoppia e così via.
Raggio (cm) 0 1 2 3 4
Circonferenza (cm) 0 2π 4π 6π 8π C
r O
spazio (m)
10 20
8 12
4 6 10
2
30 40
velocitàm s
Ora (h) 7 8 9 10 11 12
Temp (°C) 37,7 38,0 38,5 37,8 38,2 38,0
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Problemi
Unità 2 •La rappresentazione di dati e fenomeni
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PARTE AGRANDEZZE FISICHE, MISURE, FORZE
LA RAPPRESENTAZIONE DI DATI E FENOMENI 䡵 UNITÀ 2
14 Un cuoco ha due tegami dello stesso metallo. Il più piccolo ha una massa di 1,35 kg e un volume di 5 × 10–6m3. Il più grande ha un volume di 6 × 10–6m3. Vuole sapere qual è la massa del secondo tegame.
왘 Risolvi il problema calcolando prima la densità del metallo e poi il volume.
왘 Risolvi di nuovo il problema con una proporzione.
❘ 3 Altre relazioni matematiche
15 PROBLEMA SVOLTO Il tempo t che un sasso im- piega per arrivare a terra, dipende dall’altezza h a cui si trova, secondo la legge t = 0,45 —
h, dove h è misurata in metri e t in secondi.
왘 Che tipo di relazione c’è fra il tempo e l’altezza?
Soluzione Mediante la formula costruiamo una tabella e poi il relativo grafico.
Le due grandezze non sono direttamente proporzio- nali, né in correlazione lineare perché il grafico non è una retta. Dobbiamo escludere che siano inversa- mente proporzionali perché la curva non è un’iper- bole; infine, non vi è una proporzionalità di tipo quadratico perché la curva non è una parabola.
La relazione fra altezza e tempo non rientra in nes- suno dei casi finora studiati.
16 Con riferimento al problema precedente, potevamo giungere alle stesse conclusioni senza fare il grafico, ma osservando solo la tabella.
왘 Spiega perché.
17 La tabella che segue riporta la velocità di una moto; la velocità aumenta nel tempo.
왘 Rappresenta i valori della tabella sul piano cartesiano.
왘 Spiega perché velocità e tempo non sono diretta- mente proporzionali.
Tempo (h) 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 Velocità (km/h) 10 20 30 40 50 60
14 12 10 8 6 4 2
O 100 500 1000
altezza (m)
tempo (s)
Altezza (m) 100 400 600 900
Tempo (s) 4,5 9 11 13,5
9 Possiamo esprimere la lunghezza della circonferenza in funzione del diametro invece che in funzione del raggio.
왘 La lunghezza della circonferenza è direttamente proporzionale al diametro?
왘 Fai il grafico della lunghezza della circonferenza in funzione del diametro.
10 La semiretta della figura rappresenta due grandezze direttamente proporzionali.
왘 Calcola la pendenza.
왘 Scrivi la relazione matematica che rappresenta la diretta proporzionalità.
11 La scala di una carta geografica è 1 : 50 000, cioè la di- stanza di 1 cm sulla carta corrisponde a una distanza reale di 50 000 cm.
왘 La distanza fra due città è 3,5 cm sulla carta.
Con una proporzione, calcola la distanza reale tra le due città.
왘 Quanto distano sulla carta due località che sono distanti 27 km?
12 Un motociclista racconta a un amico: «Ho fatto un tragitto a velocità costante, perciò ho percorso distanze direttamente proporzionali ai tempi impiegati».
Applicando le proporzioni rispondi alle seguenti do- mande.
왘 Se in 10 minuti ha percorso 20 km, quanto tempo ha impiegato per percorrere 100 km?
왘 Quale distanza ha percorso in mezz’ora?
13 Quando un sasso cade da una certa altezza, la velocità aumenta secondo la relazione v = g·t, dove t è il tempo in secondi e g una grandezza fisica che vale 9,8.
왘 Qual è l’unità di misura della grandezza g?
왘 Durante la caduta, velocità e tempo sono diretta- mente proporzionali?
왘 Costruisci una tabella per i primi 5 secondi della caduta e il relativo grafico.
11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 12
1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 x y
VERIFICHE DI FINE UNITÀ
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A 4 UNITÀ 2 䡵 LA RAPPRESENTAZIONE DI DATI E FENOMENI
18 Un’agenzia di viaggi propone, come preventivo per una gita scolastica, una quota fissa di 100 euro + 200 euro per ogni 10 alunni.
왘 Costruisci una tabella della spesa fino a 50 alunni, poi il relativo grafico.
왘 Spesa e numero degli alunni partecipanti sono di- rettamente proporzionali?
19 Disegna cinque rettangoli di base fissa 4 cm e altezza di 2; 4; 6; 8; 10 cm.
왘 Per ogni rettangolo calcola l’area.
왘 Riporta i dati in una tabella.
왘 L’area del rettangolo è direttamente proporzionale all’altezza?
왘 Costruisci il grafico.
왘 Calcola con una proporzione l’altezza che deve avere il rettangolo perché l’area sia di 13 cm2.
20 Hai contattato due negozi di CD musicali per corri- spondenza:
– il negozio A ti spedisce i dischi al prezzo di 25 euro ciascuno;
– il negozio B ti fa pagare 22 euro per ogni CD, però chiede 5 euro per la spedizione.
Indica con N il numero dei CD acquistati e con S la spesa totale.
왘 Fai una tabella per entrambi i negozi supponendo di comprare da 5 a 10 dischi.
왘 Rappresenta graficamente le due tabelle.
왘 In quale dei due casi la spesa è in correlazione li- neare con il numero dei CD?
왘 Dove conviene comprare i CD?
21 Supponi che la bolletta telefonica si paghi in questo modo: canone fisso di 15 euro + 0,1 euro per ogni scatto telefonico.
왘 Il costo della bolletta è direttamente proporzionale alla spesa? Spiega.
왘 Indica con N il numero degli scatti, poi scrivi la formula per il calcolo della bolletta.
22 Cinque automobili girano su una pista di lunghezza L = 2400 m. Ogni automobile gira a velocità costante, però le velocità delle cinque automobili sono diverse.
La relazione che permette di studiare il fenomeno è L = v·t dove v è la velocità espressa in m/s e t è il tem- po impiegato in secondi.
왘 Il tempo di percorrenza è direttamente o inversa- mente proporzionale alla velocità dell’automobile?
왘 Supponi che le velocità siano 40 m/s, 45 m/s, 50 m/s, 55 m/s e 60 m/s; calcola i tempi che impiega ogni au- tomobile a percorrere il circuito.
왘 Riporta in un grafico il tempo di percorrenza in funzione della velocità.
23 Quando un automobilista va dal benzinaio, la quan- tità di carburante immessa nel serbatoio è diretta- mente proporzionale al tempo di pompaggio.
왘 Il volume V di carburante presente nel serbatoio al tempo t è direttamente proporzionale a t? Spiega.
왘 Scrivi la relazione che permette di calcolare V, note la quantità di carburante qt che entra nell’unità di tempo e il volume Vodi carburante già presente nel serbatoio.
24 Il periodo T di un pendolo di lunghezza l si calcola con la formula T = 2π
—
(T in secondi e l in metri).
왘 T e l sono direttamente proporzionali?
왘 Se rappresentiamo graficamente il periodo e la lun- ghezza, otteniamo una parabola?
왘 Se raddoppiamo l, di quanto varia T?
l 9,8 VERIFICHE DI FINE UNITÀ
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2 Crescente 3 Sì; no 5 785 cm3
12 50 min; 60 km 13 m/s2; sì 14 1,62 kg 18 No
19 8 cm2, 16 cm2, 24 cm2, 32 cm2, 40 cm2; sì; 3,25 cm
20 Nel caso B; nel negozio B 23 V = V0+ qt·t
7 negativa; –0,3 s–1 9 Sì
10 1,5; y = 1,5x 11 1,75 km; 54 cm
Risposte
