Soluzioni
1.
CE x -2 opp. x 0
0 x 2 - x
0 4 x 2 - x 2 1
x ) 1 - x ( 2 1
- 2 22
SGN Positiva per x > 1 ; nulla per x = 1
LIM per x → ±∞ f ( x ) → 0± ; f ( 0 ) = f ( -2 ) = - π/2
DRV ( x 2) x 8 x
) 2 - x 2 - x ( - 2 ) x ( '
f 2 4
2
x = 0 , x = -2 punti a tangente verticale f’ > 0 per 0 < x < 2.
2.
y = 0 soluzione costante
Separando le variabili e integrando:
y (1dy y2) dxx ↔
x
dx dy y
1 y - y 1
2 ↔
k log x log 1 y
log 2y
( k > 0 ) ↔ k x
1 y
y
2
y =
x k - 1 k x
2
2
La condizione iniziale è verificata per k = 1 / √ 2 : y = x - 2
x
2 per - 2 x 2. 3.
Per x → π / 4 f ( x ) ≈ 2(1 tgx ) 1
.
Poiché tg x = 1 + 2 ( x – π/4 ) + o ( x - π/4 ), la funzione è un infinito di ordine 1 e dunque l’integrale non esiste.
Per calcolare esplicitamente l’integrale, si pone tg x = t , ottenendo : 1
0 2 2 dt
) t 1 ( ) t 1 (
t .
Successivamente si pone s = t2 : 1
0 1
0
ds s 1 1 s - 1 1 4 1 ) s 1 ( ) s 1 ( ds 2
1 =
1
s 0
- 1
s log1 4
1
L’integrale non esiste finito.
4.
n e 1 n
e
n n x
2 n x
; n n x ex n
e
La serie converge per x < 0 , diverge per x > 0.
Per x = 0 , il termine generale della serie è
n 1 1 n
n
2
; la serie diverge.
