Problema 1: Stabilire se la seguente funzione risulta differenziabile in (0, 1) f (x, y) = 1 + p

Analisi Matematica II

Corso di Laurea in Scienze Fisiche Prova finale del 28/9/2016

A.A. 2015/2016

Problema 1: Stabilire se la seguente funzione risulta differenziabile in (0, 1) f (x, y) = 1 + p

x(y − 1) ²

Calcolare, se esiste, la derivata direzionale di f nel punto (0, 1) lungo la direzione del generico versore v = (v 1 , v 2 ).

Problema 2: Determinare e studiare la natura dei punti critici del seguente campo scalare f (x, y) = x ³ + y ³ + 2xyz + z ²

Esistono punti di massimo assoluto di f in R ³ .

Problema 3: Calcolare

Z Z

D

(x + y) ² (x + y) + 1 dxdy dove D = {(x, y) ∈ R ² : |x| + |y| ≤ 2}

Problema 4: Studiare qualitativamente il seguente problema di Cauchy ( y ⁰ = t ² y(y − 2)

y(0) = 1 .

Verificare i risultati ottenuti risolvendo esplicitamente il problema.

Problema 5: Classificare le singolarit` a della seguente funzione olomorfa f (z) = e

2z − 1 , e calcolare

Z

γ

f (z)dz

dove γ ` e la circonferenza di raggio 2 e centro nell’origine del piano complesso percorsa in senso antiorario.

Problema 6: Sia S la superficie determinata dalla parametrizzazione



 

 

x = u ² + v ² y = u ² − v ² z = 2uv

dove u ² + v ² ≤ 1. Dimostrare che S ` e una superficie regolare, scriverla in forma

cartesiana e calcolarne l’area.