© Davide Manca – Strumentazione e Controllo di Impianti Chimici – Politecnico di Milano E4—
Fondamenti di Dinamica di Processo
E4
Il Modello Matematico
Per comprendere e studiare il comportamento di un sistema fisico:
• Approccio sperimentale
• Laboratorio
• Strumentazione
• Tempistiche
• Black-box
• Approccio matematico
• Assenza di impianto/strumentazione
• Equazioni
• Metodi numerici
• White-box
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Il Ruolo del Modello nel Controllo di Processo
Se si vuole controllare un processo, perché è necessario sviluppare un modello?
• L’impianto potrebbe non esistere (fase di design)
• L’impianto esiste, ma non conviene fare sperimentazioni
Esempio:
Modello Matematico
• Bilancio totale di massa del serbatoio:
• Se il serbatoio opera in condizioni stazionarie:
• Ma se le condizioni variano nel tempo (disturbi, cambi di produzione…):
è necessario caratterizzare il comportamento dinamico del sistema.
( )
P P in P in out
dT dT
m c V c F c T T Q
dt = ρ dt = ρ − +
( )
0P P in P in out
dT dT
m c V c F c T T Q
dt = ρ dt = ρ − + = Fin ρcP
(
Tin −Tout)
+ =Q 0Tin
Tempo Tin,SS
t = 0
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Modello Matematico
Risultato:
Tout
Tempo Tout,SS
t = 0
Principio di Conservazione
Per caratterizzare un processo chimico, o comunque un qualsiasi fenomeno fisico, sono necessari:
• una serie di variabili opportunamente scelte in modo da monitorare il comportamento del processo (o dei fenomeni coinvolti)
• una serie di equazioni che mettano in relazione tra loro queste variabili
Principio di Conservazione:
dove S può essere la massa totale, la massa del singolo componente, l’energia totale o la
in out
portata di S portata di S
accumulo di S quantità di S quantità di S
nel sistema nel sistema
in un sistema prodotta nel sistema consumata nel sistema
tempo tempo tempo tempo tempo
= − + −
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Remark
Nei processi chimico-fisici che verranno analizzati durante il corso, vige il principio di conservazione della massa totale e dell’energia totale
Equazioni di Bilancio
Con:
INLETS OUTLETS
1 2
… N
1 2
… M SISTEMA
Q W
INLETS OUTLETS
1 2
… N
1 2
… M SISTEMA
Q W
densità della materia nel sistema densità del componente nel sistema Volume totale del sistema
Portata volumetrica del componente Numero di moli del componente Concentrazione del comp
i
i A A
i V
F i
n A
c ρ ρ
=
=
=
=
=
=
,
onente
Concentrazione del componente nella corrente
velocità di reazione volumetrica per il componente A nel sistema entalpia specifica della corrente nel sistema
, , energia interna,
A i A
i
A
c A i
r
h i
U K P
=
=
=
= cinetica e potenziale all'interno del sistema
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Equazioni di Bilancio
Bilancio globale di massa:
Bilancio massico sul singolo componente:
Bilancio globale di energia:
( )
1 1
n inlet n outlet
i i j j
i j
d V
d m F F
d t d t
ρ ° ρ ° ρ
= =
= =
∑
−∑
( )
, ,
1 1
n inlet n outlet
A A
A i i A j j A
i j
d c V
d n c F c F r V
d t d t
° °
= =
= =
∑
−∑
± ⋅( )
1 1
n inlet n outlet
i i i j j j
i j
d U K P
d E F h F h Q W
d t d t ° ρ ° ρ
= =
= + +
∑
−∑
± ±Esercizio - Serbatoio
Caratterizzare il seguente serbatoio riscaldato da serpentino con vapore:
Bilancio di massa globale Bilancio di energia
(Bilancio di quantità di moto)
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Esercizio - Serbatoio
Massa Totale:
Energia totale:
Equazioni:
Variabili: h, T
Output: h, T
Disturbi: Ti, Fi
Manipolate: Q, F (controllo feedback) Fi (controllo feed-forward) Parametri: A, ρ, cp
ρAh
E = + +U K P dK 0
dt = dP 0
dt = dE dU dH dt = dt dt
i
A dh F F
dt = − i
(
i)
p
dT Q
Ah F T T
dt = − + ρc
