Programma del corso di Geometria 1 (a.a. 2018/19) con esempi di domande per la prova orale Legenda:

Programma del corso di Geometria 1 (a.a. 2018/19) con esempi di domande per la prova orale Legenda: la difficolt` a ` e indicata dai pallini (pi` u pallini=pi` u difficile).

Prima parte. Prof. Maurizio Candilera.

Numeri Complessi

• Richiami e notazioni su insiemi e applicazioni. Numeri complessi ed operazioni. Valore assoluto e coniugio.

Rappresentazione algebrica e trigonometrica di un numero complesso. Argomento. Piano di Gauss.

• Formule di De Moivre, radici dell’unit` • a, Teorema Fondamentale dell’Algebra (solo enunciato).

•• Cerchi e rette nel piano complesso. Funzioni lineari fratte. Riflessioni rispetto a rette ed a cerchi. Cenni • alle Trasformazioni di M¨ obius.

Spazi Vettoriali

• Definizione ed esempi fondamentali.

• Definizione ed esempi di sottospazi. Criteri per sottospazi. Sottospazio generato. Intersezione e somma di sottospazi. Somma diretta.

• Dipendenza ed indipendenza lineare.

• Base di uno spazio vettoriale, definizione e prime propriet` a.

• Esistenza di basi e loro cardinalit` • a. Lemma di scambio e sue conseguenze. Dimensione di uno spazio vettoriale.

• Coordinate associate ad una base (ordinata). Equazioni parametriche e cartesiane per un sottospazio.

• Relazioni di Grassmann.

•• Spazio vettoriale quoziente, proiezione canonica. • Applicazioni Lineari e Matrici

• Applicazioni lineari. Nucleo ed immagine di un’applicazione lineare. Rango di un’applicazione lineare e Formula delle dimensioni.

• Iniettivit` a e suriettivit` a di un’applicazione lineare. Isomorfismi.

• Teoremi di Isomorfismo. •

•• Lo spazio vettoriale Hom • C (V, W ). Composizione di funzioni lineari.

• Matrici. Lo spazio vettoriale M m×n (C) e la sua base canonica. Prodotto di matrici. Matrici scalari e matrici diagonali. Matrici invertibili. Il gruppo GL(n, C).

• Matrice associata ad un’applicazione lineare.

• L’isomorfismo α • V,W : Hom C (V, W ) → M m×n (C).

• Composizione di applicazioni lineari e prodotto di matrici. •

• Matrici di cambiamento di base. Equivalenza tra matrici. •

• Rango di una matrice. Matrice trasposta di una matrice data. Rango per riga e rango per colonna. •

•• Spazio vettoriale duale ed applicazione trasposta. Sottospazi ortogonali. •

•• •• Prodotto tensoriale tra vettori e forme lineari e l’isomorfismo Hom ^C (V, W ) ∼ = W ⊗ C V ^∗ . Sistemi Lineari

• Sistemi lineari. Scrittura matriciale ed interpretazione vettoriale. Teorema di Rouch´ e–Capelli.

• Tecnica di Eliminazione (Gauss). Matrici Elementari ed operazioni elementari sulle righe. Equivalenza per righe e matrici a scalini.

Determinanti

• Funzioni multilineari alternanti su uno spazio vettoriale di dimensione finita. •

• Determinante di un endomorfismo e determinante di una matrice quadrata.

•• Determinante ed invertibilit` • a. Teorema di Binet.

• Sviluppi di Laplace e matrici inverse. Applicazioni della tecnica di Gauss al calcolo di determinanti. • Alcuni determinanti notevoli.

Forme Canoniche di Matrici:

• Classificazione per similitudine e diagonalizzabilit` a.

• Autovalori, autovettori (autospazi, somma diretta).

• Polinomio caratteristico (determinante, traccia e altri invarianti), indipendenza dalla base.

• Molteplicit` • a e nullit` a, relazione tra loro e primo criterio di diagonalizzabilit` a.

Seconda parte. Prof.ssa Luisa Fiorot.

Forme Canoniche di Matrici (continuazione):

• Definizione di matrici equivalenti e matrici simili.

•• Matrici simultaneamente diagonalizzabili. •

•• Definizione di matrice triangolarizzabile e Criterio di triangolarizzabilit` • a.

• Mappa di valutazione; definizione di polinomio minimo. •

•• Teorema di Hamilton-Cayley. Rapporto tra polinomio minimo e polinomio caratteristico. •

• Applicazione del teorema di Hamilton-Cayley al calcolo delle inverse.

•• Lemma di decomposizione. Dato ϕ endomorfismo, caratterizzazione delle proiezioni su un autospazio • generalizzato lungo la direzione della somma dei rimanti come endomorfismo polinomiale in ϕ.

• Definizione di autovettori generalizzati e loro periodo. Applicazione del lemma di decomposizione al polinomio caratteristico.

• Secondo criterio di diagonalizzabilit` • a. Lemma del vettore ciclico.

• Definizione di blocco di Jordan e matrice a blocchi di Jordan. Matrici nilpotenti.

•• Teoria di Jordan: forme canoniche di Jordan, teorema di Jordan, filtrazione degli autospazi generalizzati. • Geometria Affine:

• Definizione di spazio affine, riferimenti affini e coordinate.

• Sottovariet` a lineari, equazioni parametriche e cartesiane.

• Intersezione e sottovariet` a lineare generata (congiungente).

• Posizioni reciproche: sottovariet` • a parallele, incidenti, sghembe, teorema di Grassmann affine.

• Discussione geometrica di Rouch´ • e-Capelli; fasci e insiemi lineari di iperpiani.

• Definizione di combinazione baricentrica di punti. Calcolo baricentrico: riferimenti baricentrici e coordi- nate; descrizione baricentrica dei sottospazi affini;

• Posizione di punti nel piano caso reale: segmenti, triangoli.

•• •• Equazioni di rette in coordinate baricentriche; rapporto semplice, teoremi di Ceva e Menelao.

• Applicazioni affini e affinit` • a, applicazioni lineari associate e rappresentazioni matriciali.

• Traslazioni, affinit` • a centrali, omotetie, simmetrie e proiezioni parallele.

• Punti e sottospazi uniti per una affinit` • a.

Geometria Euclidea:

• Prodotto scalare standard in R ⁿ e sue propriet` a, positivit` a e norma.

• Disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e misura di angoli ortogonalit` • a, teoremi di Pitagora e di Carnot.

• Ortogonali di sottospazi e interpretazione euclidea delle equazioni cartesiane. •

• basi ortonormali, metodo di Gram-Schmidt, formula di Parseval; •

• Decomposizione ortogonale, simmetrie e proiezioni ortogonali. •

•• Gruppo ortogonale ed ortogonale speciale strutture di O • ⁿ (R), SO ⁿ (R) per n = 2, 3.

•• Simmetrie assiali. Teorema: le simmetrie assiali generano il gruppo ortogonale. •

•• Matrici simmetriche e teorema spettrale per matrici reali. •

• Soluzioni ai minimi quadrati per sistemi lineari incompatibili.

• Teorema di Schur reale (triangolarizzazione ortogonale).

•• Equivalenza ortogonale per matrici rettangolari (valori singolari). •

• Cross product in R ⁿ , prodotto vettore nello spazio tridimensionale, sue propriet` a;

•• Teorema di Lagrange e sue generalizzzazioni alle dimensioni superiori; Prodotto misto. •

• Calcolo di volumi di parallelepipedi. •

• Definizione di spazi euclidei, ortogonalit` a, riferimenti ortonormali.

• Rigidit` • a o (dirette e inverse), classificazione (di Eulero) delle rigidit` a in dimensioni 2 e 3.

• Sottovariet` • a lineari unite per le rigidit` a. Composizione di rigidit` a.

• Distanza tra sottospazi affini, punti di minima distanza.

• Calcoli di distanza, aree, volumi ed angoli (in particolare n = 2, 3, 4). • Geometria Hermitiana:

• Prodotto hermitiano standard in C • ⁿ e sue propriet` a, norma, disuguaglianza di Cauchy-Schwarz.

• Vettori ortonormali, proiezioni ortogonali, basi ortonormali e formula di Parseval •

• Gruppi unitario e unitario speciale, strutture di U • 2 (C), SU ² (C).

•• •• Matrici hermitiane, normali e teorema spettrale per operatori normali.

Esempi di domande per la prova orale

N.B. Le domande riportate qui sotto sono indicative di ci` o che uno studente dovrebbe sapere per superare la prova orale. Solo il programma del corso costituisce un elenco esaustivo di tutti gli argomenti da conoscere per superare l’esame.

Domanda 1. Si dimostri la formula di De Moivre per il calcolo delle radici di un numero complesso. Sia A ∈ M n (R) una matrice simmetrica, `e vero che det(A ² + I ⁿ ) 6= 0

Domanda 2. Si dia una giustificazione geometrica del fatto che λ(z) = ¹ _{z ¯} ` e la riflessione del numero complesso z 6= 0 nella circonferenza unitaria. Sia ζ un numero complesso di modulo 1. ` E vero che λ(ζz) = ζλ(z) per ogni z 6= 0? Come si interpreta geometricamente questa affermazione?

Domanda 3. Sia f : X → Y un’applicazione tra insiemi. Si diano le definizioni delle applicazioni f _∗ : P(X) → P(Y ) e f ^∗ : P(Y ) → P(X) indotte da f sui sottoinsiemi di dominio e codominio. Se f : C r {−4i} → C ` e l’applicazione definita da f (z) = ^2z−1+3i _−iz+4 , ed r la retta di equazione (2 + 3i)z + (2 − 3i)¯ z = 2 del piano di Gauss, l’insieme n

z ∈ C | (2 + 3i)f (z) + (2 − 3i)f (z) = 2 o

` e f _∗ (r), f ^∗ (r) o non ha nulla a che vedere con entrambi?

Domanda 4. Sia f : X → Y un’applicazione tra insiemi. Si diano le definizioni delle applicazioni f _∗ : P(X) → P(Y ) e f ^∗ : P(Y ) → P(X) indotte da f sui sottoinsiemi di dominio e codominio. Si supponga che esista un’applicazione inversa (bilatera) g : Y → X e si dimostri che f ^∗ (A) = g _∗ (A) per ogni A ∈ P(Y ) e f _∗ (B) = g ^∗ (B) per ogni B ∈ P(X).

Domanda 5. Si diano le definizioni di: sottospazio vettoriale, base di uno spazio vettoriale, dimensione, sottospazi vettoriali in somma diretta. ` E vero che dati U e V due sottospazi di R ⁿ con dim(U ) = dim(V ) = n − 1 esiste sempre un sottospazio W ≤ R ⁿ tale che U ⊕ W = V ⊕ W = R ⁿ ?

Domanda 6. Si diano le definizioni di sottospazio vettoriale di somma diretta di sottospazi vettoriali. Dati tre sottospazi vettoriali U , W , T di uno spazio vettoriale V , si dimostri che U ⊕ (W ⊕ T ) se, e solo se, (U ⊕ W ) ⊕ T , e che le due somme definiscono lo stesso sottospazio.

Domanda 7. Si dimostri che dato un insieme linearmente indipendente S e un fissato sistema (finito) di generatori G di uno spazio vettoriale V sul campo K , si pu` o completare S a una base di V aggiungendovi opportuni elementi di G.

Domanda 8. Si enunci e si dimostri il Lemma dello scambio.

Domanda 9. Si enunci e si dimostri la formula di Grassmann per sottospazi vettoriali.

Domanda 10. Si enunci e si dimostri il Teorema di Rouch´ e-Capelli. Date A ∈ M m,n (k) e B ∈ M n,p (k). ` E vero che rk (AB) ≤ rk (A)? ` E vero che rk (AB) ≤ rk (B)?

Domanda 11. Si diano le seguenti definizioni: applicazione lineare, nucleo e immagine di un’ applicazione lineare. Si dimostri che data f : V → W applicazione lineare tra spazi vettoriali sul campo K il nucleo ker (f ) ≤ V ` e un sottospazio vettoriale di V .

Domanda 12. Si spieghi come associare una matrice ad un’applicazione lineare. Si dia la definizione di matrice di cambio di base e se ne spieghi il loro uso per il calcolo delle coordinate. Date due basi V e W , che relazione c’` e tra la matrice di cambio di base da V a W e quella del cambio di base da W a V ? Domanda 13. Siano f e g endomorfismi di R ⁿ e B 1 , B 2 due basi di R ⁿ . Se la matrice α B

,B

(f ) = α B

,B

(g)

`

e vero che f = g? Se α _B

_,B

(f ) = α _B

_,B

(f ) ` e vero che B <sub>1</sub> = B <sub>2</sub> ? ` E vero che se f ha rango massimo esistono B 1 e B 2 tali che α B

,B

(f ) = I ⁿ ?

Domanda 14. Si enunci e si dimostri il teorema delle dimensioni. ` E vero che dato φ un endomorfismo di R <sup>n</sup> si ha che ker φ e im φ sono in somma diretta? Se la matrice associata a φ rispetto alla base canonica di R <sup>n</sup> ` e simmetrica ` e vero che ker φ e im φ sono in somma diretta?

Domanda 15. Si dia la definizione di funzione iniettiva. Si diano le definizioni di applicazione lineare e

nucleo. Si dimostri che un’applicazione lineare f ` e iniettiva se e solo se ker (f ) ` e il sottospazio nullo.

Domanda 16. Si dia la definizione di endomorfismo di proiezione rispetto ad una decomposizione U ⊕W = V . Si mostri che dato p endomorfismo di V esso ` e endomorfismo di proiezione se e solo se p ² = p.

Domanda 17. Si dia la definizione di endomorfismo di simmetria σ ^W _U rispetto ad una decomposizione U ⊕ W = V . Si mostri che dato σ endomorfismo di V esso ` e endomorfismo di simmetria se e solo se σ ² = id _V (N.B.: il campo di base ha caratteristica diversa da 2).

Domanda 18. Siano V e W due spazi vettoriali di dimensione finita sul campo K. Si mostri che dare un applicazione bilineare non degenere g : V × W → K equivale a dare un isomorfismo di spazi vettoriali, Ψ : W → V ^∗ , ovvero l’isomorfismo trasposto Φ ^∗ : V → W ^∗ .

Domanda 19. Si diano le definizioni di: spazio vettoriale duale e base duale. Dati φ : V → W , V base di V e W base di W che relazione c’`e tra la matrice associata a φ rispetto alle basi V e W e la matrice associata a φ ^∗ rispetto alle basi duali W ^∗ e V ^∗ ?

Domanda 20. Sia φ : V → W un’applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita sul campo K.

Si dia la definizione di applicazione trasposta φ ^∗ dell’omomorfismo φ. Che relazioni ci sono tra la matrice di φ nelle basi V e W e quella di φ ^∗ nelle basi duali? Cosa si pu` o dedurre da ci` o sul rango per righe e per colonne della matrice di φ?

Domanda 21. Si dia la definizione di determinante di un endomorfismo e di determinante di una matrice e si dimostri la formula di Binet.

Domanda 22. Sia X =  _{A B}

0 C



una matrice n × n “a blocchi” ove A e C sono sottomatrici quadrate di ordine, rispettivamente, k e n − k, e 0 ∈ M _(n−k)×k indica la matrice nulla. Si giustifichi l’uguaglianza det X = (det A)(det C).

Domanda 23. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K. Si dia la definizione di ortogonale S ^⊥ ⊆ V ^∗ di un sottoinsieme non vuoto, S, di V . Dati due sottospazi vettoriali U e W di V , si enuncino e si dimostrino le relazioni tra (U + W ) ^⊥ , U ^⊥ + W ^⊥ , (U ∩ W ) ^⊥ , U ^⊥ ∩ W ^⊥ .

Domanda 24. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K. Si dia la definizione di ortogonale S ^⊥ ⊆ V ^∗ di un sottoinsieme non vuoto, S, di V . Dati un vettore v ₀ ed un sottospazio W si dimostri che (v 0 + W ) ^⊥ = hv 0 i ^⊥ ∩ W ^⊥ .

Domanda 25. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione n sul campo K, H un suo sottospazio e H ^⊥ ⊂ V ^∗ il sottospazio ortogonale. Si espliciti l’isomorfismo (V /H) ^∗ ∼ = H ^⊥ . Dati due sottospazi vettoriali U e W di V , ` e vero che ^{U +W} _W
∗ ∼ = _U

^W ∩W

?

Domanda 26. Si diano le definizioni di determinante di un endomorfismo e di determinante di una matrice A. Sapendo che A = α V,W (φ), per un endomorfismo φ : V → V , che relazioni ci sono tra det A e det φ?

Domanda 27. Sia φ : V → V un endomorfismo di un K-spazio vettoriale di dimensione finita e W un sottospazio φ-stabile. Si mostri che, applicando φ al rappresentante di una classe laterale, si induce un endomorfismo sullo spazio quoziente φ 1 : V /W → V /W . Che relazioni tra det φ, det φ 1 e det φ 0 ove φ 0 : W → W ` e la restrizione di φ a W .

Domanda 28. Si descrivano le matrici (delle operazioni) elementari di Gauss e si dica come si modifica il determinante di una matrice quadrata, A, facendo operazioni elementari sulle righe. ` E vero che la matrice a scalini che si ottiene da A con operazioni elementari sulle righe ha gli stessi autovalori di A?

Domanda 29. Sia P una matrice invertibile di ordine n > 2 ad elementi in K e sia P ⁻¹ la sua inversa. Si prenda la sottomatrice di P formata dalle ultime due colonne e la si moltiplichi per la sottomatrice formata dalle ultime due righe di P ⁻¹ , ottenendo cos`ı, la matrice T di ordine n. Cosa si pu` o dire dell’endomorfismo φ : K ⁿ → K ⁿ che ha matrice T in base canonica? Sia n ≥ 4; che cosa si pu` o dire del problema analogo ove si prendano due righe dell’inversa diverse dalle ultime due? Qual ` e la forma di Jordan di quest’ultima matrice?

Domanda 30. Si dia la definizione di autovalore e autovettore per un endomorfismo φ di uno spazio vettoriale

V di dimensione finita sul campo K. Si dimostri che gli zeri del polinomio caratteristico sono tutti e soli gli

autovalori φ.

Domanda 31. Si diano le seguenti definizioni: endomorfismo, autovalore, autovettore e autovettore genera- lizzato di periodo k. Si mostri che se α 6= β sono autovalori distinti di un endomorfismo φ allora i relativi autospazi sono in somma diretta.

Domanda 32. Si dia la definizione di endomorfismo diagonalizzabile. Si enunci e si dimostri il primo criterio di diagonalizzabilit` a [ovvero il seguente Teorema di Frobenius: Sia φ un endomorfismo di un k- spazio vettoriale V di dimensione finita. φ ` e diagonalizzabile (su k) se, e solo se, tutti i suoi autovalori sono in k e, per ogni autovalore, molteplicit` a algebrica e geometrica coincidono.].

Domanda 33. Si diano le definizioni di: endomorfismo, polinomio caratteristico e polinomio minimo di un endomorfismo e loro relazioni. Si dimostri che gli autovalori sono gli zeri del polinomio caratteristico. ` E vero che ogni endomorfismo non suriettivo ha almeno un autovalore nel campo?

Domanda 34. Sia V = {v ₁ , . . . , v _n } una base di autovettori per l’endomorfismo φ : V → V . ` E vero che la base duale V <sup>∗</sup> = {v <sup>∗</sup> <sub>1</sub> , . . . , v <sup>∗</sup> <sub>n</sub> } di V <sup>∗</sup> ` e una base di autovettori per φ ^∗ ? Si giustifichi l’affermazione individuando i relativi autovalori e si dica se ci sono relazioni di ortogonalit` a tra gli autospazi.

Domanda 35. Si dia la definizione di matrici simili. Si enunci e si dimostri il criterio di triangolarizzabilit` a.

Domanda 36. Si enunci e si dimostri il Teorema di Hamilton-Cayley.

Domanda 37. Si enunci e si dimostri il lemma di decomposizione.

Domanda 38. Si provi che se φ ` e un endomorfismo di un k-spazio vettoriale V di dimensione finita con polinomio minimo λ φ (x) = x <sup>k</sup> (x − 1) <sup>h</sup> allora l’endomorfismo di proiezione su ker (φ <sup>k</sup> ) lungo la direzione di im (φ <sup>k</sup> ) ` e polinomiale in φ.

Domanda 39. Si diano le definizioni di: autovalore, autovettore, autovettore generalizzato di periodo k per un endomorfismo φ. Si dimostri che se v ` e autovettore generalizzato di periodo k relativo all’autovalore α per φ allora {(φ − αid) <sup>k−1</sup> (v), (φ − αid) <sup>k−2</sup> (v), . . . , (φ − αid)(v), v} ` e insieme di vettori linearmente indipendenti.

Domanda 40. Si definisca il periodo di un autovettore generalizzato relativo ad un autovalore α. ` E vero che se un endomorfismo ha un unico autovalore allora esiste una base dello spazio tutta costituita da autovettori generalizzati di periodo massimo? Che relazione c’` e tra la molteplicit` a algebrica di un autovalore e la dimensione del suo autospazio generalizzato (quello relativo al massimo periodo dell’autovalore)?

Domanda 41. Si enunci e si dimostri il secondo criterio di diagonalizzabilit` a.

Domanda 42. Si enunci il Teorema di Jordan. ` E vero che due matrici che hanno lo stesso polinomio minimo e lo stesso polinomio caratteristico sono simili fra loro? (In caso negativo indicare un controesempio).

Domanda 43. Siano A e B in M _n (C). ` E vero che se AB = BA esiste un cambiamento di base che porta entrambe in forma di Jordan? ` E vero che, se esiste un cambiamento di base che porta entrambe in forma di Jordan, allora AB = BA? (Si giustifichino le proprie affermazioni dando una dimostrazione o un controesempio)

Domanda 44. Si diano le definizioni di spazio affine, sottovariet` a lineare e di affinit` a. ` E vero che ogni affinit` a di A ¹ (R) che non sia una traslazione ha un punto unito? ` E vero che ogni affinit` a di A ² (R) che mandi ogni retta in una ad essa parallela e che non sia una traslazione ha un unico punto unito?

Domanda 45. Si enunci e si dimostri la formula di Grassmann affine. Si dia la definizione di sottovariet` a lineari sghembe. Esistono in A ⁴ (R) due piani sghembi? Esistono in A ⁵ (R) due piani sghembi? In caso affermativo fornire esempi.

Domanda 46. Si dia la definizione di combinazione baricentrica di punti (giustificando la definizione). Si dimostri che ogni sottovariet` a lineare ` e chiusa per combinazioni baricentriche e che un applicazione tra spazi affini ha un’applicazione soggiacente lineare se, e solo se, conserva le combinazioni baricentriche.

Domanda 47. Si considerino due piani nello spazio affine di dimensione 4 su R. Si dica se possono essere

sghembi. Si dia l’esempio di due piani che si intersecano in un unico punto esibendone le equazioni cartesiane

o parametriche. Dimostrare che dati due piani che si intersecano in un solo punto ogni iperpiano di A ⁴ (R)

interseca almeno uno dei due piani.

Domanda 48. Si dia la definizione di prodotto scalare in R ⁿ . Si enunci e si dimostri la disuguaglianza di Cauchy-Schwarz e la sua applicazione per la definizione di coseno di un angolo.

Domanda 49. Si dia la definizione di norma in R ⁿ indicandone le propriet` a principali. Si dimostri la disuguaglianza triangolare: kv + wk ≤ kvk + kwk per ogni v, w ∈ R ⁿ .

Domanda 50. Si dia le definizione di base ortonormale di R ⁿ . Dato un vettore v ∈ R ⁿ come si calcolano le coordinate di v in una base ortonormale? Si dimostri che data A ∈ M m,n (R) la matrice ^t AA ha tutti i suoi autovalori in R ed essi sono tutti positivi o nulli.

Domanda 51. Si dia la definizione di matrice ortogonale. Si dimostri che le colonne di una matrice ortogonale H ∈ O _n (R) formano una base ortonormale di R ⁿ . ` E vero che ogni matrice ortogonale ` e diagonalizzabile?

Sia H ∈ O n (R) matrice ortogonale si provi che det(H + 2I ⁿ ) 6= 0.

Domanda 52. Si dia la definizione di isometria (come endomorfismo). Si dia la definizione di matrice ortogonale. ` E vero che ogni matrice ortogonale ha determinante 1 o −1? Si dimostri che ogni autovalore complesso di una matrice ortogonale ha modulo 1.

Domanda 53. Si dia la definizione di isometria dello spazio vettoriale R ⁿ . Si classifichino le isometrie per n = 2. ` E vero che una matrice simile ad una ortogonale ` e ortogonale?

Domanda 54. Sia T ≤ R ⁿ . Si dimostri che T ⊕ T ^⊥ = R ⁿ . Domanda 55. Si enunci e si dimostri il teorema spettrale reale.

Domanda 56. Si dia la definizione di cross product e se ne indichino le principali propriet` a. Si enunci e si dimostri il Teorema di Lagrange.

Domanda 57. Si dia la definizione di volume di un poliparallelepipedo generato da w 1 , . . . , w k in R ⁿ (con k ≤ n).

Domanda 58. Si dia la definizione di matrici ortogonalmente equivalenti. Si dia la definizione di valore singolare per una matrice. Si dimostri che per ogni matrice A ∈ M m,n (R) la matrice ^t AA ` e diagonalizzabile ed ha tutti autovalori reali positivi o nulli.

Domanda 59. Si diano le definizioni di sistema di riferimento euclideo in E ⁿ (R) e di rigidit`a. Si illustri la classificazione di Eulero delle rigidit` a in E ³ (R).

Domanda 60. Si dia la definizione di distanza fra sottovariet` a lineari L ed M in E <sup>n</sup> (R) e si dimostri che esistono sempre un punto L ∈ L e M ∈ M tali che la distanza fra i punti L ed M coincida con la distanza fra le sottovariet` a lineari L ed M.

Domanda 61. Si dimostri la formula della distanza punto iperpiano in E ⁿ (R). Si illustri come usare la nozione di volume per il calcolo di distanze fra sottovariet` a lineari.

Domanda 62. Si diano le definizioni di: prodotto hermitiano in C ⁿ , operatore normale, matrice hermitiana, matrice unitaria.

Domanda 63. Si enunci e si dimostri il teorema spettrale per operatori normali.

Domanda 64. Si dia la definizione di matrice hermitiana. Si mostri che una matrice ` e hermitiana se e solo se essa ` e unitariamente diagonalizzabile con autovalori reali.

Domanda 65. Ricordando che una matrice H ∈ M n (C) si dice antihermitiana se ^t H = −H. Si dimostri che una matrice H ∈ M _n (C) `e antihermitiana se e solo se `e normale con spettro puramente immaginario.

Domanda 66. Si dia la definizione di matrice unitaria U ∈ M n (C) e si dimostri che il suo determinante `e un numero complesso di modulo 1. ` E vero che ogni matrice unitaria ` e unitariamente diagonalizzabile?

Domanda 67. Si dia la definizione di matrice ortogonale (reale) e si dimostri che i suoi autovalori in C

hanno tutti modulo 1. ` E vero che una matrice simile ad una ortogonale ` e ortogonale? ` E vero che una

matrice ortogonalmente simile ad una ortogonale ` e ortogonale?