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il sottospazio vettoriale

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Academic year: 2021

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(1)

1

(2)

21 Settembre 2015

Esame scritto di Geometria per Ingegneria (lettera P-Z, Salvatore) Svolgere i seguenti esercizi, spiegando chiaramente i procedimenti svolti.

1) Si considerino in R

4

il sottospazio vettoriale

V = Span{(1, 0, 1, −1), (−1, 1, 0, 1), (1, 1, 2, −1)}, e il sottospazio W delle soluzioni del sistema lineare

( x

1

+ x

2

− x

3

− x

4

= 0 x

1

− x

4

= 0

Trovare basi e dimensioni dei sottospazi V, W, V ∩ W, V + W .

2) Si consideri l’applicazione lineare T : R

2

[x] → R

3

[x] tra spazi di polinomi reali definita da

T (p(x)) = p

0

(x)(x

2

+ 1) − 2xp(x).

Si scriva la matrice di T rispetto alle basi canoniche {1, x, x

2

} e {1, x, x

2

, x

3

}.

Si dica se l’equazione T (p(x)) = 1 − x + x

2

ha soluzione in p(x) e in caso affermativo si trovino tutte le soluzioni. Si ripeta il procedimento per l’equazione T (p(x)) = 1 + x − x

2

.

3) Si scriva l’equazione in R

3

della sfera S

1

di centro C

1

= (−1, 2, 1) passante per P = (1, 1, 1) e l’equazione della sfera S

2

di centro C

2

= (2, −1, 1) passante anch’essa per P . Si scrivano quindi le equazioni dei piani π

1

, π

2

tangenti in P rispettivamente a S

1

e S

2

. Si calcoli l’angolo tra i piani π

1

e π

2

, e si scriva un’equazione parametrica della retta π

1

∩ π

2

.

4) (Per il corso standard da 6 crediti) Si calcoli una base ortonormale del sot- tospazio di Z ⊂ R

4

definito da

Z = Span{(1, 1, 1, 1), (1, 0, 1, −1)}

e una base ortonormale del complemento ortogonale Z

⊥

. Si calcolino dunque le

proiezioni ortogonali del vettore v = (1, 1, −1, −1) su Z e Z

⊥

.

(3)

21 Settembre 2015

Esame scritto di Geometria per Ingegneria (lettera P-Z, Salvatore) Svolgere i seguenti esercizi, spiegando chiaramente i procedimenti svolti.

1) Si considerino in R

4

il sottospazio vettoriale

V = Span{(1, 0, 1, −1), (−1, 1, 0, 1), (1, 1, 2, 1)}, e il sottospazio W delle soluzioni del sistema lineare

( x

1

− x

2

− x

3

+ x

4

= 0 x

1

+ x

4

= 0

Trovare basi e dimensioni dei sottospazi V, W, V ∩ W, V + W .

2) Si consideri l’applicazione lineare T : R

2

[x] → R

3

[x] tra spazi di polinomi reali definita da

T (p(x)) = p

0

(x)(x

2

+ 1) − xp(x).

Si scriva la matrice di T rispetto alle basi canoniche {1, x, x

2

} e {1, x, x

2

, x

3

}.

Si dica se l’equazione T (p(x)) = x

2

ha soluzione in p(x) e in caso affermativo si trovino tutte le soluzioni. Si ripeta il procedimento per l’equazione T (p(x)) = x

3

.

3) Si scriva l’equazione in R

3

della sfera S

1

di centro C

1

= (−1, 1, 1) passante per P = (1, 2, 1) e l’equazione della sfera S

2

di centro C

2

= (1, 1, −1) passante anch’essa per P . Si scrivano quindi le equazioni dei piani π

1

, π

2

tangenti in P rispettivamente a S

1

e S

2

. Si calcoli l’angolo tra i piani π

1

e π

2

, e si scriva un’equazione parametrica della retta π

1

∩ π

2

.

4) (Per il corso standard da 6 crediti) Si calcoli una base ortonormale del sot- tospazio di Z ⊂ R

4

definito da

Z = Span{(1, 1, −1, 1), (1, −1, 0, 1)}

e una base ortonormale del complemento ortogonale Z

⊥

. Si calcolino dunque le

proiezioni ortogonali del vettore v = (1, 1, 1, 1) su Z e Z

⊥

.

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