1. Esercitazione guidata di Geometria 2

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1. Esercitazione guidata di Geometria 2

Calcolo del gruppo fondamentale

Dr. Matteo Penegini Prof. Arvid Perego

Esercizio 1. Si determini il gruppo fondamentale dei seguenti spazi topologici.

(1) Lo spazio topologico X ⊆ R³ (munito della topologia indotta da quella euclidea) ottenuto come rotazione attorno all’asse z dell’insieme A unione dei tre insiemi

{(x, y, z) ∈ R³| x = 0, (y − 2)²+ z² = 1}, {(x, y, z) ∈ R³| x = 0, (y + 2)²+ z² = 1}, {(x, y, z) ∈ R³| x = z = 0, y ∈ [−1, 1]}.

(2) Lo spazio topologico Y ⊆ R³ (munito della topologia indotta da quella euclidea) ottenuto come rotazione attorno all’asse z dell’insieme

B := {(x, y, z) ∈ R³| x = 0, (y − 1)²+ z² = 1}.

(3) Lo spazio topologico Z ⊆ R³ (munito della topologia indotta da quella euclidea) ottenuto come rotazione attorno all’asse z dell’insieme C unione dei due insiemi

{(x, y, z) ∈ R³| x = 0, y²+ z² = 1}, {(x, y, z) ∈ R³| x = y = 0, z ∈ [−1, 1]}.

(4) Lo spazio topologico W ⊆ R³ (munito della topologia indotta da quella euclidea) ottenuto come rotazione attorno all’asse z dell’insieme D unione dei tre insiemi

{(x, y, z) ∈ R³| x = 0, y²+ z² = 1}, {(x, y, z) ∈ R³| x = y = 0, z ∈ [−1, 1]}, {(x, y, z) ∈ R³| x = z = 0, y ∈ [−1, 1]}.

Esercizio 2. Siano

S := {(x, y, z) ∈ R³| x²+ y² + z² = 1},

C := {(x, y, z) ∈ R³| x²+y² = 1, z ∈ [−1, 1]}∪{(x, y, z) ∈ R³| x²+y² ≤ 1, z = ±1}, C⁰ := {(x, y, z) ∈ R³| x²+y² = 1, z ∈ [−2, 2]}∪{(x, y, z) ∈ R³| x²+y² ≤ 1, z = ±2}, e Q il cubo circoscritto a S avente spigoli paralleli agli assi coordinati. Conside- riamo inoltre

X := S ∪ C, Y := S ∪ C⁰, Z = S ∪ Q.

Determinare il gruppo fondamentale de X, Y e Z

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Esercizio 3. Sia T un toro e siano a e b un meridiano e un parallelo su T , le cui classi di omotopia costituiscono i due generatori del gruppo fondamentale di T . Si determini il gruppo fondamentale del quoziente T / ∼ dove ∼ `e:

(1) la relazione d’equivalenza che identifica tra loro tutti i punti di a;

(2) la relazione d’equivalenze che identifica tra loro tutti i punti di b;

(3) la relazione d’equivalenza che identifica tra loro tutti i punti di a e di b.

Esercizio 4. In P²_R si considerino tre punti distinti P, A, B. Calcolare il gruppo fondamentale π₁(P²_R\ {A, B}, P ).

Esercizio 5. In R³ munito della topologia euclidea si consideri il sottospazio X che si ottiene come rotazione attorno all’asse z di

A := {(x, y, z) ∈ R³| x = 0, y²+z² = 4}∪{(x, y, z) ∈ R³| x = 0, (y−3)²+z² = 1}.

(1) Si determini il gruppo fondamentale di X.

(2) Sia Γ la circonferenza contenuta nel piano z = 0 di equazione x²+ y² = 4.

Quante componenti connesse per archi ha X \ Γ? Determinarneil gruppo fondamentale

Esercizio 6. Determinare il gruppo fondamentale dello spazio topologico X ⊆ R³ che si ottiene come rotazione attorno all’asse z di

A := {(x, y, z) ∈ R³| x = 0, (y − 1)²+ z² = 4}.

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Soluzione degli esercizi

Soluzione esercizio 1. Tutte le figure proposte sono solidi di rotazione. Co- me verificheremo, i primi tre sono tutti omotopicamente equivalenti a S²∨ S¹, l’ultimo invece a S²∨ S²∨ S¹∨ S¹.

(1) La prima figura `e un toro il cui buco centrale `e coperto da un disco:

Per determinarne il gruppo fondamentale possiamo utilizzare Seifert-van Kampen, che possiamo applicare in molti modi diversi. Un metodo semplice `e il seguente: consideriamo due aperti U e V di X, dove U `e dato dal toro unito ad una parte del disco centrale, vale a dire

mentre V `e il disco centrale unito ad una striscia sul toro attorno al suo equatore centrale, vale a dire

In questo modo sia U che V sono connessi per archi, la loro unione `e X, e la loro intersezione `e

che `e quindi connessa per archi. L’aperto U ha come retratto per deformazione un toro, quindi il suo gruppo fondamentale `e

π₁(U ) = ha, b|aba⁻¹b⁻¹i.

L’aperto V `e contraibile, quindi

π1(V ) = {1}.

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L’intersezione ha come retratto di deformazione una circonferenza, quindi π₁(U ∩ V ) = hci.

Indicando i_U e i_V le inclusioni di U ∩ V in U e V rispettivamente, si trova quindi che

π1(X) = ha, b|aba⁻¹b⁻¹, iU ∗c = iV ∗ci.

Dato che V `e semplicemente connesso, si ha che i_{V ∗}c = 1. Dalla figura seguente si verifica facilmente che i_{U ∗}c = b (nella figura la curva in nero

è c, la curva in rosso è b e la curva in blu è a):

Si trova in conclusione che

π₁(X) = ha, b|aba⁻¹b⁻¹, bi = hai ' Z.

(2) La seconda figura `e quello che talvolta viene chiamato un cuscino:

Osserviamo facilmente che questa figura e quella precedente sono omotopicamente equivalente, dato che possiamo contrarre ad un punto il disco presente nella figura precedente, e cos`ı facendo troviamo il cuscino. Ne concludiamo che π₁(X) ' π₁(Y ).

(3) La terza figura `e una sfera con un diametro che congiunge polo nord e polo sud:

Di nuovo, contraendo il segmento che congiunge il polo nord e il polo sud, si ritrova il cuscino dell’esempio precedente, quindi π₁(Z) ' π₁(Y ).

(4) La quarta figura `e invece una sfera con il diametro tra polo nord e polo sud, ed un disco equatoriale:

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Un modo semplice per calcolare il gruppo fondamentale di questa figura

`e ad esempio contrarre il disco centrale, ottenendo in questo modo due copie dello spazio Z del punto precedente, unite in un punto, vale a dire Z ∨ Z:

Si ottiene quindi che W è omotopicamente equivalente a Z ∨ Z, e quindi π₁(W ) ' π₁(Z ∨ Z). Basta ora usare Seifert-van Kampen su Z ∨ Z, usando come aperto U la sfera superiore unita all’emisfero nord della sfera inferiore, e come V la sfera inferiore unita all’emisfero sud della sfera superiore. Allora U e V sono connessi per archi, la loro unione è Z ∨ Z, e la loro intersezione è l’unione a un punto di due semisfere. Si ha quindi che π₁(U ), π₁(V ) ' Z mentre U ∩ V è contraibile, e quindi π₁(U ∩ V ) = {1}. Ne segue quindi che π₁(W ) ' Z ∗ Z.

Osserviamo che i primi tre esempi, come si è già detto all’inizio, sono tutti omotopicamente equivalenti a S² ∨ S¹. Per dimostrarlo, abbiamo già osservato che X e Y sono omotopicamente equivalenti a Z, quindi basterà mostrare che Z

`

e omotopicamente equivalente a S²∨ S¹. Per fare questo, l’idea è di considerare un arco di circonferenza sulla sfera che congiunga il polo nord al polo sud, e contrarlo: contraendo un arco di circonferenza lungo una sfera, lo spazio resta una sfera, ma il diametro che congiunge i poli diventa una circonferenza che interseca la sfera nel punto a cui è stato contratto l’arco di circonferenza: si ottiene cioè una sfera unita in un punto ad una circonferenza.

In modo simile si dimostra che W `e omotopicamente equivalente all’unione ad un punto di due sfere e due circonferenze.

Soluzione esercizio 2. La figura X `e data dall’unione di una sfera e di un cilindro con entrambe le basi come in figura:

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Per calcolarne il gruppo fondamentale usiamo Seifert-van Kampen. L’aperto U si ottiene intersecando X con il semispazio z < 1/2, il che d`a

e come V si interseca X con il semispazio z > 1/2, il che d`a una figura identica a U (ma speculare). Si osserva facilmente che sia U che V sono omotopicamente equivalenti ad un cuscino, quindi π₁(U ) = hai e π₁(V ) = hbi. L’intersezione `e omotopicamente equivalente ad una circonferenza, quindi π₁(U ∩ V ) = hci. Si ottiene quindi che

π₁(X) = ha, b|i_{U ∗}c = i_{V ∗}ci.

Ora, è facile osservare che sia in U che in V si ha che c è contraibile (in figura c è rappresentato in nero, mentre il generatore di U è in rosso)

Questo comporta che i_{U ∗}c = i_{V ∗}c = 1, e quindi si trova che π₁(X) = ha, bi ' Z ∗ Z.

Per quanto riguarda Y , la figura `e la seguente:

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Per calcolarne il gruppo fondamentale usiamo Seifert-van Kampen. L’aperto U si ottiene intersecando X con il semispazio z < 1/2, il che d`a

e come V si interseca X con il semispazio z > 1/2, il che d`a una figura identica a U (ma speculare). Si osserva facilmente che sia U che V sono omotopicamente equivalenti ad una sfera, quindi sono entrambi semplicemente connessi: ne consegue che anche Y `e semplicemente connesso.

Concludiamo con Z, che `e costituito da una sfera inscritta in un cubo, con sei punti di tangenza. Dilatando i sei punti di tangenza in altrettanti segmenti, e trasformando il cubo in una sfera, si ottiene

Contraendo uno dei sei segmenti si ottiene

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e quindi utilizzando per i cinque segmenti rimanenti la procedura descritta nell’esercizio 1 (contrarre un arco di circonferenza su una sfera), troviamo che lo spazio Z `e omotopicamente equivalente all’unione ad un punto di due sfere e di cinque circonferenze, quindi

π₁(Z) ' Z ∗ Z ∗ Z ∗ Z ∗ Z.

Soluzione esercizio 3. Nel caso in cui si contrae il parallelo b, possiamo sceglie- re come parallelo da contrarre quello che costituisce la circonferenza di raggio minimo, e contraendola si ottiene un cuscino, di cui abbiamo gi`a calcolato il gruppo fondamentale.

Nel caso in cui si contrae il meridiano a, si ottiene il cosiddetto toro strozzato:

questo `e omotopicamente equivalente a S²∨ S¹, e quindi a sua volta `e omotopicamente equivalente ad un cuscino.

Il caso pi`u complesso `e l’ultimo, in cui contraiamo sia a che b nello stesso punto.

Dilatando entrambi i punti ad un disco, otteniamo la figura seguente:

Per determinarne il gruppo fondamentale possiamo utilizzare Seifert-van Kampen con nel punto 1 dell’Esercizio 1. Consideriamo due aperti U e V di Z, dove U `e dato Z al cui disco centrale si toglie un punto, vale a dire

mentre V `e il disco centrale unito ad una striscia sul toro attorno al suo equatore centrale (pi`u un pezzo di dischetto interno al toro), vale a dire

In questo modo sia U che V sono connessi per archi, la loro unione `e Z, e la loro intersezione `e

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che `e quindi connessa per archi. L’aperto U ha come retratto per deformazione un toro strozzato, quindi il suo gruppo fondamentale `e

π₁(U ) = hai.

L’aperto V `e contraibile, quindi

π₁(V ) = {1}.

L’intersezione ha come retratto di deformazione una circonferenza, quindi π₁(U ∩ V ) = hci.

Indicando iU e iV le inclusioni di U ∩ V in U e V rispettivamente, si trova quindi che

π₁(Z) = ha|i_{U ∗}c = i_{V ∗}ci.

Dato che V è semplicemente connesso, si ha che iV ∗c = 1. Dalla figura seguente si verifica facilmente che iU ∗c = a (nella figura la curva in nero è c e la curva in blu è a):

Si trova in conclusione che

π₁(Z) = ha|ai ' Z, cio`e Z `e semplicemente connesso.

Soluzione esercizio 4. Lo spazio topologico P²_R si ottiene da un disco munito della relazione di equivalenza che identifica i punti del bordo in maniera antipodale. Di conseguenza P²_R\ {A, B} si ottiene da un disco privato di due punti interni, moduli la relazione di equivalenza che identifica i punti del bordo in maniera antipodale.

Dato che il disco privato di due punti interni `e omotopicamente equivalente al bordo e ad un diametro, e dato che gli estremi del diametro sono identificati, quozientando rispetto alla relazione di equivalenza antipodale sul bordo si ottiene che P²_R \ {A, B} `e omotopicamente equivalente all’unione ad un punto di due circonferenze.

Dato che il disco privato di due punti `e connesso per archi, anche P²_R\ {A, B} `e connesso per archi, quindi il suo gruppo fondamentale non dipende da P .

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Soluzione esercizio 5. Lo spazio topologico X `e costituito da una sfera ad un toro tangenti lungo l’equatore. Considerando come aperto U il toro unito ad una striscia della sfera attorno all’equatore, e come aperto V la sfera unita ad una striscia del toro attorno all’equatore, si ha che X = U ∪ V e che U , V e U ∩ V sono connessi per archi.

Inoltre

πU = ha, b|aba⁻¹b⁻¹i, π1(V ) = {1}

e

π₁(U ∩ V ) = hci,

dato che U è omotopicamente equivalente al toro, V è omotopicamente equivalente alla sfera e U ∩ V è omotopicamente equivalente ad una circonferenza.

Dato che iU ∗c = b e iV ∗c = 1, si ottiene quindi che π₁(X) = ha, b|aba⁻¹b⁻¹, bi = hai.

Osserviamo che la circonferenza Γ è proprio la circonferenza lungo cui la sfera e il toro sono tangenti, quindi X \ Γ ha tre componenti connesse: i due emisferi della sfera, e il toro privato di un equatore. Ognuno dei due emisferi è semplicemente connesso, mentre il toro privato di un equatore è omotopicamente equivalente ad una circonferenza.

Soluzione esercizio 6. La figura che si ottiene `e la seguente:

che `e a meno di omeomorfismo l’unione in due punti di due sfere (o pi`u precisa- mente una sfera contenente un ellissoide, tangenti nei due poli). Dilatando i due poli in due segmenti si trova

Come nell’esercizio 2 (per Z) si trova che lo spazio topologico `e omotopicamente equivalente all’unione ad un punto di due sfere e di una circonferenza, e quindi il gruppo fondamentale `e Z.