Transizioni di Fase e Fenomeni Critici: Il modello di Ising del Ferromagnetismo

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Transizioni di Fase e Fenomeni Critici:

Il modello di Ising del Ferromagnetismo

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2 Indice

Indice

Indice... 2

I modelli microscopici del ferromagnetismo ... 3

Il Modello di Ising Unidimensionale ... 4

Assenza di Magnetizzazione Spontanea per il Modello Unidimensionale ... 4

Calcolo della Funzione di Partizione in assenza di campo esterno ... 5

Calcolo dei Potenziali Termodinamici ... 7

Calcolo della Funzione di Partizione in presenza di campo esterno ... 7

Calcolo dei Potenziali Termodinamici e della Suscettibilità Magnetica ... 8

Il Modello di Ising Bidimensionale ... 9

Presenza di Magnetizzazione Spontanea nel Modello Bidimensionale ...10

La soluzione approssimata di Bragg-Williams ...12

La soluzione approssimata di Bethe-Peierls ...17

La soluzione Esatta di Onsager ...22

Bibliografia ...24

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3 I modelli microscopici del ferromagnetismo

I modelli microscopici del ferromagnetismo

Un metodo per cercare di spiegare il fenomeno del ferromagnetismo, che è un fenomeno macroscopico, consiste nel fare ipotesi soltanto sulla natura microscopica dell’interazione fra le particelle costituenti il materiale ferromagnetico. A seconda della tipologia di interazione considerata si ottengono diversi modelli che prendono nomi differenti.

Il materiale ferromagnetico è solitamente composto da nuclei atomici disposti su un reticolo cristallino (che può avere varie forme) e da elettroni liberi di muoversi nello spazio infra reticolare. I nuclei atomici sono praticamente obbligati a stare nei siti reticolari, e possono soltanto oscillare attorno alla posizione di equilibrio con un potenziale quasi armonico. Tuttavia né il moto dei nuclei, né il moto degli elettroni liberi influenzano , perlomeno in modo significativo, il fenomeno del ferromagnetismo ; esso è invece è

originato essenzialmente dall’allineamento degli spin degli elettroni degli orbitali atomici più esterni, come il d e l’f dei metalli di transizione. Il momento angolare orbitale non contribuisce.

La parte del potenziale rilevante è quindi quella di interazione fra gli spin. Come semplificazione assumiamo che sia presente uno e un solo elettrone in ogni cella del reticolo cristallino. Gli elettroni tenderanno ad allinearsi poiché è in quello stato che avranno energia minore a causa dell’”exchange effect”, effetto dato dalla combinazione della repulsione Coulombiana e del principio di esclusione di Pauli che crea una specie di “potenziale attrattivo” che rende la configurazione a spin allineati quella a energia minima.

Ci sono altri effetti complicati dovuti alla struttura del materiale, per esempio gli spin possono preferire allinearsi lungo una specifica direzione (ferromagneti uniassiali) o su un piano (ferromagneti planari) oppure può non esserci direzione preferenziale (ferro magneti isotropici). Indichiamo allora con 𝐷 la dimensione dello spin. Ad esempio 𝐷 = 1 indica che lo spin ha una sola componente, siamo quindi nel caso di ferro magnete uni assiale, con gli spin sempre nella stessa direzione (a questo proposito è chiaro che stiamo considerando un modello con spin classici).

In base alle caratteristiche del materiale, ecco classificati i principali tipi di potenziale di interazione (Hamiltoniane):

D Hamiltoniana Nome Sistema

1 ℋ = −𝐽 � 𝑠_𝑖,𝑥𝑠_𝑗,𝑥

(𝑖,𝑗)

Modello di Ising Ferromagnete uniassiale 2 ℋ = −𝐽 � 𝑠_𝑖,𝑥𝑠_𝑗,𝑥+ 𝑠_𝑖,𝑦𝑠_𝑗,𝑦

(𝑖,𝑗)

Modello di Vaks-Larkin Ferromagnete planare, Transizione 𝜆 in un fluido di Bose 3 ℋ = −𝐽 � 𝑠𝑖,𝑥𝑠𝑗,𝑥+ 𝑠𝑖,𝑦𝑠𝑗,𝑦+ 𝑠𝑖,𝑧𝑠𝑗,𝑧

(𝑖,𝑗)

Modello classico di

Heisenberg Ferromagnete isotropo, anti ferromagnete

∞ ℋ = −𝐽 � �� 𝑠𝑖,𝑛𝑠𝑗,𝑛

∞ 𝑛=1

�

(𝑖,𝑗)

Modello Sferico -

Oltre alla dimensione dello spin è necessario cosiderare la dimensione 𝑑 del reticolo: infatti poiché

praticamente tutti i modelli non sono esattamente risolubili in tre dimensioni reticolari, sono stati studiati modelli in cui il reticolo è a una o due dimensioni.

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4 Il Modello di Ising Unidimensionale

Questi modelli non sono di interesse puramente matematico, ma possono avere anche un significato fisico, possono infatti rispecchiare bene le caratteristiche di materiali che tendono ad avere struttura a “strati”

(𝑑 = 2) o a “catena” (𝑑 = 1).

Infine bisogna specificare fra quali spin c’è interazione: i casi principali sono: solo fra spin adiacenti (s.a.), oppure con potenziale decrescente come una potenza negativa della distanza . Bisogna inoltre indicare se siamo in presenza o meno di un campo magnetico 𝐻.

La tabella seguente riassume per quali tipi di interazione, al variare di 𝐷 e 𝑑 è stata trovata una soluzione esatta e per quali non è stata trovata alcuna soluzione.

D d=1 d=2 d=3

1 s.a., 𝑟^−𝑎; 𝐻 = 0, 𝐻 ≠ 0 s.a. e 𝐻 = 0 -

2 s.a. e 𝐻 = 0 - -

3 s.a. e 𝐻 = 0 - -

∞ s.a., 𝑟^−𝑎; 𝐻 = 0, 𝐻 ≠ 0 s.a., 𝑟^−𝑎; 𝐻 = 0, 𝐻 ≠ 0 s.a., 𝑟^−𝑎; 𝐻 = 0, 𝐻 ≠ 0

Il modello di Ising n-dimensionale è quello con 𝐷 = 1, dimensioni del reticolo 𝑑 = 𝑛 e interazione fra spin adiacenti. E’ questo il modello che andrò ad esaminare al variare della dimensione 𝑑.

Il Modello di Ising Unidimensionale

Il modello di Ising unidimensionale considera un reticolo cristallino unidimensionale ovvero una catena: i siti sono tutti equidistanti. La catena può avere estremi liberi o essere chiusa ; queste due diverse situazioni comportano differenti condizioni al contorno. Gli spin degli atomi sono anche essi unidimensionali e sono tutti diretti lungo uno stesso asse. Il tipo di interazione è a primi vicini:

ℋ = −𝐽 � 𝑠_𝑖,𝑥𝑠_𝑖+1,𝑥

𝑁−1

𝑖=1

Dove gli spin hanno tutti modulo uguale che possiamo porre pari ad 1 (una qualsiasi costante moltiplicativa può essere riassorbita in 𝐽).

Assenza di Magnetizzazione Spontanea per il Modello Unidimensionale

Il modello unidimensionale prevede che non ci sia magnetizzazione spontanea per 𝑇 > 0. Infatti consideriamo la situazione di minima energia: tutti gli spin sono allineati, e l’entropia è 𝑆 = 𝑘 ln (2) in quanto ci sono due possibili stati , ovvero gli spin tutti “up” oppure tutti “down”. Invertiamo ora un certo numero di spin consecutivi, partendo dal primo. Così avremo che la prima parte della catena ha gli spin tutti paralleli fra loro, la seconda ha ugualmente tutti gli spin paralleli fra loro, ma gli spin del primo gruppo sono antiparalleli a quelli del secondo. L’energia aumenta di

∆𝑈 = 2𝐽 mentre l’entropia aumenta di

∆𝑆 = 𝑘 ln�2(𝑁 − 1)� − 𝑘 ln(2) = 𝑘 ln (𝑁 − 1)

in quanto ci sono 𝑁 − 1 modi di scegliere il primo gruppo (contenente 1,2 … 𝑁 − 1 spin) per ognuno dei due casi (spin tutti “up” o tutti “down”).

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La variazione di energia libera è quindi

∆𝐹 = 2𝐽 − 𝐾𝑇 ln (𝑁 − 1)

Che per 𝑇 > 0 e 𝑁 → ∞ è sempre negativa. Poiché l’energia libera tende al minimo, partendo dalla configurazione totalmente allineata il sistema tenderà a disallineare gli spin, quindi lo stato magnetizzato è instabile.

Questa argomentazione non vale per 𝑇 = 0.

Calcolo della Funzione di Partizione in assenza di campo esterno

L’energia del sistema è

ℋ = −𝐽 � 𝑠_𝑖,𝑥𝑠_𝑖+1,𝑥

𝑁−1

𝑖=1

La funzione di partizione è

𝑍(𝑁, 𝑇) = � 𝑒^−𝛽ℋ

𝑠𝑡𝑎𝑡𝑖

= � 𝑒^{𝛽𝐽 ∑}^𝑁−1^𝑖=1 ^𝑠^𝑖^𝑠^𝑖+1

{𝑠𝑖}

Dove {𝑠𝑖} indica l’insieme delle possibili scelte delle variabili 𝑠_𝑖.

Nel caso libero (senza condizioni al bordo) si ha che ciascuna delle variabili può assumere valore ±1 indipendentemente dalla altre. Facendo il cambio di variabili (invertibile)

� 𝜂₀ = 𝑠₁ 𝜂_𝑖 = 𝑠_𝑖𝑠_𝑖+1

𝑍(𝑁, 𝑇) = � 𝑒^{𝛽𝐽 ∑}^𝑁−1^𝑖=1 ^𝜂^𝑖

{𝜂_𝑖}

= � � 𝑒^𝛽𝐽𝜂^𝑖

𝑁−1 𝑖=1 {𝜂_𝑖}

= 2 � � 𝑒^𝛽𝐽𝜂^𝑖

𝑁−1 𝑖=1 {𝜂_𝑖/𝜂₀}

Dove l’ultimo passaggio viene dalla somma sui possibili stati di 𝜂0 (che sono 2) che dà quindi un fattore 2 in quanto la quantità sommata non dipende da 𝜂0.

Poiché le variabili sono fra loro indipendenti possiamo “scambiare” la sommatoria con il prodotto

𝑍(𝑁, 𝑇) = 2 � � 𝑒^𝛽𝐽𝜂^𝑖

𝜂_𝑖=±1 𝑁−1

𝑖=1

= 2 ��𝑒^𝛽𝐽+ 𝑒^−𝛽𝐽�

𝑁−1 𝑖=1

= 2 � 2𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽)

𝑁−1

𝑖=1

= 2�2𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽)�^𝑁−1= 2^𝑁𝐶𝑜𝑠ℎ^𝑁−1(𝛽𝐽)

Il caso di catena chiusa, quindi con condizioni al contorno periodiche, è più complicato. Definiamo una matrice 𝑃 i cui elementi sono 𝑠𝑖𝑠𝑖+1nella base

𝑆 = +1 => �1

0� 𝑆 = −1 => � 0 1�

𝑃 = � 𝑒^𝛽𝐽 𝑒^−𝛽𝐽 𝑒^−𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽 �

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Allora possiamo scrivere

𝑍(𝑁, 𝑇) = � 𝑒^−𝛽ℋ

= � 𝑒^{𝛽𝐽 ∑}^𝑁−1^𝑖=1 ^𝑠^𝑖^𝑠^𝑖+1

{𝑠𝑖}

= �〈𝑠₁|𝑃|𝑠₂〉〈𝑠₂|𝑃| … 𝑃|𝑠_𝑁+1〉

{𝑠𝑖}

Con 𝑠𝑁+1= 𝑠₁

= � 〈𝑠1|𝑃^𝑁|𝑠_𝑁+1〉

𝑠1,𝑠𝑁+1

= 𝑇𝑟[𝑃^𝑁] = �2𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽)�^𝑁+ �2𝑆𝑒𝑛ℎ(𝛽𝐽)�^𝑁= 2^𝑁�𝐶𝑜𝑠ℎ^𝑁(𝛽𝐽) + 𝑆𝑒𝑛ℎ^𝑁(𝛽𝐽)�

Potevamo usare questo metodo anche per il primo caso senza condizioni al bordo. In questo caso avremmo ottenuto

𝑍(𝑁, 𝑇) = � 𝑒^−𝛽ℋ

= � 𝑒^{𝛽𝐽 ∑}^𝑁−1^𝑖=1 ^𝑠^𝑖^𝑠^𝑖+1

{𝑠_𝑖}

= �〈𝑠₁|𝑃|𝑠₂〉〈𝑠₂|𝑃| … 𝑃|𝑠_𝑁〉

{𝑠_𝑖}

= � 〈𝑠₁|𝑃^𝑁−1|𝑠_𝑁〉

𝑠₁,𝑠_𝑁

Da sommare sull’insieme

𝑠1⨂𝑠𝑁 = ��1 0� , �

0

1�� ⨂ ��

1 0� , �

0 1��

Diagonalizzando 𝑃

= � 〈𝑠₁|𝐴⁻¹𝐴𝑃^𝑁−1𝐴⁻¹𝐴|𝑠_𝑁〉

𝑠₁,𝑠_𝑁

= � 〈𝑠₁|𝐴⁻¹𝑀^𝑁−1𝐴|𝑠_𝑁〉

𝑠₁,𝑠_𝑁

Dove 𝑀 è la matrice diagonale simile a 𝑃

𝑀 = �2𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽) 0

0 2𝑆𝑒𝑛ℎ(𝛽𝐽)�

𝐴 = 1

√2�1 1 1 −1�

𝑍(𝑁, 𝑇) = � 〈𝑠′₁|𝑀^𝑁−1|𝑠′_𝑁〉

𝑠1,𝑠𝑁

Dove 𝑠^′ = 𝐴𝑠, quindi

𝑠′₁⨂𝑠′_𝑁= � 1

√2�1 1� ,

1

√2� 1

−1�� ⨂ �1

√2�1 1� ,

1

√2� 1

−1�� Chiamando

𝑀₊₊= (1 0)𝑀^𝑁−1�1

0� =�2𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽)�^𝑁−1 𝑀−−= (0 1)𝑀^𝑁−1�0

1� =�2𝑆𝑒𝑛ℎ(𝛽𝐽)�^𝑁−1

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𝑍(𝑁, 𝑇) =1

2�(𝑀+++ 𝑀₋₋) + (𝑀₊₊− 𝑀₋₋) + (𝑀₊₊− 𝑀₋₋) + (𝑀₊₊+ 𝑀₋₋)� =

= 2�2𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽)�^𝑁−1= 2^𝑁𝐶𝑜𝑠ℎ^𝑁−1(𝛽𝐽)

Calcolo dei Potenziali Termodinamici

L’energia libera nei due casi è

𝐹₁(𝑇, 𝑁) = −𝑘𝑇 ln�𝑍₁(𝑇, 𝑁)� = −𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛2 − (𝑁 − 1)𝑘𝑇𝑙𝑛 �𝐶𝑜𝑠ℎ � 𝐽 𝑘𝑇��

𝐹₂(𝑇, 𝑁) = −𝑘𝑇 ln�𝑍₂(𝑇, 𝑁)� = −𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛2 − 𝑘𝑇𝑙𝑛 �𝐶𝑜𝑠ℎ^𝑁� 𝐽

𝑘𝑇� + 𝑆𝑒𝑛ℎ^𝑁� 𝐽 𝑘𝑇��

→ −𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛2 − 𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛 �𝐶𝑜𝑠ℎ � 𝐽 𝑘𝑇��

La funzione di partizione è una funzione analitica dei suoi argomenti, per questo essa e le sue derivate sono sempre continue, e non possono essere quindi presenti punti critici e transizioni di fase. Tali

transizioni possono occorrere solo nel limite termodinamico, cioè nel limite di infinito volume e costituenti, ma con il rapporto fra queste due quantità fissato, in quanto il limite di una serie di funzioni continue o differenziabili non è necessariamente una funzione continua o differenziabile rispettivamente. Perciò a noi interessa solo il limite termodinamico che vediamo essere (quasi) uguale nelle due funzioni. Per questo da ora in poi considereremo solo il primo caso.

L’entropia è

𝑆₁(𝑇, 𝑁) = −𝜕𝐹1

𝜕𝑇 (𝑇, 𝑁) = 𝑁𝑘𝑙𝑛2 + (𝑁 − 1)𝑘𝑙𝑛 �𝐶𝑜𝑠ℎ � 𝐽

𝑘𝑇�� −(𝑁 − 1)𝐽

𝑇 𝑇𝑎𝑛ℎ � 𝐽 𝑘𝑇�

L’energia interna è

𝑈₁(𝑇, 𝑁) = 𝐹₁(𝑇, 𝑁) + 𝑇𝑆₁(𝑇, 𝑁) = −𝐽(𝑁 − 1)𝑇𝑎𝑛ℎ � 𝐽 𝑘𝑇�

Il calore specifico è

𝐶₁ 𝑁𝑘 =

1 𝑁𝑘

𝜕𝑈₁

𝜕𝑇 (𝑇, 𝑁) =(𝑁 − 1) 𝑁

� 𝐽𝑘𝑇�

2

𝐶𝑜𝑠ℎ²� 𝐽𝑘𝑇�

→ � 𝐽𝑘𝑇�

2

𝐶𝑜𝑠ℎ²� 𝐽𝑘𝑇�

Come prevedibile l’energia risulta limitata superiormente in entrambi i casi. Il calore specifico così calcolato soddisfa il terzo principio della termodinamica tendendo a 0 per 𝑇−> 0.

Calcolo della Funzione di Partizione in presenza di campo esterno

ℋ = −𝐽 � 𝑠_𝑖𝑠_𝑖+1

𝑁−1 𝑖=1

− 𝐻 � 𝑠_𝑖

𝑁

𝑖=1

𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻) = � 𝑒^−𝛽ℋ

= � 𝑒^{𝛽𝐽 ∑}^𝑁−1^𝑖=1 ^𝑠^𝑖^𝑠^𝑖+1^{+𝐻 ∑}^𝑁^𝑖=1^𝑠^𝑖

{𝑠_𝑖}

= � 𝑒^{𝛽𝐽 ∑}^𝑁−1^𝑖=1 ^𝑠^𝑖^𝑠^𝑖+1^{+12𝐻 ∑ (𝑠}^𝑁^𝑖=1 ^𝑖^+𝑠^𝑖+1⁾

{𝑠_𝑖}

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L’ultimo passaggio vale in virtù delle condizioni cicliche al bordo.

Il calcolo è analogo a quello precedente con le condizioni al bordo, ma la nuova matrice 𝑃 è 𝑃 = �𝑒^{𝛽(𝐽+𝐻)} 𝑒^−𝛽𝐽

𝑒^−𝛽𝐽 𝑒^{𝛽(𝐽−𝐻)}� Quindi

𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻) = 𝑇𝑟[𝑃^𝑁] = (𝜆₊)^𝑁+ (𝜆₋)^𝑁 Dove i 𝜆 sono i nuovi auto valori, pari a

𝜆₊= 𝑒^𝛽𝐽�𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� +�𝑆𝑒𝑛ℎ²�𝐻

𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽�

𝜆₋= 𝑒^𝛽𝐽�𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� −�𝑆𝑒𝑛ℎ²�𝐻

𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽�

𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻) = �𝑒^𝛽𝐽�𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽��

𝑁

+ �𝑒^𝛽𝐽�𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� −�𝑆𝑒𝑛ℎ²�𝐻

𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽��

𝑁

Calcolo dei Potenziali Termodinamici e della Suscettibilità Magnetica

𝐹 = −𝑘𝑇𝑙𝑛�𝑍(𝑇, 𝐻, 𝑁)� = −𝑘𝑇𝑙𝑛((𝜆+)^𝑁) − 𝑘𝑇𝑙𝑛 �1 +(𝜆₋)^𝑁

(𝜆+)^𝑁� → −𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛𝜆+

= −𝑁𝐽 − 𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛 �𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽�

𝑆(𝑇, 𝐻, 𝑁) = −𝜕𝐹

𝜕𝑇(𝑇, 𝑁)

= 𝑁𝑘𝑙𝑛 �𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽�

−𝑁 𝑇

𝑆𝑒𝑛ℎ � 𝐻𝑘𝑇� 𝐻 +

2𝑆𝑒𝑛ℎ � 𝐻𝑘𝑇� 𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� 𝐻 − 4𝐽𝑒^−4𝛽𝐽 2�𝑆𝑒𝑛ℎ²� 𝐻𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽 𝐶𝑜𝑠ℎ � 𝐻𝑘𝑇� + �𝑆𝑒𝑛ℎ²� 𝐻𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽

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9 Il Modello di Ising Bidimensionale

𝑈(𝑇, 𝐻, 𝑁) = 𝐹(𝑇, 𝑁) + 𝑇𝑆(𝑇, 𝑁) = −𝑁𝐽 − 𝑁

𝑆𝑒𝑛ℎ � 𝐻𝑘𝑇� 𝐻 +

𝑆𝑒𝑛ℎ � 𝐻𝑘𝑇� 𝐶𝑜𝑠ℎ �𝐻

𝑘𝑇� 𝐻 − 2𝐽𝑒^−4𝛽𝐽

�𝑆𝑒𝑛ℎ²� 𝐻𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽 𝐶𝑜𝑠ℎ � 𝐻𝑘𝑇� + �𝑆𝑒𝑛ℎ²� 𝐻𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽

𝑀(𝑇, 𝐻, 𝑁) = − 1 𝑘𝑇

𝜕𝐹

𝜕𝐻 (𝑇, 𝐻, 𝑁) = 𝑁 𝑘𝑇

𝑆𝑒𝑛ℎ � 𝐻𝑘𝑇�

�𝑆𝑒𝑛ℎ²� 𝐻𝑘𝑇� + 𝑒^−4𝛽𝐽

Magnetizzazione del Modello di Ising Unidimensionale

E risulta

𝑀(𝑇, 𝐻 = 0, 𝑁) = 0 ∀ 𝑇 > 0

Come previsto precedentemente non c’è magnetizzazione spontanea a temperature non nulle.

Il Modello di Ising Bidimensionale

Il modello di Ising bidimensionale considera un reticolo cristallino bidimensionale, per semplicità consideriamolo con cellette a forma quadrata. I siti sono equidistanti lungo le direzioni dei due lati del quadrato. Gli spin degli atomi sono invece sempre unidimensionali e sono tutti diretti lungo un unico asse.

L’interazione è sempre fra primi vicini, quindi in questo caso ogni spin (non sul bordo) interagisce con altri 4: i due sopra/sotto e i due a destra/sinistra.

ℋ = −𝐽 � 𝑠_𝑖,𝑗𝑠_𝑖^′_,𝑗′

𝑖,𝑗,𝑖^′,𝑗′

𝑝𝑟𝑖𝑚𝑖 𝑣𝑖𝑐𝑖𝑛𝑖

− 𝐻 � 𝑠_𝑖,𝑗

𝑖,𝑗

dove gli spin hanno tutti modulo uguale che possiamo prendere pari ad 1 (una qualsiasi costante moltiplicativa può essere riassorbita in 𝐽).

L’energia del modello può essere scritta in funzione di 5 numeri:

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𝑁₊ numero di spin “up”, 𝑁− numero di spin “down”, 𝑁++ numero di coppie di spin adiacenti entrambi

“up”, 𝑁−− numero di coppie di spin adiacenti entrambi “down”, e 𝑁+− numero di coppie di spin adiacenti alterni.

ℋ = −𝐽(𝑁+++ 𝑁−−− 𝑁+−) − 𝐻(𝑁₊− 𝑁−)

Tali numeri non sono tutti fra loro indipendenti. Se disegniamo lungo il reticolo segmenti uscenti da ogni spin “up” lunghi quanto una distanza reticolare in ogni direzione del reticolo stesso, ne disegniamo quattro per ogni spin “up” nel nostro caso di reticolo quadrato. In questo modo però ogni coppia “up”

avrà due segmenti di congiunzione, ogni coppia a segni alterni un solo segmento , mentre ogni coppia

“down” non avrà alcun segmento, quindi

4𝑁+= 2𝑁+++ 𝑁+−

Con un procedimento analogo per gli spin “down”

4𝑁₋= 2𝑁₋₋+ 𝑁₊₋

Inoltre naturalmente

𝑁++ 𝑁−= 𝑁

ℋ = −𝐽(4𝑁++− 8𝑁++ 2𝑁) − 𝐻(2𝑁+− 𝑁)

Presenza di Magnetizzazione Spontanea nel Modello Bidimensionale

Questa dimostrazione è quella data da Griffiths. Definiamo parete del dominio una linea continua che separa gli spin “up” dagli spin “down”. Diamo un verso alla parete definendola ad esempio destrorsa: gli spin “up” staranno sempre sulla sinistra, gli spin “down” a destra. In presenza di ambiguità pieghiamo la parete verso destra. In questo modo le pareti non si incrociano mai e o sono linee chiuse oppure partono e terminano sul bordo. Diciamo che ogni parete avrà lunghezza 𝑏, etichettiamo poi le pareti con la stessa lunghezza con un indice 𝑖. Ogni parete possibile è quindi caratterizzata univocamente da due numeri: 𝑏 ed 𝑖.

NOTA: vengono considerate distinte, e quindi hanno una diversa coppia di indici (𝑏, 𝑖) due pareti che differiscono o per lunghezza, o per forma, o per posizione, o per verso.

Consideriamo ora una condizione al bordo di tutti spin “up”: in questo caso tutte le pareti saranno chiuse.

Questa condizione equivale alla presenza di un piccolissimo campo esterno al bordo, la cui presenza ha un’influenza arbitrariamente debole nel limite di reticolo infinito.

Poiché ogni parete è chiusa essa racchiude un’area, e questa ha il massimo nel caso di dominio a forma di quadrato, quindi

𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑏, 𝑖) ≤𝑏² 16

Troviamo ora un limite sul numero di possibili pareti di lunghezza b. Per invarianza rotazionale prendiamo una prima parete orizzontale in uno qualsiasi degli N siti, abbiamo N possibilità (per essere esatti le pareti non appartenenti al bordo sono 𝑁 − √𝑁 ma prendiamo il termine dominante a grandi N). Poi seguendo il verso della parete, abbiamo tre possibilità per continuarla (su, giù, orizzontale). Comunque scegliamo (anche se abbiamo scelto un modo verticale) al passo successivo avremo di nuovo tre possibilità, e così via.

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Questo è un limite superiore in quanto non tiene conto che la curva deve essere chiusa, né che non deve avere incroci. Chiamando m(b) il numero di pareti di lunghezza b risulta quindi

𝑚(𝑏) ≤ 3^𝑏−1𝑁

Poiché sul bordo ci sono tutti spin “up”, ogni spin “down” è racchiuso da almeno una parete.

Definendo

𝑋(𝑏, 𝑖) = �1 𝑠𝑒 𝑙 𝑝𝑎𝑟𝑒𝑡𝑒 (𝑏, 𝑖)𝑎𝑝𝑝𝑎𝑟𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑓𝑖𝑔𝑢𝑟𝑎𝑧𝑖𝑜𝑛𝑒 0 𝑎𝑙𝑡𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑖

risulta quindi

𝑁₋≤ � 𝐴𝑟𝑒𝑎(𝑏, 𝑖)

𝑏,𝑖 ∈ 𝑐𝑜𝑛𝑓

≤ �𝑏²

16 � 𝑋(𝑏, 𝑖)

𝑚(𝑏) 𝑖=1 𝑏

Quindi prendendo la media sulle configurazioni possibili

〈𝑁₋〉

𝑁 ≤� 𝑏²

16𝑁 � 〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉

𝑚(𝑏) 𝑖=1 𝑏

≤ � 𝑏²

16𝑁 𝑚(𝑏)〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉

𝑏

≤ �𝑏²

16 3^𝑏−1〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉

𝑏

dove

〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉 =∑ 𝑒_{𝑠} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}𝑋(𝑏, 𝑖)

∑ 𝑒_{𝑠} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

dove {𝑠} indica l’insieme delle configurazioni di spin, quindi la somma in alto è in pratica ristretta alle configurazioni s che contengono la parete (𝑏, 𝑖) (la stessa parete non può comparire due volte nella stessa configurazione in base alla definizione data).

Per ogni configurazione su cui si somma al numeratore, c’è anche quella in cui tutti gli spin all’interno della parete (𝑏, 𝑖) cambiano verso, e di conseguenza le pareti interne cambiano verso e la parete (𝑏, 𝑖)

scompare.

Se limitiamo la somma al denominatore soltanto a queste configurazioni sopra citate, otteniamo un limite superiore per 〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉

〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉 =∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

∑ 𝑒{𝑠} ^{−𝛽𝐸(𝑠)} ≤ ∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

∑{𝑠′′}𝑒^{−𝛽𝐸(𝑠)}

Dove {𝑠’} sono le configurazioni che contengono (𝑏, 𝑖) e {𝑠’’} quelle ottenute cambiando tutti i segni all’interno di (𝑏, 𝑖).

Le energie delle due configurazioni (quella normale e quella cambiata di verso) sono legate da 𝐸 = 𝐸^′+ 2𝐽𝑏

quindi

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〈𝑋(𝑏, 𝑖)〉 ≤ ∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

∑_{𝑠′′}𝑒^{−𝛽𝐸(𝑠)} = ∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

∑ 𝑒_{𝑠′} ^−𝛽𝐸^′^(𝑠)= ∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

∑ 𝑒{𝑠′} −𝛽𝐸(𝑠)+2𝛽𝐽𝑏= 𝑒^{−2𝛽𝐽𝑏}∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}

∑ 𝑒_{𝑠′} ^{−𝛽𝐸(𝑠)}= 𝑒^{−2𝛽𝐽𝑏} e pertanto

〈𝑁₋〉

𝑁 ≤�𝑏²

48 3^𝑏𝑒^{−2𝛽𝐽𝑏}

𝑏

dove la somma va effettuata sui 𝑏 pari maggiori di 2 in quanto agli altri 𝑏 non possono corrispondere pareti chiuse.

〈𝑁₋〉

𝑁 ≤�(2𝑎)²

48 3^2𝑎𝑒^{−4𝛽𝐽𝑎}

∞ 𝑎=2

≤ 1

12� 𝑎²9^𝑎𝑒^{−4𝛽𝐽𝑎}

∞ 𝑎=0

= 1

12� 𝑎²�9𝑒^−4𝛽𝐽�^𝑎 =

∞ 𝑎=0

=1

6�𝑎²− 𝑎

2 �9𝑒^−4𝛽𝐽�^𝑎+ 1

12� 𝑎�9𝑒^−4𝛽𝐽�^𝑎

∞ 𝑎=0

=1 6

1

(1 − 9𝑒^−4𝛽𝐽)³+ 1 12

1 (1 − 9𝑒^−4𝛽𝐽)²

=1 4

1 − 3𝑒^−4𝛽𝐽 (1 − 9𝑒^−4𝛽𝐽)³ che per 𝛽 sufficientemente grandi è minore di 1/2.

La soluzione approssimata di Bragg-Williams

Per risolvere esattamente il modello dovremmo considerare la funzione di partizione 𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻) = � 𝑒^−𝛽ℋ

= � 𝑒^{𝛽𝐽(4𝑁}⁺⁺^−8𝑁⁺^{+2𝑁)+𝛽𝐻(2𝑁}⁺^−𝑁)

{𝑁++,𝑁+}

però questa doppia sommatoria è difficile da calcolare. Possiamo semplificarla a una semplice somma facendo alcune ipotesi sui due parametri che vi compaiono.

𝑁+ indica il numero di spin”up”, quindi è un parametro significativo nelle interazioni a lungo raggio, infatti la sua definizione non ha a che fare con le coppie di primi vicini ma solo col numero globale di spin “up”

presente. Possiamo quindi definire un parametro di ordine a lungo raggio 𝑁₊

𝑁 = 1

2(𝐿 + 1) 𝑐𝑜𝑛 − 1 ≤ 𝐿 ≤ 1

Al contrario 𝑁++ indica il numero di coppie di primi vicini, indica quindi in qualche modo un ordine a corto raggio, infatti se un certo spin è “up”, avremo mediamente una frazione di ^𝑁_2𝑁⁺⁺ primi vicini con spin “up”, ognuno di questi ha sempre la stessa frazione di primi vicini “up”, che sono secondi vicini per lo spin originario, che risulterà avere una frazione �^𝑁_2𝑁⁺⁺�² di secondi vicini “up” e così via. Tale numero essendo una potenza di un numero minore di uno è sempre più piccolo e quindi non dà contributo a lungo raggio.

Possiamo definire quindi un parametro a corto raggio 𝑁₊₊

2𝑁 = 1

2(𝜎 + 1) 𝑐𝑜𝑛 − 1 ≤ 𝜎 ≤ 1

(13)

Riscrivendo l’energia con questi due parametri si ottiene

ℋ = −2𝐽𝑁(2𝜎 − 2𝐿 + 1) − 𝐻𝑁𝐿

da cui si vede che 〈𝐿〉 coincide proprio con la magnetizzazione per particella. Entra ora in gioco

l’approssimazione di Bragg-Williams. Essa consiste nel supporre che “non vi è ordine a corto raggio a parte quello che deriva dall’ordine a lungo raggio”, per cui se prendiamo uno spin “up”, la cui probabilità di essere “up” è ^𝑁_𝑁⁺, dei suoi 4 primi vicini la frazione di questi che è “up” è ^𝑁_𝑁⁺ (corrispondente alla frazione di spin a lungo raggio “up”: si suppone cioè una certa omogeneità). Di conseguenza la probabilità di avere una coppia “up” è �^𝑁_𝑁⁺�²ma è anche uguale a ^𝑁_2𝑁⁺⁺ per definizione, si ottiene di conseguenza una relazione fra i due parametri, ovvero

𝜎 =1

2(𝐿 + 1)²− 1 ℋ = −2𝐽𝑁𝐿²− 𝐻𝑁𝐿 La funzione di partizione diventa

𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻) = � 𝑒^−𝛽ℋ

= � 𝑒^{2𝛽𝑁𝐽𝐿}²^{+𝛽𝑁𝐻𝐿}

{𝐿,𝜎}

Ma ora la somma su 𝜎 è facile da fare in quanto la quantità da sommare non dipende da 𝜎, ed equivale quindi a un fattore moltiplicativo pari al numero di modi, tenendo fisso 𝐿, di distribuire gli spin, cioè i modi, dati N elementi, di sceglierne 𝑁+.

𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻) = � 𝑁!

�12𝑁(𝐿 + 1)�!�1

2 𝑁(1 − 𝐿)� !

𝑒^{2𝛽𝑁𝐽𝐿}²^{+𝛽𝑁𝐻𝐿}

{𝐿}

Nel limite termodinamico conta solo il termine più grande della sommatoria, troviamolo 𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻)

≅ 𝑒�𝑁+12�ln (𝑁)−𝑁−�1

2𝑁(𝐿+1)+1 2� ln�1

2𝑁(𝐿+1)�+�1

2𝑁(𝐿−1)+1 2� ln�1

2𝑁(1−𝐿)�−�1

2𝑁(𝐿−1)�+2𝛽𝑁𝐽𝐿²+𝛽𝑁𝐻𝐿

≅ 𝑒(𝑁)ln (𝑁)−𝑁−�12𝑁(𝐿+1)�ln�1

2𝑁(𝐿+1)�+�1

2𝑁(𝐿−1)� ln�1

2𝑁(1−𝐿)�−�1

2𝑁(𝐿−1)�+2𝛽𝑁𝐽𝐿²+𝛽𝑁𝐻𝐿

nel limite termodinamico. Calcoliamo la derivata

𝜕

𝜕𝐿 ln�𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻)� = 4𝑁𝛽𝐽𝐿 + 𝑁𝛽𝐻 −𝑁 2 ln �

1 + 𝐿 1 − 𝐿� = 0 Quindi 𝐿 è la radice dell’equazione

8𝛽𝐽𝐿� + 2𝛽𝐻 = ln �1 + 𝐿�

1 − 𝐿�� che equivale a

(14)

𝐿� = 𝑇𝑎𝑛ℎ �𝐻 𝑘𝑇 +

4𝐽𝐿�

𝑘𝑇 � L’energia libera è allora

𝐹(𝑁, 𝑇, 𝐻) = −𝑘𝑇𝑙𝑛�𝑍(𝑁, 𝑇, 𝐻)� = 2𝑁𝐽𝐿�²+1

2 𝑁𝑘𝑇𝑙𝑛 � 1 − 𝐿�²

4 � Consideriamo il caso senza campo magnetico esterno:

𝐿� = 𝑇𝑎𝑛ℎ �4𝐽𝐿�

𝑘𝑇 �

Soluzione Grafica dell’equazione per L

che si può risolvere graficamente, con risultato

𝐿� = 0 𝑝𝑒𝑟 4𝐽 𝑘𝑇 < 1 oppure due soluzioni opposte di segno di cui la positiva è tale che

0 < 𝐿� ≤ 1 𝑝𝑒𝑟 4𝐽 𝑘𝑇 > 1 Questo definisce chiaramente una temperatura critica

𝑇_𝑐 =4𝐽 𝑘 che divide lo spazio delle configurazioni in due regioni

𝐿� = � 0 𝑝𝑒𝑟 𝑇 > 𝑇_𝑐

±𝐿� 𝑝𝑒𝑟 𝑇 < 𝑇_𝑐

In generale 𝐿� deve essere ricavata numericamente, ma vicino al punto critico e in un intorno di 𝑇 = 0 possiamo ricavarlo con uno sviluppo di Taylor

(15)

A 𝑇 = 0

𝐿� = 𝑇𝑎𝑛ℎ �𝐿�𝑇_𝑐 𝑇 � =

𝑒^𝐿�𝑇^𝑇^𝑐− 𝑒^{−𝐿�𝑇}^𝑇^𝑐

𝑒^𝐿�𝑇^𝑇^𝑐+ 𝑒^{−𝐿�𝑇}^𝑇^𝑐 =1 − 𝑒^{−2𝐿�𝑇}^𝑇^𝑐

1 + 𝑒^{−2𝐿�𝑇}^𝑇^𝑐 ≅ �1 − 𝑒^{−2𝐿�𝑇}^𝑇^𝑐�² ≅ 1 − 2𝑒^{−2𝐿�𝑇}^𝑇^𝑐 e poiché 𝐿� ≅ 1 possiamo sostituirlo nel membro a destra ottenendo

𝐿� ≅ 1 − 2𝑒^−2𝑇^𝑇^𝑐 Invece nel punto critico:

𝑇_𝑐 𝑇 ≅ 1 −

𝑇 − 𝑇_𝑐

𝑇_𝑐 = 2 − 𝑇 𝑇_𝑐

𝐿� = 𝑇𝑎𝑛ℎ �𝐿�𝑇_𝑐

𝑇 � ≅ 𝑇𝑎𝑛ℎ�𝐿� + 𝐿� �1 − 𝑇

𝑇_𝑐�� ≅ 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝐿�) +𝐿� �1 − 𝑇𝑇𝑐� 𝐶𝑜𝑠ℎ²(𝐿�) −

𝐿�²�1 − 𝑇𝑇𝑐�²

𝐶𝑜𝑠ℎ²(𝐿�) 𝑇𝑎𝑛ℎ(𝐿�)

𝐿� ≅ 𝐿� −𝐿�³

3 + 𝐿� �1 − 𝑇𝑇𝑐� (1 − 𝐿�²) − 𝐿�²�1 − 𝑇

𝑇𝑐�²𝐿� + 𝑜(𝐿�⁴) = 3 �1 − 𝑇𝑇_𝑐�

1 + 3 �1 − 𝑇𝑇_𝑐� + 3 �1 − 𝑇𝑇_𝑐�²≅ 3 �1 − 𝑇 𝑇𝑐�

𝐿� ≅ �3 �1 −𝑇 𝑇_𝑐� e i potenziali termodinamici risultano:

1

𝑁 𝐹(𝑇, 𝐻 = 0) = �

0 𝑇 > 𝑇_𝑐 𝑘𝑇𝑐,𝐻=0

2 𝐿�²+𝑘𝑇 2 ln �

1 − 𝐿�²

4 � 𝑇 < 𝑇^𝑐 1

𝑁 𝑈(𝑁, 𝑇, 𝐻 = 0) ≅ �0 𝑇 > 𝑇_𝑐

−𝑘𝑇_𝑐,𝐻=0

2 𝐿�² 𝑇 < 𝑇_𝑐

𝐶

𝑁𝑘 (𝑇, 𝐻 = 0) ≅

⎩⎪

⎨

⎪⎧ 0 𝑇 > 𝑇^𝑐 4𝐽

𝐿�²

𝑇 (1 − 𝐿�²)

𝑇𝑇_𝑐− (1 − 𝐿�²) 𝑇 < 𝑇_𝑐

1

𝑁 𝑀(𝑁, 𝑇, 𝐻 = 0) ≅ �0 𝑇 > 𝑇_𝑐 𝐿� 𝑇 < 𝑇_𝑐

(16)

Magnetizzazione spontanea

E quindi

𝐶

𝑁𝑘(𝑇 = 𝑇_𝑐, 𝐻 = 0) =3 2

Calore Specifico

mentre è nullo per 𝑇 > 𝑇𝑐. Questa è una conseguenza del fatto che entrambi i parametri d’ordine in tale regione si annullano, per effetto dell’approssimazione utilizzata, che trascura qualsiasi disomogeneità locale nell’ordine a corto raggio. Si può pensare infatti che le caratteristiche del reticolo dipendano sia dall’ordine a corto raggio originato da quello a lungo raggio, sia dalle sue variazioni locali. Trascurando tali variazioni, per temperature inferiori alla temperatura critica si continua a considerare comunque la parte degli effetti dell’ordine a corto raggio originata da quello a lungo raggio, essendo il parametro a lungo raggio non nullo. Al contrario al di sopra della temperatura critica, dove il parametro a lungo raggio si annulla, le caratteristiche del reticolo vengono a dipendere solo dalla variazioni locali dell’ordine a corto raggio, che in tale approssimazione assumiamo nulle.

(17)

L’approssimazione di Bragg-Williams in pratica assume che la lunghezza di correlazione, cioè la dimensione media di un blocco di cellette adiacenti con spin allineati nello stesso verso, sia piccola, e dipenda dal rapporto di spin “up” rispetto al totale. Tale approssimazione può essere accettabile lontano dal punto critico, ma non certamente vicino, infatti si sa che al punto critico la lunghezza di correlazione diverge.

Possiamo quindi ipotizzare che la soluzione approssimata non si discosterà molto da quella esatta per temperature lontane dalla temperatura critica.

Tale approssimazione non è quindi utile per trattare il fenomeno vicino al punto critico, ed è una

approssimazione troppo brutale anche per temperature alte (è in pratica un’approssimazione di ordine 0:

non prevede nessun andamento, stima solo che il calore specifico sarà molto piccolo a grandi temperature), è però utile per capire l’influenza dei due parametri d’ordine, stimare l’ordine di grandezza della

temperatura critica ed osservare che il materiale presenta effettivamente due fasi diverse.

La soluzione approssimata di Bethe-Peierls

L’approssimazione di Bethe-Peierls è un’approssimazione più accurata, che tiene conto di una qualche correlazione a corto raggio. Consideriamo un sottoreticolo formato da un sito e dai suoi primi vicini.

Supponiamo che il resto del reticolo influenzi questo sotto-sistema per mezzo di un singolo parametro, indipendente dalla posizione (si assume invarianza per traslazioni poiché nel limite termodinamico il sistema ha infiniti siti reticolari). Si considera solo il caso 𝐻 = 0.

Sia 𝑃(𝑠, 𝑛) la probabilità che il sito centrale abbia spin s e n dei suoi primi vicini abbiano spin “up”. Con questa notazione 𝑃(+1, 𝑛) si riferisce a configurazioni in cui ci sono n coppie ++ e 4-n coppie +-, mentre 𝑃(−1, 𝑛) si riferisce a configurazioni con 4-n coppie -- e n coppie +-. Allora assumiamo che

𝑃(+1, 𝑛) =�_𝑛⁴�𝑒^{𝛽𝐽(2𝑛−4)}𝑧^𝑛 𝑞

𝑃(−1, 𝑛) =�_𝑛⁴�𝑒^{𝛽𝐽(4−2𝑛)}𝑧^𝑛 𝑞

dove 𝑞 è un fattore di normalizzazione e 𝑧 è il parametro attraverso cui descriviamo l’influenza del resto del reticolo sul sottosistema.

𝑞 = � ��4

𝑛� 𝑒^{𝛽𝐽(2𝑛−4)}𝑧^𝑛+ �4

𝑛� 𝑒^{𝛽𝐽(4−2𝑛)}𝑧^𝑛�

4 𝑛=0

= � �4

𝑛��𝑒^−4𝛽𝐽�𝑧𝑒^2𝛽𝐽�^𝑛+ 𝑒^4𝛽𝐽�𝑧𝑒^−2𝛽𝐽�^𝑛�

4 𝑛=0

= 𝑒^−4𝛽𝐽� �4

𝑛��𝑧𝑒^2𝛽𝐽�^𝑛

4 𝑛=0

+ 𝑒^4𝛽𝐽� �4

𝑛��𝑧𝑒^−2𝛽𝐽�^𝑛

4 𝑛=0

= 𝑒^−4𝛽𝐽�1 + 𝑧𝑒^2𝛽𝐽�⁴+ 𝑒^4𝛽𝐽�1 + 𝑧𝑒^−2𝛽𝐽�⁴

= �𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�⁴+ �𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�⁴

dove la somma si esegue semplicemente notando che tale somma è lo sviluppo della potenza 4° di 1 più la base della potenza ennesima sommata.

(18)

Il numero di spin “up” sarà uguale al numero di siti moltiplicato per la probabilità totale di avere spin “up”

nel sito centrale 𝑁+

𝑁 = 1

2(𝐿 + 1) = � 𝑃(+1, 𝑛)

4 𝑛=0

= � �⁴_𝑛�𝑒^{𝛽𝐽(2𝑛−4)}𝑧^𝑛

(𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴

4 𝑛=0

= 𝑒^−4𝛽𝐽∑⁴_𝑛=0�_𝑛⁴��𝑧𝑒^2𝛽𝐽�^𝑛

(𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴= �𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�⁴

Il numero totale di coppie “up” sarà pari al numero totale di coppie presenti nel reticolo (4𝑁) moltiplicato per il numero medio di coppie vicine per sito, il tutto diviso due perché altrimenti contiamo la stessa coppia due volte, una per ogni sito di appartenenza degli spin che la compongono.

𝑁₊₊

2𝑁 = 1

2(𝜎 + 1) =1

4� 𝑛𝑃(+1, 𝑛)

4 𝑛=0

=1

4� 𝑛 �_𝑛⁴�𝑒^{𝛽𝐽(2𝑛−4)}𝑧^𝑛

4 𝑛=0

=

=1 4

𝑒^−4𝛽𝐽∑⁴_𝑛=0𝑛�⁴_𝑛��𝑧𝑒^2𝛽𝐽�^𝑛

(𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴=1 4

4𝑧𝑒^2𝛽𝐽𝑒^−4𝛽𝐽∑³_𝑛=0�³_𝑛��𝑧𝑒^2𝛽𝐽�^𝑛 (𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴

= 𝑧𝑒^𝛽𝐽�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�³ (𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴

Abbiamo quindi ottenuto due espressioni per L e 𝜎 in funzione di z. Andando a sostituire tali espressioni nell’Hamiltoniana otteniamo l’energia in funzione di 𝑧. Dopodichè possiamo scrivere la funzione di partizione e procedere col solito metodo, ma è preferibile notare l’esistenza di una strada alternativa. Lo stato del sistema è dato dallo stato di minima energia libera, che corrisponde a un valore di 𝑧 specifico. Tale valore è possibile trovarlo in un altro modo: per consistenza delle ipotesi scritte finora.

La probabilità di trovare uno spin “up” al centro è, come abbiamo detto

� 𝑃(+1, 𝑛)

4

𝑛=0

La probabilità di trovare uno spin “up” fra i primi vicini di un sottosistema è un quarto del numero medio di primi vicini (escluso cioè il sito centrale!) che ha spin “up”, cioè

1

4� 𝑛[𝑃(+1, 𝑛) + 𝑃(−1, 𝑛)]

4

𝑛=0

Poiché ogni primo vicino è anche un centro di un altro sottosistema e c’è invarianza traslazionale, tali probabilità devono essere uguali

� 𝑃(+1, 𝑛)

4 𝑛=0

=1

4� 𝑛[𝑃(+1, 𝑛) + 𝑃(−1, 𝑛)]

4

𝑛=0

�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�⁴

(𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴=𝑧𝑒^𝛽𝐽�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�³+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�³ (𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴

(19)

�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�⁴= 𝑧𝑒^𝛽𝐽�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�³+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�³

𝑧 = �𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�

3

= �1 + 𝑧𝑒^2𝛽𝐽 𝑧 + 𝑒^2𝛽𝐽 �

3

E otteniamo così i valori dei parametri semplificati 1

2(𝐿 + 1) = �𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�⁴

𝐿 =�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�⁴− �𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�⁴

(𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴ =�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�⁴− 1

�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�⁴+ 1

=𝑧⁴³− 1 𝑧⁴³+ 1

1

2(𝜎 + 1) = 𝑧𝑒^𝛽𝐽�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�³ (𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴

𝜎 = 2𝑧𝑒^𝛽𝐽�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽�³

(𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽)⁴+ (𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽)⁴− 1 =

2𝑧𝑒^𝛽𝐽

𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�

3

�𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�⁴+ 1

− 1

= 2𝑧²

(1 + 𝑧𝑒^−2𝛽𝐽) �1 + 𝑧⁴³�− 1 L’energia per sito è

1

𝑁 𝑈(𝑁, 𝑇, 𝐻 = 0) = −2𝐽(2𝜎 − 2𝐿 + 1)

= −2𝐽 � 4𝑧²

(1 + 𝑧𝑒^−2𝛽𝐽) �1 + 𝑧⁴³�− 2𝑧⁴³− 1 𝑧⁴³+ 1− 1�

Si può notare che

𝑍 = 1 è sempre soluzione, e corrisponde a 𝑀 = 0, ed equivale alla soluzione 𝐿 = 0 del paragrafo precedente ed è valida a 𝑇 > 𝑇𝑐

Se 𝑧 è una soluzione, anche il suo inverso lo è. Se 𝐿 è la magnetizzazione con soluzione 𝑧, 1/𝑧 dà

magnetizzazione – 𝐿, cioè di verso opposto, per tale motivo possiamo considerare solo le soluzioni 𝑧 > 1.

Tali soluzioni sono quelle valide a 𝑇 < 𝑇𝑐, come nel paragrafo precedente.

Per determinare 𝑇𝑐 dobbiamo vedere qual è la condizione per cui l’equazione per 𝑧 ha tre soluzioni. 𝑇𝑐

corrisponde al punto critico, in cui l’equazione passa da avere 1 sola soluzione ad averne tre:

𝑧 = �𝑒^−𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^𝛽𝐽 𝑒^𝛽𝐽+ 𝑧𝑒^−𝛽𝐽�

3

(20)

Soluzione grafica dell’equazione

Il membro a destra ha sempre un flesso obliquo in 𝑧 = 1, allora se in 𝑧 = 1 la pendenza del membro destro è maggiore di quella del membro sinistro (che è 1) avremo tre soluzioni, se è minore una sola soluzione. 𝑇𝑐

è quindi la temperatura per cui la pendenza del membro destro è uguale a quella del membro sinistro, cioè 1. Derivando rispetto a 𝑧 si ottiene

1 = 3 𝑒^4𝛽𝐽− 1 (𝑒^2𝛽𝐽+ 1)² 𝑒^4𝛽𝐽+ 2𝑒^2𝛽𝐽+ 1 = 3𝑒^4𝛽𝐽− 3

𝑒^4𝛽𝐽− 𝑒^2𝛽𝐽− 2 = �𝑒^2𝛽𝐽− 2��𝑒^2𝛽𝐽+ 1� = 0 𝑒^2𝛽𝐽 = 2

𝑇𝑐 = 2J 𝑘 ln (2) Il calore specifico è allora

𝐶

𝑁𝑘(𝑇, 𝐻 = 0) = − 4𝐽 𝑁𝑘 �

𝑑𝜎 𝑑𝑇 −

𝑑𝐿 𝑑𝑇�

che, al contrario di quello ottenuto con l’approssimazione di Bragg-Williams, non è nullo per 𝑇 > 𝑇𝑐 e vale 𝐶

𝑁𝑘(𝑇, 𝐻 = 0) = 2 𝑁 �

𝛽𝐽 𝐶𝑜𝑠ℎ(𝛽𝐽)�

2

𝑇 > 𝑇_𝑐

(21)

Magnetizzazione nell’approssimazione Bethe-Peierls (viola) e Bragg-Williams (blu) a confronto

Oltre al fatto che risulta che la temperatura critica sia inferiore, possiamo vedere come questa

approssimazione sia migliore dal fatto che prevede un calore specifico non nullo per temperature superiori a quella critica. Ciò deriva dal fatto che questo modello dà una migliore stima della distanza di correlazione.

Questo è reso possibile dal parametro 𝑧 inserito nel modello. Inoltre possiamo notare che il calore specifico ha in questo modello un picco molto più pronunciato che nella precedente approssimazione. Questo ci può far sospettare che la soluzione esatta contenga una divergenza del calore specifico nel punto critico:

vedremo infatti che è proprio così.

Calore Specifico nell’approssimazione di Bethe-Peierls (viola) e Bragg-Williams (Blu)

(22)

La soluzione Esatta di Onsager

La soluzione esatta di Onsager si trova imponendo condizioni cicliche al contorno, trasformando cioè la topologia del problema in quella di un toro.

L’energia verrà scritta come somma di tre parti, quella di interazione col campo, quella di interazione fra elementi della stessa riga (che si ottiene nello stesso modo del modello unidimensionale) e quella di interazione fra le righe.

Saltando tutti i passaggi matematici, vado solo a scrivere i risultati per poter fare un confronto fra le soluzioni approssimate e quella esatta, per poi poter commentare le differenze.

𝐹(𝑁, 𝑇, 𝐻 = 0) = −𝑁𝑙𝑛�2𝐶𝑜𝑠ℎ(2𝛽𝐽)� − 𝑁

2𝜋� 𝑑𝑥 ln �1 + �1 − 𝑘²𝐶𝑜𝑠²(𝑥)

2 �

𝜋 0

Dove

𝑘 =2 𝑆𝑒𝑛ℎ(2𝛽𝐽) 𝐶𝑜𝑠ℎ²(2𝛽𝐽)

𝑈(𝑁, 𝑇, 𝐻 = 0) = −𝑁𝐽𝐶𝑜𝑠ℎ(2𝛽𝐽)

𝑆𝑒𝑛ℎ(2𝛽𝐽)�1 +2

𝜋(−1 + 2𝑇𝑎𝑛ℎ(2𝛽𝐽)) � 𝑑𝑥

�1 − 𝑘²𝑆𝑖𝑛²(𝑥)

𝜋2

0 �

𝐶

𝑁𝑘(𝑇, 𝐻 = 0) =4 𝜋 �𝛽𝐽

𝐶𝑜𝑠ℎ(2𝛽𝐽) 𝑆𝑒𝑛ℎ(2𝛽𝐽)�

2

�� 𝑑𝑥

�1 − 𝑘²𝑆𝑖𝑛²(𝑥)

𝜋2

0 − � 𝑑𝑥 �1 − 𝑘²𝑆𝑖𝑛²(𝑥)

𝜋2 0

− �1 − 𝑇𝑎𝑛ℎ(2𝛽𝐽)� �𝜋

2 +(−1 + 2𝑇𝑎𝑛ℎ(2𝛽𝐽)) � 𝑑𝑥

�1 − 𝑘²𝑆𝑖𝑛²(𝑥)

𝜋2

0 ��

Gli integrali coinvolti hanno una singolarità in 𝑘 = 1, tale singolarità darà luogo alla transizione di fase e definirà la temperatura critica:

2𝑇𝑎𝑛ℎ � 2𝐽

𝑘_𝐵𝑇_𝑐� = 1

In vicinanza della temperatura critica il comportamento del calore specifico è logaritmico:

𝐶

𝑁𝑘(𝑇, 𝐻 = 0) ≅2 𝜋 �𝛽𝐽

𝐶𝑜𝑠ℎ(2𝛽𝐽) 𝑆𝑒𝑛ℎ(2𝛽𝐽)�

2

�−𝑙𝑛 �1 −𝑇

𝑇𝑐� + ln �𝑘_𝐵𝑇_𝑐

2𝐽 � −�1 +𝜋 4��

(23)

Calore Specifico nella soluzione di Onsager (marrone), di Bethe-Peierls (viola) e Bragg-Williams (blu)

La magnetizzazione spontanea è invece

𝑀(𝑁, 𝑇, 𝐻 = 0) = �

0 𝑇 > 𝑇_𝑐

𝑁 �1 − 1

𝑆𝑒𝑛ℎ⁴(2𝛽𝐽)�

18

𝑇 < 𝑇_𝑐

Magnetizzazione nella soluzione di Onsager (marrone), di Bethe-Peierls (viola) e Bragg-Williams (blu)

Come prima osservazione notiamo che è effettivamente presente una discontinuità nel calore specifico alla temperatura critica: questa è una importante conferma del fatto che le transizioni di fase sono originate dal limite termodinamico; la soluzione di Onsager è stata infatti la prima a confermare questa ipotesi fatta per spiegare come funzioni analitiche dei loro argomenti potessero dare origine a punti critici.

La divergenza nel punto critico è dovuta al fatto che in tale punto la lunghezza di correlazione diverge, e perciò possono comparire blocchi di spin allineati di dimensioni arbitrariamente grandi. Attorno al punto critico entrambe le approssimazioni non funzionano bene, mentre funzionano bene in un intorno di 𝑇 = 0 e per temperature molto superiori a quella critica. Si vede comunque che fra le due approssimazioni effettivamente quella di Bethe-Peierls funziona meglio, valendo in una regione più ampia e discostandosi meno da quella esatta di quanto faccia quella di Bragg-Williams.

(24)

24 Bibliografia

Bibliografia

• Kerson Huang, Meccanica Statistica, Zanichelli, 1997

• Shang-Keng Ma, Modern Theory of Critical Phenomena, Westview Press, 1976

• H. Eugene Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena, Oxford Science publications, 1971

• Grafici disegnati con l’ausilio del software Wolfram Mathematica 7