Distribuzioni di quark nei nucleoni Scoperta delle correnti neutre (2)Le distribuzioni dei quark "neutrinografia&#34

prof. Francesco Ragusa Università di Milano

Interazioni Elettrodeboli

anno accademico 2020-2021

Lezione n. 21

15.12.2020

Distribuzioni di quark nei nucleoni Scoperta delle correnti neutre

Le distribuzioni dei quark

"neutrinografia"

y Le sezioni d'urto di neutrini e di anti-

neutrini su neutroni e su protoni permettono di separare i le distribuzioni dei quark up e down

y Per misurare le sezioni d'urto su protone e neutrone occorre utilizzare bersagli di idrogeno e di deuterio

y Purtroppo con questi materiali la massa del bersaglio è piccola

y Esperimenti condotti tra

la metà anni ’70 e la metà anni '80 y La statistica degli eventi fu limitata

(circa 1000 eventi per ogni esperimento) y Le sezioni d'urto sono quindi integrate

sulla variabile y

y Le misure più accurate sono state fatte dagli esperimenti

y BEBC

Le distribuzioni u(x) e d(x)

y La sezione d'urto neutrino – protone può essere integrata rispetto a y

y Per le 4 sezioni d'urto si ottiene

y Si possono formare le combinazioni (per semplicità non si è indicata esplicitamente la dipendenza da x)

y Per il protone

y Per il neutrone

La distribuzione u(x)

y Possiamo a questo punto ricavare la dis- tribuzione u_v(x) per il quark di valenza up

CDHS BEBC

xu_v(x)

La distribuzione d(x)

y Analogamente per la distribuzione del quark d

xd_v(x)

CDHS BEBC

La scoperta delle correnti neutre

y La Teoria di Fermi ha consentito di interpretare una enorme quantità di fenomeni ma rimane il problema che è una teoria non rinormalizzabile

y Abbiamo visto che la Teoria di Fermi prevede che le sezioni d'urto dei processi di corrente carica dipendano linearmente dalla energia

y Evidentemente questo andamento non è accettabile perché diverge

y Abbiamo visto che l'introduzione di un bosone vettoriale come mediatore della forza rimuove il problema perché conduce ad una sezione d'urto asintotica non divergente (vedi diapositiva )

y Questa circostanza potrebbe far pensare che si possa formulare la teoria in modo che essa sia rinormalizzabile

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La scoperta delle correnti neutre

y Nel 1961 Glashow propose un modello per le interazioni deboli basato sul gruppo di gauge SU(2)×U(1)

y Nel 1967 Weinberg e Salam introdussero il meccanismo della rottura spontanea della simmetria per introdurre la massa

y Nel 1971 't Hooft dimostrò che la teoria era rinormalizzabile y Il modello proposto prevedeva le correnti neutre

y Tuttavia, nel corso degli anni 60, furono cercati, senza successo, decadimenti mediati da corrente neutra, come ad esempio

y La corrente adronica genera un transizione da uno stato neutro (K⁰) ad un altro stato neutro (il vuoto): ΔQ = 0

y L’assenza del decadimento faceva ritenere che le correnti neutre o non esistessero o che avessero una intensità estremamente bassa

y Nel 1970 Glashow, Iliopulos, Maiani: meccanismo GIM per sopprimere le correnti neutre con cambiamento di flavour: FCNC

y Le correnti neutre conservano il flavor dei fermioni

μ⁺

Z⁰

d s

μ⁻

La scoperta delle correnti neutre

y Alla metà degli anni 60 A. Lagarrigue, A. Rousset e P. Musset prepararono la proposta per la costruzione di una camera a bolle per la ricerca del

Bosone Vettoriale Intermedio W mediante fasci di neutrini

y La collaborazione era formata dai laboratori: Aachen, Brussels, CERN École Polytechnique Parigi, Londra, Milano, Orsay, Oxford

y Quando il rivelatore entrò in funzione nel 1971, le priorità di ricerca erano y Ricerca del BVI

y Ricerca di leptoni pesanti

y Deep inelasting scattering e violazione dello scaling

y L'interesse da parte dei fisici teorici al modello di Glashow, Weinberg, Salam aumentò notevolmente nel 1971 dopo il lavoro di 't Hooft sulla rinormalizzabilità della teoria

La scoperta delle correnti neutre

y Discussioni fra P. Musset, B. Zumino, P. Prentki e M.K. Gaillard attirarono l'attenzione degli sperimentali sulla ricerca delle correnti neutre

y Preferita dai teorici

y Preferita dagli sperimentali

y Il primo processo aveva il vantaggio della estrema chiarezza e basso fondo ma la sua sezione d'urto era molto piccola

y Il secondo aveva il vantaggio di una "alta" sezione d'urto ma fondo adronico e difficoltà di calcolo teorico

In tutti e due i processi non c’è il muone nello stato finale

E’ una corrente neutra

La scoperta delle correnti neutre

y Furono osservate diverse fotografie di eventi senza muone

y Per potere affermare che si trattava di correnti neutre occorreva calcolare le probabilità di eventi di fondo:

y Neutroni di alta energia che interagiscono nella camera a bolle

y Produzione di muoni molto lenti che non si vedono nella camera

y Muoni cosmici che fanno una interazione profondamente anelastica

y Il problema principale era il fondo di neutroni, studiato mediante gli "eventi

associati" • L'idea era di dimostrare che

• Le interazioni di neutrini sono distribuite uniformemente nel rivelatore

• Le interazioni di neutroni hanno un andamento esponenziale

La distribuzione spaziale degli eventi

y Sappiamo che il numero degli eventi prodotti in uno spessore dz di materiale è

y Questa relazione è valida quando lo spessore è piccolo, cioè quando dn << n_o

y Se il bersaglio non è sottile

y La diminuzione del numero n di particelle del fascio è

y Da cui

beam

beam

La scoperta delle correnti neutre

La scoperta delle correnti neutre

y Mentre ferveva l'attività per

valutare il background negli eventi di corrente neutra adronici fu trovato un evento candidato di interazione neutrino-elettrone mediato da corrente neutra

y Il fondo per eventi di questo tipo era il decadimento β inverso

y Quindi il problema era il fondo di ν_e nel fascio di ν_μ

y Vedi:

y Galison, "How the first neutral current

experiments ended", Review of Modern Physics 55, p. 477 (1983)

La scoperta delle correnti neutre

Interazioni di corrente neutra

y Ricaviamo adesso le formule per le sezioni d’urto di neutrini (e antineutrini) in processi di corrente neutra su nucleone

y Vogliamo sviluppare le formule nell’ambito del modello a partoni y Ci servono le sezioni d’urto per interazioni di neutrini su quark

y Una formulazione analoga a quella delle correnti cariche ci porta a ipotizzare un’ampiezza di scattering proporzionale al prodotto di due correnti

y Il parametro ρ tiene conto di un’eventuale differenza di

intensità fra la corrente carica (G) e la corrente neutra (ρG)

y Le correnti cariche hanno mostrato che il neutrino è sempre left-handed e quindi assumiamo che la sua corrente sia uguale nei due casi

y Per la corrente dei quark si assumono sempre gli accoppiamenti vettoriali (V,A) ma con coefficienti c_v e c_a arbitrari da determinare

k ν_μ ν_μ k'

p p'

q q

Z^

Normalizzazione c_v e c_a

Interazioni di corrente neutra

y L’arbitrarietà di c_v e c_a (che devono essere determinati dall’esperimento)

significa che la corrente neutra può contenere una componente LH e una RH y Infatti troviamo g_R e g_L tali che

y Sviluppando

y Infine

y Pertanto l’elemento di matrice diventa

y La somma dell’ampiezza di scattering di un neutrino y Su un quark Right Handed q con intensità g

Interazione neutrino quark (NC)

y Le sezioni d'urto per l’interazione neutrino-quark tramite corrente neutra possono essere scritte utilizzando i risultati ottenuti per le correnti cariche y Dal momento che la corrente neutra è una sovrapposizione di una corrente

V−A e di una corrente V+A per ogni sezione d'urto occorre considerare due contributi

y Abbiamo inoltre visto che la dipendenza della sezione d’urto dall’angolo era determinata dalle elicità dei fermioni e dal momento angolare totale

y La sezione d’urto è isotropa quando J_z = 0 y Nei casi ν_μ q_L e ν_μ q_R

y La sezione d’urto dipende da (1+cosθ)² per J_z = ±1 y Nei casi ν_μ q_R e ν_μ q_L

y Per le interazioni di antineutrini valgono considerazioni analoghe y Infine avevamo utilizzato la relazione

J_z = 0 Isotropa

J_z = −1 o J_z = −1 ad_−1,−1a1+cos θ J_z = 1 o J_z = 1

ad_{1, 1}a1+cos θ

Sezioni d'urto neutrino quark (NC)

k ν_μ ν_μ k'

p p'

q q

Z^

q_L

ν_μ θ

ν_μ

q_L

J_z = 0 Isotropa

J_z = 1 o J_z 

M ad_a1+cos θ σ 0 per θ π q_R

ν_μ θ

ν_μ q_R

J_z = 0 Isotropa

k k'

ν_μ ν_μ

p p'

Z^

q q

J_z = 1 o J_z 

Mad_a1+cosθ σ 0 per θ π q_R

ν_μ θ

ν_μ q_R

q_L

ν_μ θ

ν_μ

q

Sezioni d'urto antineutrino quark (NC)

J_z =1 o J_z 

M ad_a1+cosθ

σ 0 per θ π

k k'

ν_μ

p p'

q q

Z^

ν_μ

q_L θ q_L

ν_μ ν_μ

q_R

θ qR

ν_μ

ν_μ

J_z = 0 Isotropa

J_z =1 o J_z 

M ad_a1+cosθ

σ 0 per θ π J_z = 0 Isotropa k ν_μ k'

p p'

Z^

ν_μ

q q

ν_μ θ

ν_μ

q_R

q_R

ν_μ ν_μθ q_L

q_L

Riepilogo sezioni d'urto (NC)

k ν_μ ν_μ k'

p p'

q q

Z^

k k'

ν_μ ν_μ

p p'

Z^

q q

k ν_μ k'

p p'

q q

Z^

ν_μ

k ν_μ k'

p p'

Z^

ν_μ

q q

Sezioni d’urto neutrino nucleone (NC)

y Per semplicità trascuriamo il contenuto di anti-quark

y Utilizzando la simmetria di isospin

y Per il neutrone

u u u d d

p d

n

Sezioni d’urto anti-neutrino nucleone (NC)

y Per semplicità trascuriamo il contenuto di anti-quark

y Utilizzando la simmetria di isospin

y Per il neutrone

u u u d d

p d

n

Sezioni d’urto per bersagli isoscalari (NC)

y Considerando nuclei bersaglio isoscalari (con uguale numero di neutroni e protoni) le sezioni d’urto sono la media delle sezioni d’urto precedenti y Per le sezioni d’urto di neutrino

y Definiamo y Otteniamo

y Definiamo y Otteniamo

y E analogamente per le sezioni d’urto di anti-neutrino

Sezioni d’urto per bersagli isoscalari (NC)

y Integriamo le sezioni d’urto rispetto a x e definiamo

y Otteniamo

y Se non si trascura il contributo degli anti-quark

y Le quantità Q e Q sono state determinate dalle misure di sezione d’urto neutrino – nucleone tramite CC (vedi diapositiva )

y Si possono determinare gli accoppiamenti^†

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Correnti neutre

y Il risultato precedente mostra che le correnti neutre hanno una componente predominante di tipo V−A

y Hanno comunque una componente V+A non trascurabile

y Le misure di interazioni di neutrini tramite corrente neutra sono difficili y Basse sezioni d’urto

y Non si possono misurare le variabili cinematiche del leptone nello stato finale y Occorre un calorimetro adronico ad alte prestazioni

y Gli errori sono grandi y Sono risultati pre-LEP

y È tuttavia importante sottolineare che queste misure confermano l’esistenza delle correnti neutre

y Danno un impulso decisivo alla diffusione della teoria di Glashow-Weinberg- Salam

Interazione neutrino elettrone

y Consideriamo le seguenti reazioni:

y Neutrino muonico su elettrone

y Procede solo tramite corrente neutra

y Antineutrino muonico su elettrone

y Procede solo tramite corrente neutra

y Per finire la reazione

antineutrino elettronico su elettrone

y Può procedere sia attraverso la corrente neutra che la corrente carica

k k'

p p'

e^ e^

Z^

ν_μ ν_μ

k k'

p p'

e^ e^

Z^

ν_μ ν_μ

k k'

Z^

ν_e ν_e

k k'

p p'

W^

ν_e ν_e

Interazione neutrino elettrone

y Il calcolo delle sezioni d'urto dà

Interazione neutrino elettrone

y Si tratta di risultati pre-LEP y Citati per interesse storico y Citati per rendersi conto della

precisione delle misure di LEP

Interazione neutrino elettrone

Le simmetrie del Modello Standard

y L’elettrodinamica è localmente invariante rispetto al gruppo U(1) y La corrente elettromagnetica è una corrente neutra e

ha componenti chirali LH e RH presenti in ugual misura y L’interazione elettromagnetica ha range infinito

y Il mediatore della forza è senza massa (il fotone)

y L’interazione debole ha correnti cariche e correnti neutre y Richiede mediatori carichi e neutri; ne richiede tre

y La corrente carica ha solo la componente chirale LH

y La corrente neutra ha componenti chirali LH e RH presenti in misura differente

y L’interazione debole ha un range molto breve y I quanti devono avere massa

y Il gruppo proposto da Glashow, Weinberg e Salam tratta in modo differente le componenti chirali LH e RH dei fermioni

Isospin debole

y Il modello standard delle Interazioni Elettrodeboli è l’applicazione della richiesta di invarianza locale di gauge alla teoria delle interazioni deboli y Richiede il passaggio dal gruppo abeliano U(1) ad un gruppo più complesso

y Il gruppo non abeliano

y Il gruppo SU(2)_L è associato ad un nuovo numero quantico y L’isospin debole

y La “L” indica che la simmetria SU(2) si applica alla sola proiezione chirale left degli spinori

y Le interazioni di corrente carica dei leptoni sono descritte dai vertici

y Introducendo la proiezione chirale le correnti sono riscritte e^

ν_e

W⁺ e^ ν_e

W⁻

Isospin debole

y Vertici analoghi per i quark: transizioni da up a down e viceversa

y In analogia a quanto fatto con le correnti di Isospin con SU(2) si possono introdurre dei doppietti ( isospinori a due dimensioni )

y Le proiezioni chirali Left dei fermioni sono pertanto raggruppate in multipletti (doppietti) di isospin debole T = ½

y Le proiezioni chirali Right dei fermioni sono singoletti di isospin debole T = 0 y e_R, u_R, d_R T = 0 ν_R non esiste

y L’isospin debole è la carica debole

y Le proiezioni chirali Right sono "SU(2) - neutre" e quindi non interagiscono d

u

W⁺

Isospin debole

y Vediamo come scrivere le correnti leptoniche e adroniche (quark) in SU(2)_L y La simmetria globale SU(2)_L permette

di introdurre le correnti conservate y Abbiamo usato le matrici di Pauli y Definiamo le correnti

y La corrente carica leptonica si può riscrivere utilizzando J₊

y Analogamente J₋

y C’è anche la corrente J₃

y Corrisponderebbe ai diagrammi y Correnti neutre di tipo V−A

y Fenomeni di corrente neutra di elettrone puramente V−A non sono mai stati osservati

Q_e Q_e

W³

e e

W³

Isospin debole

y Le correnti J₁, J₂, J₃ che abbiamo introdotto sono le correnti di isospin debole y I 3 bosoni vettoriali W^μ_k mediano l’interazione, come il fotone A^μ nella QED y In una teoria di gauge gli accoppiamenti delle correnti con

i bosoni vettoriali sono fissati dall’invarianza di gauge locale

y Per la QED l’invarianza per la trasformazione e^iα(x) di U(1) richiede l’introduzione della derivata covariante

y Il nuovo termine fissa il vertice di interazione

y Il gruppo U(1) ha un parametro a cui corrisponde un bosone A^μ

y Nel caso dell’isospin debole gli accoppiamenti sono fissati dall’invarianza per trasformazioni di SU(2)_L

y Il gruppo SU(2)_L ha 3 parametri a cui corrispondono 3 bosoni W^k y Con D_μ la Lagrangiana diventa

y Abbiamo visto che la corrente mediata da W³ non corrisponde a fenomeni osservati

Isospin debole

y Contiene termini con la stessa struttura V−A delle correnti cariche

y La distribuzione angolare delle interazioni di corrente neutra di neutrini con elettroni e quarks mostra che non sono correnti V−A pure

y Le correnti previste da J₃ non sono osservate sperimentalmente

y Sperimentalmente si osserva che le correnti neutre dei fermioni carichi hanno sia una componente V−A che una V+A

y Osserviamo che anche la corrente elettromagnetica ha sia componenti Left- Handed che Right-Handed

y Partendo da questa osservazione si può tentare di usare un gruppo a 4 parametri e tentare di unificare

y Interazioni deboli cariche e neutre

y Interazioni elettromagnetiche, solo neutre

Il modello standard

y Il gruppo di simmetria (a 4 parametri) del modello standard è y Ai due gruppi sono associati i seguenti bosoni vettoriali

y Il gruppo U(1)_Y è associato ad un ulteriore numero quantico

y L’ipercarica debole, cui è associata una corrente di ipercarica debole y Analoga alla corrente U(1)_Q dell'elettromagnetismo

y Tuttavia, come vedremo, Y differenzia le componenti f_R e f_L y La relazione fra isospin debole, ipercarica debole e

carica è identica alla relazione di Gell-Mann e Nishijima y Questa relazione ci dice che una opportuna combinazione

di correnti di isospin debole e di corrente di ipercarica debole produce la corrente elettromagnetica

y Per i fermioni

Il modello standard

y L’Invarianza locale di Gauge fissa gli accoppiamenti Bosoni-Correnti

y La corrente di ipercarica per i leptoni è data da

y I parametri g₁ e g₂ sono le costanti di accoppiamento relative ai gruppi SU(2) e U(1) rispettivamente

y I bosoni vettoriali W e B hanno massa nulla (teoria rinormalizzabile) y Per dotare i bosoni di massa Weinberg e Salam introdussero nella teoria il

meccanismo della rottura spontanea della simmetria

y Introduzione di un doppietto scalare: il campo di Higgs

y Vedremo che i bosoni W³ e B sono sostituiti dalle combinazioni lineari ( M_A = 0, M_Z )

Correnti cariche

y Le correnti accoppiate ai bosoni W¹ e W² sono

y Utilizzando l’isospin debole abbiamo definito le correnti y Sostituendo J₁ e J₂ nella prima espressione

y Definiamo i nuovi bosoni W⁺ e W⁻

y Vedremo che W⁺ e W⁻ hanno massa M_W y Sostituendo otteniamo

y Queste sono le interazioni di correnti cariche che abbiamo studiato

Corrente elettromagnetica: Isospin+Ipercarica

y Interpretiamo adesso le correnti neutre

y Gli accoppiamenti sono

y Sostituiamo la definizione dei Bosoni Neutri ottenuti dopo la rottura spontanea della simmetria

y Otteniamo

y Consideriamo dapprima le correnti accoppiate ad A_μ.

y Sostituiamo i valori dell’ipercarica Y_eL =Y_νL =−1 e Y_eR =−2, otteniamo

y Sappiamo che il fotone non si accoppia al neutrino Bisogna eliminare i termini con i campi ν

Sostituendo le J

Corrente elettromagnetica: Isospin+Ipercarica

y Per eliminare i termini con i neutrini è sufficiente porre y Sopravvivono i termini

y Perché questa sia la corrente elettromagnetica gli accoppiamenti di e_L e e_R devono essere uguali fra di loro e uguali alla carica dell'elettrone e

y Otteniamo infine y Sostituendo

y Contiene componenti RH e LH Abbiamo ritrovato la

Corrente debole neutra

y Veniamo ai termini accoppiati a Ζ_μ

y Sostituendo le correnti

y Otteniamo

y Sostituiamo i valori dell’ipercarica: Y_eL =Y_νL =−1 e Y_eR =−2

y Sostituiamo g₂cosθ_W = g₁sinθ_W

Corrente debole neutra

y Semplifichiamo i termini del neutrino ( sin²θ_W + cos²θ_W = 1)

y Osserviamo che e_L e e_R hanno accoppiamenti diversi y Inoltre il neutrino ν_L ha solo accoppiamento LH y La forma usualmente usata si ottiene sostituendo

La corrente debole neutra

y Per un generico fermione si può scrivere

y Infatti

y Ricordiamo infine